Polytechnique Mathématiques PC 2005Sujet et rapport du jury

Pas encore noté

Explorer les annales

BanqueX-ENS Année2005 FilièrePC MatièreMathématiques

Annales X-ENS PC Mathématiques X-ENS PC 2005 PC Mathématiques Mathématiques 2005

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Corrigé : pas encore disponible

Présentation du sujet

Difficile

Polynômes orthogonaux et équations différentielles

Le problème étudie les polynômes orthogonaux et leur lien avec les équations différentielles. Une première partie porte sur la projection orthogonale dans un espace préhilbertien, une deuxième construit une famille de polynômes orthogonaux à partir d'une forme linéaire positive, et une troisième les relie à un opérateur T pour étudier la convergence de séries entières associées.

1Première partieConstruire, dans un espace préhilbertien de dimension finie, un couple orthogonal à F et étudier son unicité.
2Deuxième partieConstruire une unique suite de polynômes orthogonaux à partir d'une forme linéaire positive sur l'espace des fonctions continues.
3Troisième partieEtudier un opérateur T dont les polynômes construits sont vecteurs propres, puis la convergence de séries entières associées.

Difficile. La moyenne des candidats français n'est que de 8,97/20 avec un écart-type de 3,85, et le rapport indique que le problème a semblé déconcerter les candidats, notamment dans les deux premières parties.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,97 / 20 · écart-type 3,85 · 1 320 copies · où vous situez-vous ?

Moyenne: 8,97/ 20
Écart-type: 3,85
Copies: 1 320

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Existence affirmée sans démonstration rigoureuse · Confusion entre F et son orthogonal · Positivité du coefficient dominant non démontrée

Le problème a semblé déconcerter les candidats, surtout dans les deux premières parties, alors qu'il s'agissait de notions connues, peut-être trop connues. Les correcteurs regrettent que les candidats reproduisent des méthodes vues en cours sans s'imprégner de l'esprit du problème, et déplorent un manque de rigueur dans les preuves et les calculs.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Existence affirmée sans démonstration rigoureusequestion 1
Beaucoup de candidats posent le résultat de la question 1 sans explication ou avec un simple dessin dans R3, ce qui rend l'unicité délicate à démontrer.
2
Confusion entre F et son orthogonalquestion 1
Beaucoup de candidats imaginent que si un vecteur v n'appartient pas à F, il appartient nécessairement à F orthogonal.
3
Positivité du coefficient dominant non démontréequestion 3.b
L'existence et l'unicité résultaient des questions précédentes, mais très peu de candidats ont montré correctement que le coefficient kn était positif.
4
Calculs de la question 7 très mauvaisquestion 7
Le rapport signale que les résultats de la question 7 ont vraiment été très mauvais, ce qui souligne un manque de savoir calculer, surtout attendu dans cette filière.
« les résultats de la question 7, ont vraiment été très mauvais »
5
Caractérisation des vecteurs propres insuffisantequestion 10
A la question 10, la réponse fréquente que les Fp sont vecteurs propres de T était jugée très insuffisante sans preuve de la diagonalisabilité.

Ce qui a été bien réussi

La question 4.b) sur l'égalité entre kn et Ankn-1 a été trouvée par tous les candidats
La question 6.b) a été bien traitée par une majorité de candidats
La question 11.a) a été traitée par presque tous les candidats

Conseils du jury

S'imprégner de l'esprit du problème plutôt que de reproduire mécaniquement des méthodes vues en cours.
Ne pas se contenter de nommer des objets connus comme les polynômes de Legendre sans résoudre la question posée.
Utiliser les questions précédentes plutôt que de repartir de zéro à chaque question.
Soigner les calculs et la rigueur dans les preuves, en particulier lors des questions de calcul explicite.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Pas encore de corrigé pour ce sujet : voici des sujets proches corrigés.

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Polynômes orthogonaux et équations différentielles

Première partie

Dans cette partie on désigne par

E

un espace préhilbertien réel, par (

|

) son produit scalaire et par

‖‖

la norme correspondante. On note

F^⊥

le sous-espace vectoriel orthogonal d'une partie

F

E

Dans cette question on suppose $E$ de dimension finie, on se donne un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ , un vecteur $v$ de $E$ n'appartenant pas à $F$ , et un nombre réel $α > 0$ . On note $π$ le projecteur orthogonal $E \to F$ .

Construire un élément

u

F

et un réel

λ

tels que l'élément

u + λv

soit orthogonal à

F

et satisfasse les deux conditions suivantes :

(u + λv|v) > 0, ‖u + λv‖ = α

Démontrer l'unicité du couple (

u, λ

) et comparer

u + λv

avec la projection orthogonale de

v

sur

F^⊥

.
2. Soit

n

un entier,

n \geq 1

. Soit (

v_0, v_1, \dots, v_n

) une famille libre de vecteurs de

E

et soit

(α_0, α_1, \dots, α_n)

une famille de nombres réels strictement positifs. Pour tout

p, 0 \leq p \leq n

, on désigne par

E_p

le sous-espace vectoriel de

E

engendré par la famille (

v_0, v_1, \dots, v_p

). Montrer qu'il existe une unique base (

w_0, w_1, \dots, w_n

) de

E_n

vérifiant les conditions suivantes :

w_0 \in E_0

; pour tout

p, 1 \leq p \leq n, w_p \in E_p \cap E_(p - 1)^⊥

; pour tout

p, 0 \leq p \leq n, (w_p|v_p) > 0

‖w_p‖ = α_p

Deuxième partie

Dans cette partie on désigne par

[a, b]

un intervalle fermé borné de

R

non réduit à un point, par

C([a, b])

l'espace vectoriel des fonctions réelles continues sur

[a, b]

, par

E

le sous-espace vectoriel de

C([a, b])

formé des restrictions de fonctions polynomiales, et par

E_n

celui des restrictions de fonctions polynomiales de degré

\leq n

. On se donne une forme linéaire

φ

sur

C([a, b])

telle que

φ(f)

soit positif ou nul si

f

est positive ou nulle, et strictement positif si de plus

f

n'est pas identiquement nulle. On note encore (

α_0, α_1, \dots

) une suite de nombres réels strictement positifs.
3. Démontrer les assertions suivantes :
a) La formule

(f|g) = φ(fg)

définit un produit scalaire sur

C([a, b)]

.
b) Il existe une unique suite de polynômes (

P_0, P_1, \dots

) de

E

satisfaisant les conditions suivantes :

$P_n$ appartient à $E_n$ et le coefficient de $x^n$ dans $P_n$ , qu'on notera $k_n$ , est strictement positif;
$φ(P_m P_n) = 0$ si $m \neq n$ ;
$φ(P_n^2) = α_n^2$ .
4.a) Montrer qu'il existe, pour tout $n \geq 2$ , des réels $A_n, B_n, C_n$ , tels que l'on ait

P_n(x) = (A_n x + B_n)P_(n - 1)(x) + C_n P_(n - 2)(x).

b) Exprimer

A_n

en fonction de

k_n

k_(n - 1)

, puis

C_n

en fonction de

k_n, k_(n - 1), k_(n - 2), α_(n - 1), α_(n - 2)

.
5. On se propose ici de démontrer que, pour

n \geq 1

, tous les zéros de

P_n

sont réels, simples et contenus dans l'intervalle ouvert

]a, b[

. Pour cela on examinera les deux possibilités suivantes :
a) Il n'existe aucun zéro de

P_n

, contenu dans

]a, b[

, de multiplicité impaire; dans ce cas, on calculera

φ(P_n)

;
b) Il existe de tels zéros, que l'on note

a_1, \dots, a_r

(chacun étant compté une seule fois); dans ce cas, on calculera

φ(Q_n)

où

Q_n(x) = P_n(x)(x - a_1)\dots(x - a_r)

.
6. Dans cette question on fixe un entier

n \geq 1

; on note

a_1, \dots, a_n

les zéros de

P_n

; pour tout

G

E_(2n - 1)

, on écrit

G = QP_n + R

la division euclidienne de

G

par

P_n

.
a) Vérifier que

Q

R

appartiennent à

E_(n - 1)

.
b) On définit des polynômes

L_i, i = 1, \dots, n

, par

L_i(x) = \prod_(j \neq i)(x - a_j)/(a_i - a_j).

Vérifier que l'on a

R(x) = \sum_(i = 1)^n R(a_i)L_i(x)

c) Déterminer des réels

λ_1, \dots, λ_n

tels que l'on ait, pour tout

G

E_(2n - 1)

φ(G) = \sum_(i = 1)^n λ_i G(a_i).

d) Quel est le signe de

λ_i

Troisième partie

Dans cette partie on prend

[a, b] = [ - 1, 1], α_n = 1

pour tout

n \geq 0

, et

φ(f) = \int_(- 1)^1 f(x)dx

pour tout

f

C([ - 1, 1])

. On considère les fonctions

F_n

définies par

F_0(x) = 1

et pour

n \geq 1

F_n(x) = (d^n)/(dx^n)((x^2 - 1)^n).

Préciser le degré de $F_n$ et calculer $F_n(1), F_n^'(1), F_n(- 1), F_n^'(- 1)$ . [On pourra utiliser la formule de Leibniz donnant $(d^n)/(dx^n)((x + 1)^n(x - 1)^n)]$ .
Montrer que $F_n$ est proportionnel au polynôme $P_n$ introduit à la question 3.b). [On ne demande pas de préciser le coefficient de proportionnalité].

On désigne par

C^2(] - 1, 1[)

l'espace vectoriel des fonctions réelles deux fois continûment dérivables sur

] - 1, 1

[ et par

T

l'application linéaire de

C^2(] - 1, 1[)

dans

C(] - 1, 1[)

définie par

T(f)(x) = d/(dx)((x^2 - 1)(df)/(dx)).

Vérifier que $T(F_n)$ est proportionnel à $F_n$ .
Déterminer les vecteurs propres et valeurs propres de l'endomorphisme de $E_n$ , restriction de $T$ à $E_n$ .
On fixe un nombre réel $γ$ et on s'intéresse aux solutions de l'équation différentielle

T(f) - γf = 0

qui sont développables en séries entières de la forme

\sum_(k = 0)^(+ \infty)c_k x^k

.
a) Écrire une relation de récurrence entre

c_k

c_(k + 2)

.
b) Étudier la convergence des deux séries entières, paire et impaire :

\sum_(p = 0)^(+ \infty)c_(2p)x^(2p)

\sum_(p = 0)^(+ \infty)c_(2p + 1)x^(2p + 1)

. Dire dans quels cas ce sont des polynômes et reconnaître ces polynômes.
c) Décrire l'espace des solutions de (1) dans

C^2(] - 1, 1[)

.
d) Que se passe-t-il si l'on remplace l'intervalle ouvert ] - 1,1 [ par l'intervalle fermé

[ - 1, 1]

Questions fréquentes

3 questions

Sur quoi porte le sujet de mathématiques X PC 2005 ?

Il porte sur les polynômes orthogonaux et leur lien avec les équations différentielles, via la projection orthogonale, une forme linéaire positive et un opérateur diagonalisable.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées ?

Des démonstrations d'existence non rigoureuses, une confusion entre un sous-espace et son orthogonal, une positivité non démontrée et des calculs jugés très mauvais à la question 7.

Ce sujet de mathématiques PC est-il difficile ?

La moyenne n'est que de 8,97/20 avec un écart-type de 3,85, et le rapport indique que le problème a déconcerté les candidats malgré des notions a priori connues.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Polytechnique Mathématiques PC 2005

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...