Polytechnique Physique 1 PC 2005Sujet et corrigé

ÉCOLE POLYTECHNIQUE
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2005
filière PC

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Le problème analyse le principe du piégeage dans une région restreinte de l'espace de molécules CH_3 F qui possèdent un moment dipolaire électrique, en utilisant l'interaction avec un champ électrostatique inhomogène. De tels pièges permettent l'étude des collisions moléculaires ainsi que la construction de faisceaux moléculaires utilisés en nanolithographie et pour la réalisation de dépôts de surface.

On étudie la possibilité de guider le mouvement de molécules polaires avec un système électrostatique formé de six électrodes cylindriques et parallèles {Ci, i = 1, 2, …6} disposées aux sommets d'un hexagone régulier auquel elles sont orthogonales (figure 1).

Leur rayon a est très inférieur au côté R de l'hexagone, a≪R. Elles portent des densités linéiques de charge égales alternativement à λ(λ > 0) pour les électrodes impaires et − λ pour les paires; on considèrera que ces charges sont fixes et uniformément réparties à leur surface. On négligera les effets d'extrémités, l'ensemble pouvant être considéré comme invariant par translation selon l'axe central Oz du système. On utilisera un système de coordonnées cylindriques ( r, θ, z ) avec comme repère orthonormé ( e⃗_r, e⃗_θ, e⃗_z ).

a) Quelles conclusions sur le champ E⃗ et le potentiel électrostatique V tire-t-on de l'invariance par translation du système?
b) Considérer la symétrie par rapport à un plan perpendiculaire à l'axe. Quelle propriété du champ électrique E⃗ en déduit-on?
c) Même question pour l'un des trois plans passant par l'axe central et les axes de deux électrodes opposées.
d) Montrer que les trois plans passant par l'axe et à égale distance des électrodes sont équipotentiels.
e) Quelle est la période angulaire d'invariance du système par rotation autour de l'axe Oz ? En déduire une expression générale du potentiel V(r, θ, z) sous forme d'une série.
2. Soit une électrode de densité linéique de charge λ. Déterminer le champ électrostatique créé par cette électrode en un point P à l'aide de la distance D de ce point à son axe ( D > a ). En déduire une expression du potentiel électrostatique correspondant.
3. On considère maintenant l'ensemble des électrodes du système. Montrer que, en le choisis-
sant nul sur l'axe central, le potentiel électrostatique en un point P est donné par l'expression :

où D_i désigne la distance de P à l'axe de l'électrode Ci.
4. Pour expliciter le potentiel en fonction des coordonnées de P, il est commode de considérer le plan xOy comme plan de représentation des nombres complexes. Le point P y est repéré par Z_– = x + iy = rexp(iθ), les axes des électrodes impaires le sont par ( R, jR, j^2 R ) et ceux des électrodes paires par ( − R, − jR, − j^2 R ), avec j = exp(i2π/3) racine cubique de l'unité. Montrer que :

Montrer que le potentiel électrostatique dans la partie centrale de l'hexapôle s'exprime simplement en fonction de cette capacité linéique et de la tension V_0.
8. Application numérique. Calculer la capacité électrostatique par unité de longueur d'un hexapôle ayant R = 2.5 cm et a = 2.5 mm.

Dans cette partie, on analyse le mouvement de molécules, possédant un moment dipolaire permanent d⃗, dans le champ électrique de l'hexapôle électrostatique étudié en partie I. Dans le vide, les molécules, libres de tourner, ont un mouvement de rotation; l'énergie et le moment cinétique correspondant sont quantifiés. Seul compte, pour le couplage avec le champ électrique, la projection d_(eff) = d⃗ ⋅ E⃗/|E⃗| du moment dipolaire sur la direction du champ électrique; d_(eff) est une constante positive, négative ou nulle, donnée pour chaque état moléculaire.

À quelle condition sur le signe de d_(eff) le mouvement est-il périodique? Quelle est alors la fréquence angulaire ω_0 correspondante ? Quel est le mouvement des molécules ayant d_(eff) de signe contraire?
4. Résoudre cette équation différentielle pour un mouvement périodique d'une molécule située à l'instant t = 0 sur l'axe central et ayant une vitesse v⃗(t = 0) = v_(0x)e⃗_x + v_(0y)e⃗_y + v_(0z)e⃗_z.

Un jet moléculaire effusif est généré à partir d'une enceinte contenant CH_3 F gazeux, à température T, munie d'un orifice de sortie. Le jet est collimaté par un diaphragme de petit diamètre donnant pour direction moyenne du jet celle de l'axe central Oz de l'hexapôle.
5. Montrer que l'hexapôle permet de refocaliser les molécules, en opérant une sélection selon le moment dipolaire. Préciser la distance de première refocalisation.
6. Dans un tel jet, la distribution des vitesses est donnée par l'expression dN(v) = Av^3 exp(− mv^2/2k_B T)dv, où dN(v) est le nombre de molécules qui ont le module de leur vitesse entre v et v + dv et A un facteur ne dépendant que de la température.

Établir l'expression de la vitesse la plus probable du jet. La comparer à la vitesse quadratique moyenne dans l'enceinte.
7. Application numérique. On donne R = 2, 5 cm, a = 2, 5 mm, V_0 = 50kV et T = 140 K. On analyse le mouvement des molécules CH_3 F ayant un moment dipolaire |d_(eff)| = 3 × 10^(− 30)C ⋅ m.
a) Calculer ω_0.
b) Calculer la position du premier point P(0, 0, 1) où les molécules, ayant la vitesse la plus probable du jet, sont refocalisées sur l'axe Oz.

Pour stocker des molécules polaires dans une région limitée de l'espace, on modifie l'hexapôle étudié auparavant en courbant les électrodes pour les transformer en tores, tous de même axe Ox (figure 2) ; l'axe central de l'hexapôle est devenu un cercle de rayon ρ_T, et dans un plan méridien passant par Ox, les électrodes gardent la même position relative, aux sommets d'un hexagone régulier de côté R. Lorsque le rayon du tore ρ_T est très grand par rapport au rayon de l'hexapôle R, on admettra qu'il n'y a pas, au voisinage du cercle central, de distorsion significative du champ électrostatique par rapport au cas linéaire étudié en partie II. Pour confiner le mouvement des molécules dans la région centrale du potentiel électrostatique, on interpose un diaphragme vertical, centré sur la circonférence ρ = ρ_T du tore, qui laisse passer les molécules à travers un trou de rayon r_D.

On utilise un système de coordonnées cylindriques (ρ, φ, x).

Expliciter en coordonnées cylindriques l'énergie mécanique totale E(ρ, ρ˙, φ, φ˙, x, x˙) des molécules et montrer qu'elle est la somme de deux termes reliés respectivement au mouvement radial et angulaire et au mouvement selon Ox. Montrer que chacun de ces deux termes se conserve.
3. On analyse le mouvement des molécules qui suivent des trajectoires circulaires ρ(t) = ρ_0 dans le plan x = 0.
a) Comparer ρ_0 à ρ_T et commenter le résultat obtenu.
b) Exprimer la vitesse radiale v_φ = ρ_0 φ˙ en fonction du rayon de la trajectoire.
c) Application numérique. On considère un anneau de stockage avec les caractéristiques suivantes : rayon moyen ρ_T = 0, 5 m, rayon de l'hexapôle R = 2, 5 cm et rayon des électrodes a = 2, 5 mm. Les électrodes sont aux potentiels ± V_0 avec V_0 = 50kV et r_D = 2.5 mm. Représenter graphiquement la dépendance v_φ = v_φ(ρ_0) pour les molécules qui suivent des trajectoires circulaires dans ce système. En déduire la valeur maximale v_φ^(max) de la vitesse pour laquelle le mouvement reste confiné à l'intérieur du tube torique de rayon r_D pour |d_(eff)| = 3 × 10^(− 30)C ⋅ m.
4. On analyse le mouvement des particules décrivant une trajectoire sur la surface cylindrique ρ(t) = ρ_0.
a) Déterminer x = x(t) pour les conditions initiales x(t = 0) = 0 et x˙(t = 0) = v_(x_0).
b) Estimer la valeur maximale de la vitesse v_(x_0) pour laquelle le mouvement reste confiné à l'intérieur du tube torique de rayon r_D. Représenter graphiquement la dépendance v_(x_0)^(max) = v_(x_0)^(max)(ρ_0) en employant les valeurs données en 3.c).
5. On analyse le mouvement des molécules dans le plan (ρ(t), φ(t), x = 0). Les molécules sont injectées au centre de l'anneau ρ(t = 0) = ρ_T avec une vitesse initiale v⃗(t = 0) = v_(φ_0)e⃗_φ + v_(ρ_0)e⃗_ρ, où v_(φ_0) est inférieure à v_φ^(max) déterminé en 3.c).
a) Montrer que l'énergie mécanique des molécules peut se mettre sous la forme E_(ρ, φ) = (mρ˙^2)/2 + U_(eff)(ρ), où le dernier terme correspond à une énergie potentielle effective à expliciter.
b) Montrer, en utilisant une représentation graphique, que le mouvement radial est contenu dans un intervalle [ρ^(min), ρ^(max)].
c) Calculer la valeur maximale v_(ρ_0)^(max) de la vitesse radiale pour laquelle le mouvement reste confiné à l'intérieur du tube torique de rayon r_D pour une vitesse v_(φ_0) donnée. Montrer que cela impose également une condition sur la valeur maximale v_φ^(max) plus stricte que celle déterminée en 3.c).
d) Application numérique. Représenter graphiquement la dépendance v_(ρ_0)^(max) = v_(ρ_0)^(max)(v_(φ_0)) en utilisant les valeurs de 3.c).
6. Afin de remplir l'anneau de stockage des molécules, on utilise un jet moléculaire effusif dont l'axe de propagation est tangent à la circonférence ρ = ρ_T du tore qui n'est pas sous tension initialement. Le jet est d'abord collimaté, puis un hexapôle linéaire le focalise sur la circonférence du tore. Le jet est périodiquement haché, et lorsque un paquet de molécules arrive sur la circonférence du tore, on applique les tensions de stockage ± V_0.
a) Expliquer l'effet du diaphragme de rayon r_D sur la distribution de vitesses du jet et son intérêt pour ce dispositif expérimental.
b) Estimer à partir de II. 7 et III.5.c), la probabilité pour qu'une molécule ayant un moment dipolaire effectif d_(eff) donné soit stockée dans l'anneau. Évoquer quelques possibilités pour augmenter cette probabilité.