WikiPrépaLivrets

Polytechnique Physique 1 PC 2004Sujet

Pas encore noté
  • Statique des fluides et équilibre gravitationnel
  • Théorème du viriel
  • Ondes acoustiques et célérité du son
  • Perturbations linéaires d'un fluide stratifié
  • Optique géométrique (lois de la réfraction) et analogie acoustique
  • Modes propres et ondes stationnaires
Logo concours X

Explorer les annales

BanqueX-ENSAnnée2004FilièrePCMatièrePhysique
Annales X-ENS PC PhysiqueX-ENS PC 2004PC PhysiquePhysique 2004

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Lire en ligneLaTeXWord
  • Corrigé : pas encore disponible
  • Rapport du jury : non disponible

Présentation du sujet

Héliosismologie : structure interne du Soleil, ondes acoustiques dans les couches périphériques et internes
Afficher ou masquer la section

Le problème étudie, dans le cadre de modèles simplifiés, la propagation d'ondes acoustiques à l'intérieur du Soleil, à l'origine des oscillations observées en héliosismologie. La première partie construit un modèle simple de structure interne du Soleil (pression, masse volumique et température centrales, profil adiabatique de célérité du son avec la profondeur). La deuxième étudie la propagation d'ondes acoustiques planes dans les couches périphériques par une analyse en perturbation linéaire, jusqu'à l'effet de l'atmosphère stellaire.

  1. 1Partie I : structure interne du Soleil, un modèle simpleEstimer par analyse dimensionnelle la pression, la température et la masse volumique centrales du Soleil, puis établir le profil adiabatique de pression, masse volumique et célérité du son en fonction de la profondeur.
  2. 2Partie II : oscillations dans les couches périphériquesLinéariser les équations du mouvement d'un fluide stratifié pour établir l'équation de propagation des ondes acoustiques planes, en donner une solution analytique et étudier le comportement des ondes au voisinage de la surface stellaire.
  3. 3Partie III : oscillations dans les couches internesÉtudier, par analogie avec les lois de la réfraction optique, la trajectoire des rayons acoustiques dans une structure sphérique, en déduire les modes d'oscillation stationnaires et leurs périodes, dont les modes radiaux du Soleil.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Pas encore de corrigé pour ce sujet : voici des sujets proches corrigés.

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES

PREMIÊRE COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

L'héliosismologie

L'héliosismologie - l'étude sismique du Soleil - a pris son essor au cours des années 1970 lorsque l'on s'est aperçu que les raies du spectre solaire étaient modulées à des périodes de l'ordre de 5 minutes, et que cette modulation était due aux oscillations globales du Soleil. Ces oscillations sont de type acoustique.
Le but de ce problème est d'analyser dans le cadre de modèles très simplifiés, la propagation de ces ondes acoustiques à l'intérieur d'un astre fluide et sphérique tel le Soleil.

Données numériques :

Constante de gravitation : G = 6, 67 × 10^(− 11) kg^(− 1) ⋅ m^3 ⋅ s^(− 2)
Constante des gaz parfaits : R_(GP) = 8, 31 J ⋅ K^(− 1) ⋅ mol^(− 1)
Masse molaire de l'hydrogène : m_H = 1 g ⋅ mol^(− 1)
Masse molaire de l'hélium : m_(He) = 4 g ⋅ mol^(− 1)
Masse molaire moyenne du Soleil : μ = 1, 27 g ⋅ mol^(− 1)
Masse du Soleil : M = 2, 0 × 10^(30) kg
Rayon du Soleil : R = 7, 0 × 10^8 m
Température de surface du Soleil : T^∗ = 5800 K
Dans tout le problème, on supposera que le Soleil possède la symétrie sphérique, et on négligera sa rotation propre. Sa composition sera assimilée à celle d'un gaz parfait monoatomique de masse molaire μ.

I. La structure interne du Soleil : un modèle simple

1. Les ordres de grandeur

On cherche à estimer l'ordre de grandeur de la pression P_C, de la masse volumique ρ_C et de la température T_C au centre du Soleil. On admettra que l'étoile n'est composée que d'hydrogène atomique et d'hélium, et que la concentration en hélium est uniforme dans toute l'étoile.
a) Estimer, par analyse dimensionnelle, l'ordre de grandeur de la pression P_C au centre d'un astre de masse M et de rayon R soumis à sa propre gravité. Calculer P_C dans le cas du Soleil.
b) On désigne par E_C l'énergie cinétique du gaz parfait monoatomique de masse molaire μ constituant l'étoile et par Ω l'énergie potentielle interne de gravitation de cet astre; on admettra la relation Ω + 2E_C = 0 que donne le théorème du viriel.
Trouver, à l'aide d'une simple analyse dimensionnelle, une expression de l'énergie de gravitation Ω; écrire l'expression de l'énergie cinétique E_C du gaz stellaire en supposant, pour cette question seulement, que la température T du gaz stellaire est uniforme. En déduire l'ordre de grandeur de la température du gaz que l'on assimilera à la température T_C au centre de l'astre ainsi que l'ordre de grandeur de la masse volumique centrale ρ_C. Calculer ces deux valeurs dans le cas du Soleil.

2. Le champ gravitationnel

a) g⃗ désignant le champ de gravitation au sein de l'astre, donner l'expression de son module g au niveau repéré par la variable radiale r, en fonction de la masse m(r) de la boule de rayon r.
b) Montrer que, dans le cas du Soleil, dont la période de rotation moyenne est de l'ordre de 27 jours, négliger la rotation est tout à fait licite.
Pour toute la suite du problème on supposera que le module g du champ gravitationnel est uniforme dans toute l'étoile.

3. L'état d'équilibre

On note P_0(r) la pression d'équilibre au niveau r et g le module, uniforme dans toute l'étoile, du champ de gravitation. On suppose de plus que la structure interne de l'astre est adiabatique, l'indice adiabatique γ étant pris lui aussi uniforme dans toute l'étoile : P_0 = Bρ_0^γ. Afin d'alléger les calculs on notera la constante de proportionnalité sous la forme B = (g(γ − 1))/(γA), A étant une autre constante et on définira la profondeur z dans l'astre par z = R − r.
a) Pour quelle raison physique peut-on exclure de l'étude le cas γ = 1 ?
b) Exprimer g en fonction de G, M et R et calculer sa valeur dans le cas du Soleil.
c) Écrire l'équation locale exprimant l'équilibre au sein de l'astre. En déduire les expressions de P_0(z) et ρ_0(z). Donner l'allure des graphes correspondants.
d) La célérité c d'une onde acoustique dans un fluide, de pression P et de masse volumique ρ est donnée par c^2 = ((∂P)/(∂ρ))_S, dans l'hypothèse d'adiabaticité et la dérivée étant prise à l'état d'équilibre. L'exprimer pour le Soleil en fonction de γ, P_0 et ρ_0. Montrer que, à l'intérieur du
Soleil, la valeur de cette grandeur dépend de la profondeur z selon la loi :
c^2(z) = (γ − 1)gz
Calculer numériquement la vitesse du son c_R = c(R) au centre du Soleil, en prenant γ = 5/3.
e) Le Soleil possède une température de surface T^∗; en déduire dans quelle partie de l'astre solaire le modèle précédent décrivant l'évolution de c avec la profondeur z est mis en défaut. Déterminer les expressions de la vitesse du son minimale c^∗ et de l'ordre de grandeur de l'épaisseur de la couche z^∗ dans laquelle le modèle n'est plus applicable. Calculer numériquement leurs valeurs avec γ = 5/3.

II. Étude des oscillations dans les couches périphériques

Dans les couches périphériques de l'étoile, on modélise localement le milieu stellaire par une structure de plans parallèles. On repère une couche par sa profondeur z = R − r. On s'intéresse aux petites perturbations des champs de pression et de masse volumique, de valeurs à l'équilibre P_0(z) et ρ_0(z). Par souci de généralité, on mènera les calculs avec les fonctions P_0(z) et ρ_0(z) et non avec leurs expressions analytiques fonctions de z établies précédemment. On ne se servira de ces dernières expressions que dans les cas particuliers explicitement mentionnés.
On considère des ondes planes de propagation verticale; les perturbations des champs de vitesse verticale v, de pression P et de masse volumique ρ, sont définies par :
v(z, t), = 0 + v_1(z, t); P(z, t), = P_0(z) + p_1(z, t); ρ(z, t), = ρ_0(z) + ρ_1(z, t)

1. Évolution des champs

a) Écrire l'équation du mouvement d'une particule fluide soumise aux seules forces de gravité et de pression. La linéariser; le terme convectif de l'accélération (v⃗ ⋅ ∇⃗)v⃗ sera supposé négligeable.
b) Que traduit l'équation : (∂ρ_1)/(∂t) = − (∂(ρ_0 v_1))/(∂z) ?
c) L'évolution locale du gaz est supposée adiabatique avec P = Bρ^γ. En déduire par linéarisation la relation
p_1 = c^2 ρ_1
où c^2(z) est la célérité locale des ondes acoustiques introduite en I.3.d).
d) Déduire des relations précédentes l'équation décrivant la propagation du champ de masse volumique ρ_1 :
(∂^2)/(∂z^2)(ρ_1 c^2) − g(∂ρ_1)/(∂z) − (∂^2 ρ_1)/(∂t^2) = 0
e) Développer cette équation en explicitant c^2(z) obtenu en I.3.d).

2. Solution analytique

a) En prenant γ = 5/3, vérifier que l'équation d'évolution de ρ_1 admet comme solutions des ondes progressives de la forme générale ρ_1(z, t) = f(t ± 2z/c(z)).
Dans la suite du problème, on conserve γ = 5/3.
b) ρ_0(z) étant de la forme z^(1/(γ − 1)), montrer que ρ_1 est nul à la surface. Quelle en est la conséquence pour une onde progressive arrivant en surface?
c) On considère une onde monochromatique de pulsation ω de la forme ρ_1(z, t) = F(z)cosωt. Dans quel type d'onde peut-on la classer? Expliciter F(z) en désignant par A_M l'amplitude maximale de l'onde.
d) En déduire l'expression correspondante de p_1(z, t). Quelle est la particularité que présente en fonction de z l'amplitude de l'onde de pression?
e) Déterminer l'expression de l'onde de vitesse associée v_1(z, t). Quelles particularités observez-vous tant sur sa dépendance temporelle que spatiale? Montrer que l'amplitude de v_1 atteint une limite finie à la surface, en z = 0.

3. Evolution au voisinage de la surface

a) À partir du niveau z^∗ défini en I.3.e), et jusqu'à des altitudes positives (z < 0), l'atmosphère stellaire est supposée isotherme à l'équilibre, et la vitesse des ondes sonores y prend la valeur c^∗. Écrire l'équation d'évolution de ρ_1 valable dans cette zone. Pour des ondes sinusoïdales, montrer qu'il existe une pulsation limite ω_(lim) séparant les ondes qui pénètrent dans cette zone de celles qui n'y pénètrent pas. Calculer numériquement ω_(lim) et la période T_(lim) associée.
b) Les régions visibles de l'atmosphère stellaire étant au voisinage de z = z^∗, quel effet physique permet de percevoir le champ de vitesse v_1 ? Quel type de mesure permet d'y avoir accès? Le comportement du champ v(z) est-il favorable à une telle mesure?

III. Étude des oscillations dans les couches internes

Dans les couches internes de l'étoile il n'est plus possible de négliger la structure sphérique. On suppose que l'onde est sinusoïdale, localement plane et on admet que la vitesse de phase est donnée par l'expression obtenue en I.3.d), c^2(z) = (γ − 1)gz avec z = R − r Pour une étude simple, on utilise une description en termes de « rayons acoustiques ». Pour les applications numériques, on prend γ = 5/3.

1. Réfraction

Par analogie avec l'optique, on définit l'indice acoustique local du milieu comme le rapport de la vitesse du son c_R au centre de l'astre à la vitesse du son locale :
n = (c_R)/(c(z))
a) Rappeler les lois de la réfraction. Montrer qu'elles impliquent, dans le cadre du modèle « plan parallèle » où l'indice n'est fonction que de la coordonnée cartésienne z, la conservation de nsini où i est l'angle d'incidence. Pour un déplacement élémentaire le long du rayon, exprimer la variation di de l'angle d'incidence en fonction de dn, n et i.
b) Dans une situation à symétrie sphérique, montrer qu'un rayon acoustique se propage en restant dans un plan passant par le centre (plan diamétral).
c) De plus, à la variation de l'angle d'incidence calculée ci-dessus et désignée par di_1, s'ajoute une autre contribution d'origine purement géométrique di_2. Exprimer di_2 en fonction de dr, r et i.
d) Déduire de ces résultats la conservation de la quantité D = nrsini le long du rayon acoustique.
e) En déduire que la relation précédente implique, sauf dans le cas où D est nul, l'existence d'un niveau limite r_C en dessous duquel il n'y a plus de propagation verticale de l'onde. Quelle est la direction du rayon acoustique à ce niveau?

2. Trajectoire des rayons acoustiques

a) Soit r = f(θ) l'équation polaire d'un rayon acoustique. À partir des résultats précédemment obtenus, justifier qu'un rayon acoustique associé à une valeur de D fixée est constitué d'arcs successifs contenus dans une couronne de rayons r_(min) et r_(max) que l'on identifiera. Que subit le rayon acoustique respectivement en r = r_(min) et r = r_(max) ?
b) Montrer que, dans la partie II, il était justifié de supposer verticale la propagation dans les couches supérieures de l'étoile.
c) On pose Δθ = θ_2 − θ_1, où θ_1 et θ_2 sont les angles polaires correspondants aux extrémités d'un arc. Un mode correspond à une trajectoire du rayon acoustique fermée sur un tour. Δθ ne peut alors prendre que des valeurs discrètes que l'on déterminera en fonction d'un nombre entier p.
d) On montre que Δθ ne dépend que du rapport α = r_C/R, soit α_p pour le mode p. De plus, en considérant l'aspect ondulatoire de la propagation, un mode correspond à une onde stationnaire présentant des nœuds de ρ_1 en surface (cf. II.2.b). Soit τ_p le temps de propagation de la phase de l'onde le long d'un arc du mode p; τ_p est donné par τ_p = (2R/c_R)β_p où β_p est un facteur numérique ne dépendant que de α_p.
Dans ces conditions, montrer qu'au mode p correspondent des ondes stationnaires de diverses périodes sous-multiples d'une période fondamentale T_p; exprimer T_p en fonction de τ_p.
e) Le tableau ci-dessous donne les valeurs de α_p et de β_p pour quelques valeurs de p. Calculer les valeurs correspondantes des périodes T_p.
p 4 6 8 10 12 18
α_p 0,459 0,645 0,737 0,791 0,827 0,886
β_p 1,805 1,586 1,423 1,299 1,202 1,003
f) Représenter sur un schéma en coupe de l'intérieur stellaire, l'allure des rayons associés aux modes d'ordre p = 4 et p = 12. Quels modes fourniront des informations sur la structure du centre de l'astre? Lesquels seront surtout sensibles aux propriétés des couches périphériques?

3. Les modes radiaux

On définit la fréquence caractéristique des oscillations du Soleil par :
ν_0 = (2∫_0^R(dr)/c)^(− 1)
a) D'après la définition de cette fréquence, quel phénomène physique a pour durée la période T_0 = 1/ν_0 ?
b) Le profil de la célérité du son étant toujours celui trouvé en partie I), montrer que la valeur de ν_0 est dominée par les couches périphériques de l'astre. Déterminer ν_0 en fonction de γ, G, M et R. Calculer la période T_0 associée dans le cas du Soleil.
c) Montrer que nécessairement, le centre du Soleil correspond pour l'oscillation à un nœud de vitesse. On note ν_(n, 0) la fréquence propre du mode d'oscillation stationnaire présentant radialement n nœuds d'oscillation pour la vitesse (centre exclu).
Une première estimation des modes radiaux consiste à déterminer les pulsations pour lesquelles ω∫_0^R(dr)/(c(r)) = qπ + π/2 où q est un entier positif ou nul ; donner une justification de cette expression. Montrer que cette relation donne des modes d'oscillations radiales de fréquences :
ν_(q, 0) = (q + 1/2)ν_0
Les modes excités du Soleil qui sont observés ont des périodes voisines de 5 minutes. Quel est l'ordre q moyen de ces modes radiaux?

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de physique 1 X-ESPCI PC 2004 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte ce sujet de physique 1 X-ESPCI PC 2004 ?

Il porte sur la statique des fluides autogravitants, la propagation des ondes acoustiques dans un milieu stratifié, et l'analogie entre réfraction optique et trajectoire de rayons acoustiques dans une structure sphérique.

Le sujet demande-t-il de connaître le théorème du viriel ?

Oui, la partie I l'utilise pour estimer par analyse dimensionnelle la température et la masse volumique au centre du Soleil.

Quelles parties de ce sujet sont indépendantes ?

Les parties s'enchaînent : la partie I établit le modèle de structure interne utilisé dans les parties II et III, consacrées respectivement aux couches périphériques et aux couches internes.

Ce sujet fait-il le lien avec l'optique géométrique ?

Oui, la partie III utilise une analogie formelle entre indice optique et indice acoustique pour étudier la trajectoire des rayons acoustiques dans le Soleil à l'aide des lois de la réfraction.

Pas de description pour le moment