Polytechnique Physique 1 PC 2003Sujet et rapport du jury

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES

PREMIÈRE COMPOSITION DE PHYSIQUE

La matière noire dans l'univers

Données numériques

Formulaire

I. Modélisation d'une galaxie spirale

1. Considérons d'abord le cas limite où b = 0.
   a) Donner l'expression simplifiée du potentiel gravitationnel que l'on notera Φ_D.
   b) Montrer qu'en tout point ( R, z ) avec z < 0, le potentiel Φ_D est équivalent à celui engendré en ce même point par une masse ponctuelle placée en (0, a). Que peut-on en conclure en ce qui concerne la valeur de la densité de masse ρ(R, z) en tout point du demi espace z < 0 ?
   c) A quel système simple est équivalent le potentiel en tout point (R, z) avec z > 0 ?
   d) Où se trouve localisée la masse correspondant à Φ_D. Préciser, sans calcul, la forme des courbes isodensité et caractériser la forme générale de la galaxie.
2. Considérons à présent le cas où a = 0.
   a) Donner, en fonction de r, G, M et b, l'expression simplifiée du potentiel gravitationnel que l'on notera Φ_S.
   b) En déduire la forme des surfaces isodensité et caractériser la forme générale de la galaxie dans ce cas.
3. Décrire schématiquement, dans un plan contenant 0z, l'évolution des courbes d'isodensité lorsque le rapport b/a varie. Illustrer graphiquement le cas où b≫a et celui où b≪a.
4. Une galaxie spirale peut être décrite par un disque fin présentant un renflement en son centre; les «bras » en spirale de la galaxie correspondent à de petites surdensités locales qui seront négligées. On admettra que le potentiel Φ_G est apte à décrire la distribution de masse visible d'une telle galaxie.

II. Rotation d'une galaxie spirale

1. La plupart des étoiles de la galaxie se déplacent selon des orbites circulaires dans le plan équatorial de la galaxie.
   a) Pour une orbite de rayon R, déterminer la valeur de la vitesse V(R) de l'étoile en fonction de G, M, R, a et b. Quelle est la forme asymptotique de V(R) quand R tend vers l'infini?
   b) Exprimer en fonction de a et de b la distance R_(max) à laquelle V(R) est maximale.
2. Application numérique. On donne pour une galaxie typique a = 1kpc, b = 0, 1kpc, M = 2 × 10^(10)M_S.
   a) Calculer la vitesse V(R) à la distance R = 50kpc du centre.
   b) Calculer la vitesse maximale V_(max) = V(R_(max)).
   c) Illustrer graphiquement l'allure de V(R).

III. Mesure expérimentale de la rotation d'une galaxie

1. La galaxie est assimilée à un disque mince à symétrie axiale, dont la normale au plan fait un angle i avec la direction de visée (figure 1).
   a) Comment peut être déterminée expérimentalement l'inclinaison i de la galaxie?
   b) Exprimer en fonction de i, θ et V(R) la composante V_(obs) de la vitesse de rotation V(R) selon la ligne de visée Δ orientée de la galaxie vers l'observateur.

Figure 1. Dans le plan de la galaxie, l'angle θ a pour origine la direction x^′ x de ce plan orthogonale à la direction de visée Δ, l'axe y^′ y étant la projection de Δ sur ce plan.

2. Lorsqu'une source émettant une onde électromagnétique de célérité c et de longueur d'onde λ se rapproche d'un observateur à la vitesse v≪c le long de sa direction de visée, ce dernier mesure une longueur d'onde λ^′ décalée (effet Doppler) donnée par : λ^′ = λ(1 − v/c) au premier ordre en v/c.
   a) Un observateur mesure les longueurs d'onde λ^′(θ) et λ^′(θ + π) de la raie d'émission de l'hydrogène neutre émise en deux points diamétralement opposés de la galaxie. Exprimer en fonction de i, θ, V(R) et λ (la longueur d'onde de la raie à l'émission) le décalage spectral Δλ^′ = |λ^′(θ + π) − λ^′(θ)| observé. Pour quel diamètre Δλ^′ est-il maximal?
   b) Quelles sont les inclinaisons de galaxies défavorables à cette mesure?
3. La plupart des galaxies pour lesquelles la mesure a pu être effectuée ont une loi V(R) qui est en accord avec les prédictions de la partie II dans les régions centrales de la galaxie, mais qui tend vers une valeur constante V_C au-delà de quelques kiloparsecs du centre, correspondant à R≫a, b.
   a) Dans ce domaine R≫a, b, en supposant sa distribution à symétrie sphérique et en utilisant les résultats de la partie II, déterminer la dépendance en R de la masse M_(tot)(R) contenue dans la sphère de rayon R, qui permet d'interpréter l'existence d'une vitesse constante V_C; en quoi cela justifie-t-il l'existence de matière noire au sein des galaxies?
   b) En considérant la galaxie constituée de deux composantes massiques, l'une visible (disque lumineux D ) et l'autre sombre (halo H ), exprimer la vitesse résultante V_(tot) en fonction des vitesses V_D et V_H que donnerait chacune des composantes prises individuellement.
   c) Le halo, supposé à symétrie sphérique, peut être modélisé par une distribution de matière de la forme ρ_H(r) = (β_0)/(r^2 + r_0^2) où r_0 et β_0 sont des paramètres. Justifier la dépendance à
   grande distance en 1/(r^2) de la densité de masse totale ρ_(tot). Établir l'expression de ρ_(tot) en fonction de r, V_C et G. En déduire que β_0 = (V_C^2)/(4πG). Quel est l'intérêt de l'introduction de la constante r_0 ?
   d) Exprimer V_H(R) en fonction de V_C, R et r_0.
4. Application numérique : V_C = 200 km ⋅ s^(− 1), r_0 = 5kpc.
   a) Les méthodes d'observation ne fournissent aucune donnée au-delà de R_(lim) = 50kpc, distance pour laquelle V(R) ≃ V_C. En déduire une limite inférieure de la masse totale M_T de la galaxie et une limite supérieure à la fraction massique d'étoiles au sein de la galaxie.
   b) Calculer V_H et V_(tot) à R = R_(max) et à R = R_(lim) du centre de la galaxie. Dessiner schématiquement les courbes V_D(R) due au disque, V_H(R) due au halo ainsi que la courbe V_(tot)(R).
5. Une dizaine de points de mesure régulièrement espacés le long d'un diamètre de la galaxie sont nécessaires pour estimer sa «courbe de rotation».
   a) Quelle résolution Δλ/λ sur la mesure des longueurs d'onde des raies est nécessaire pour mesurer une vitesse de rotation de l'ordre de V_C ?
   b) En raison de la limite due à la diffraction, quelle est la taille minimale du radiotélescope qu'il faut utiliser pour obtenir la résolution spatiale voulue sur la galaxie la plus proche dont le diamètre angulaire est de 10 minutes d'arc? Quelle technique peut être envisagée pour obtenir une telle résolution?

IV. Amas de galaxies

1. En utilisant la masse d'une galaxie typique de la partie II. 2 et en considérant qu'un amas comporte N = 100 galaxies, calculer numériquement la contribution M_V à la masse de l'amas sous forme de galaxies. C'est la masse visible de l'amas.
2. La masse gravitationnelle de l'amas peut être déduite des déterminations des vitesses des galaxies dans le champ gravitationnel de l'amas. On observe expérimentalement que le décompte des galaxies en fonction de leur vitesse croit avec celle-ci jusqu'à une coupure franche, correspondant à une vitesse maximale V_(max).
   a) En interprétant cette vitesse maximale V_(max) comme une vitesse de libération, exprimer la masse gravitationnelle M_A de l'amas en fonction de G, V_(max) et R_A. En donner la valeur numérique pour R_A = 1Mpc et V_(max) = 2500 km ⋅ s^(− 1).
   b) L'amas, de rayon R_A = 1Mpc, est constitué d'une centaine de galaxies, chacune possédant un halo de rayon externe R_H. En prenant leur volume total égal à celui de l'amas, déterminer une limite supérieure pour R_H; en déduire à l'aide des résultats de III. 3 la masse totale d'une de ces galaxies. Comparer alors la somme des masses ainsi évaluées des galaxies à la masse M_A de l'amas; qu'en concluez-vous?
3. L'ensemble de l'amas baigne dans un gaz chaud d'ions et d'électrons détecté par son émission dans le domaine des rayons X ; soit T_g sa température. Nous allons ici évaluer la contribution de ce gaz à la masse gravitationnelle de l'amas. On désigne par M_A(r) la masse de l'amas contenue à l'intérieur de la sphère centrée de rayon r. On admet que l'amas peut être considéré comme un fluide en équilibre (équilibre entre les forces de pression et de gravitation).
   a) Établir, entre la pression P(r) du gaz, sa masse volumique ρ_g(r) et la masse M_A(r), la relation traduisant le fait que le gaz est en équilibre mécanique.
   b) En supposant que le gaz est un gaz parfait, exprimer P en fonction du nombre d'électrons par unité de volume n_e, de la constante de Boltzmann k_B et de la température du gaz T_g, en considérant le gaz composé uniquement d'hydrogène, entièrement ionisé à cette température.
   c) Comment s'écrit alors la relation d'équilibre mécanique en fonction de la densité électronique n_e, la température du gaz T_g, G, k_B, M_A(r), r, et la masse μ_H de l'atome d'hydrogène.
   d) La densité d'électrons suit la loi expérimentale n_e = (n_0)/(1 + r^2/r_A^2) avec une extension observée du gaz jusqu'à une distance 4r_A du cœur de l'amas. En faisant l'hypothèse d'un gaz isotherme, déterminer la masse M_A de l'amas; montrer que la masse M_(gaz) du gaz jusqu'à la distance limite 4r_A est donnée par M_(gaz)(4r_A) = 4πμ_H n_0 r_A^3[4 − arctan4].
   e) Application numérique. On donne k_B T_g = 9keV, n_0 = 1, 5 × 10^3 m^(− 3) et r_A = 0, 3Mpc. Calculer M_A et M_(gaz).
4. Discuter la cohérence des résultats de cette partie, et donner la composition en pourcentage massique d'un amas de galaxie en terme de gaz, matière lumineuse (galaxies) et matière noire.