Polytechnique Mathématiques 2 PC 2003Sujet, corrigé et rapport du jury

Pfaffien d'une matrice antisymétrique

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Pfaffien d'une matrice antisymétrique

Le problème construit une application définie sur les matrices antisymétriques réelles d'ordre pair, dont le carré est l'application déterminant : le Pfaffien. La première partie établit une décomposition orthogonale liée à un endomorphisme antisymétrique de carré moins l'identité, la deuxième construit le Pfaffien à partir des formes q-linéaires alternées, et la troisième en exploite les propriétés comme invariant plus fin que le déterminant.

1Première partieÉtudier un endomorphisme f antisymétrique vérifiant f² = -id, sa décomposition en somme directe orthogonale et écrire toute matrice antisymétrique d'ordre pair sous une forme canonique.
2Deuxième partieDéfinir les formes q-linéaires alternées et construire le Pfaffien d'une matrice antisymétrique d'ordre pair à partir de ces formes.
3Troisième partieMontrer que le Pfaffien est un invariant plus fin que le déterminant pour les matrices antisymétriques d'ordre pair et l'utiliser pour résoudre des questions déjà posées par le déterminant seul.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que le sujet ne présentait aucune difficulté pour un mathématicien averti, la discrimination se faisant surtout sur la rapidité et la précision des réponses.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Lecture trop rapide de l'énoncé · Récurrence tentée sur une question qui se démontre en une ligne · Utilisation du déterminant au lieu du Pfaffien

Le sujet ne présentait aucune difficulté pour un mathématicien averti, même si certaines questions n'ont pas été traitées par les candidats ; l'essentiel de la discrimination s'est fait sur la capacité à répondre rapidement et avec précision. Le rapport relève une fébrilité fréquente chez les candidats : lecture trop rapide de l'énoncé, tentative de grappiller des points sans comprendre le sens des questions, et précipitation dans la rédaction.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Lecture trop rapide de l'énoncéQ5
Plusieurs candidats se sont induits en erreur en ne lisant pas calmement le texte, par exemple en oubliant une hypothèse de la question 5 ou en confondant les valeurs propres de f² avec celles de f.
2
Récurrence tentée sur une question qui se démontre en une ligneQ1
Un grand classique qui se démontre en une ligne n'a pourtant pas été réussi par plus de la moitié des candidats, dont beaucoup ont cherché une récurrence improbable.
3
Utilisation du déterminant au lieu du PfaffienQ14, Q15
En troisième partie, les candidats ont juste essayé d'utiliser le déterminant comme outil, ce qui ne permettait pas de conclure et ne rapportait aucun point.
4
Théorème classique redémontré au lieu d'être citéQ5.a
Certains candidats ont perdu du temps à redémontrer un théorème classique sur les bases orthonormales de vecteurs propres, alors qu'il suffisait de le citer dans le contexte de l'épreuve.
5
Mauvaises notations sources d'erreursQ3
L'utilisation du symbole du produit scalaire à la place de celui indiqué dans l'énoncé a été source d'erreurs grossières, avec des confusions entre produit et composition.

Ce qui a été bien réussi

La question 4.b a été bien vue par les candidats.
De nombreux candidats ont bien vu ce qui se passait dans le cas particulier de la question 8.b lorsque deux indices consécutifs sont égaux.
Certains candidats ont montré à la question 11.b qu'ils avaient bien compris l'impact d'un changement de base sur le déterminant et sur le Pfaffien.

Conseils du jury

Lire calmement l'énoncé en entier avant de répondre, pour ne pas se tromper sur les hypothèses exactes d'une question.
Citer les théorèmes du cours avec discernement plutôt que de les redémontrer inutilement.
Respecter scrupuleusement les notations données dans l'énoncé pour éviter les confusions.
Chercher à comprendre le sens global d'une partie plutôt que de grappiller des points sans méthode.
Indiquer clairement le cheminement de sa pensée, même dans les questions qui paraissent simples.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Pfaffien d'une matrice antisymétrique

Le but du problème est d'étudier une application définie sur les matrices antisymétriques réelles d'ordre pair, dont le carré est l'application déterminant.

Toutes les matrices considérées sont à coefficients réels. Une matrice d'ordre

p, p \in N^*

, est une matrice carrée à

p

lignes et

p

colonnes. On désigne par

id_E

l'application identité d'un espace vectoriel

E

, par

I_p

la matrice identité d'ordre

p

et par

0_p

la matrice nulle d'ordre

p

. On note

A_p

l'espace vectoriel des matrices antisymétriques d'ordre

p

Première partie

Montrer que si $A$ est une matrice antisymétrique d'ordre impair, $DetA = 0$ .
Soit $D$ une matrice diagonale d'ordre $m, m \in N^*$ . Calculer en fonction des coefficients diagonaux de $D$ le déterminant de la matrice d'ordre $2m, (0_m, - D; D, 0_m)$ .

Soit

(E, (|))

un espace vectoriel euclidien. Dans tout le problème

f

est un endomorphisme de

E

tel que

f^* = - f

où

f^*

désigne l'adjoint de

f

.
3. On suppose que

f^2 = 0

. Montrer que

f = 0

.
4. On suppose que

f^2 + id_E = 0

.
a) Montrer que

f

est un automorphisme orthogonal de

E

.
b) Montrer que la dimension de

E

est paire.
c) Soit

v \in E

. À quelle condition les vecteurs

v

f(v)

sont-ils linéairement indépendants?
d) Soit

F

l'orthogonal du sous-espace vectoriel de

E

engendré par

v

f(v)

. Montrer que

f(F) \subset F

.
e) Soit

n = 2m, m ⩾ 1

, la dimension de

E

. Montrer qu'il existe une famille (

v_1, \dots, v_m

) de vecteurs de

E

telle que

(v_1, \dots, v_m, f(v_1), \dots, f(v_m))

soit une base orthonormale de

E

. Quelle est la matrice de

f

dans cette base?
5.a) Montrer que

f^2

est diagonalisable dans

R

. On note

λ_1, \dots, λ_k

les valeurs propres distinctes de

f^2

E_i

l'espace propre correspondant à la valeur propre

λ_i, 1 ⩽ i ⩽ k

. Montrer qu'on a une décomposition en somme directe orthogonale,

E = ⨁_(i = 1)^k E_i

b) Montrer que, pour tout

i

tel que

1 ⩽ i ⩽ k, λ_i ⩽ 0

.
c) Montrer que, pour tout

i

tel que

1 ⩽ i ⩽ k, f(E_i) \subset E_i

.
6.a) En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que pour toute matrice

A \in A_(2m)

, il existe une matrice orthogonale

Q

d'ordre

2m

et une matrice diagonale

D

d'ordre

m

telles que

A = ^t Q(0_m, - D; D, 0_m)Q

b) En déduire que pour toute matrice

A \in A_(2m)

, il existe une matrice

M

d'ordre

2m

telle que

A = ^t MJ_(2m)M

, où

J_(2m) = (0_m, - I_m; I_m, 0_m)

Deuxième partie

Soit

E

un espace vectoriel réel et

q

un entier

⩾ 2

. On appelle forme

q

-linéaire alternée sur

E

une application

ω : E^q \to R

satisfaisant les conditions suivantes :
(A) si

x_1, \dots, x_q

sont des vecteurs de

E

et s'il existe un entier

i, 1 ⩽ i ⩽ q - 1

, tel que

x_i = x_(i + 1)

, alors

ω(x_1, \dots, x_q) = 0

en d'autres termes, l'application s'annule si deux arguments consécutifs sont égaux;
(B) pour tout entier

i, 1 ⩽ i ⩽ q

, si

x_1, \dots, x_(i - 1), x_(i + 1), \dots, x_q

sont des vecteurs quelconques de

E

, l'application de

E

dans

R

définie par

x \mapsto ω(x_1, \dots, x_(i - 1), x, x_(i + 1), \dots, x_q)

est linéaire; en d'autres termes, l'application

ω

est linéaire par rapport à chaque variable.

On note

Alt_q(E)

l'ensemble des formes

q

-linéaires alternées sur

E

.
7.a) Soit

ω \in Alt_q(E)

. Montrer que, pour tout entier

i

tel que

1 ⩽ i ⩽ q - 1

, on a l'identité

ω(x_1, \dots, x_(i - 1), x_(i + 1), x_i, x_(i + 2), \dots, x_q) = - ω(x_1, \dots, x_q)

pour tous

x_1, \dots, x_q

dans

E

; en d'autres termes

ω

change de signe si l'on permute deux arguments consécutifs.
b) Soit

ω \in Alt_q(E)

. Montrer que s'il existe des entiers

i

j, i \neq j, 1 ⩽ i ⩽ q, 1 ⩽ j ⩽ q

, tels que

x_i = x_j

, alors

ω(x_1, \dots, x_q) = 0

c) Montrer que, pour tout entier

q ⩾ 2, Alt_q(E)

est un espace vectoriel réel.
d) On admet que si

E

est de dimension

n

, la dimension de

Alt_n(E)

est égale à 1 . Donner une base de cet espace vectoriel.

Soit

ω \in Alt_2(E)

. On définit une suite

ω^((p)), p

entier

⩾ 1

, par la récurrence suivante :

ω^((1)) = ω

, et si

p ⩾ 2

ω^((p))(x_1, \dots, x_(2p)), = ω(x_1, x_2)ω^((p - 1))(x_3, \dots, x_(2p)); + \sum_(i = 3)^(2p - 1)(- 1)^i ω(x_1, x_i)ω^((p - 1))(x_2, \dots, x_(i - 1), x_(i + 1), \dots, x_(2p)); + (- 1)^(2p)ω(x_1, x_(2p))ω^((p - 1))(x_2, \dots, x_(2p - 1))

pour tous

x_1, \dots, x_(2p)

dans

E

. Chaque

ω^((p))

est donc une application de

E^(2p)

dans

R

. On écrira en abrégé

ω^((p))(x_1, \dots, x_(2p)) = \sum_(i = 2)^(2p)(- 1)^i ω(x_1, x_i)ω^((p - 1))(x_2, \dots, x_(i - 1), x_(i + 1), \dots, x_(2p))

8.a) Expliciter

ω^((2))(x_1, x_2, x_3, x_4)

et montrer que

ω^((2)) \in Alt_4(E)

.
b) Montrer que, pour tout

p ⩾ 3, ω^((p)) \in Alt_(2p)(E)

.
9. On suppose à nouveau que (

E, (|)

) est un espace vectoriel euclidien et que

f

est un endomorphisme de

E

tel que

f^* = - f

. On pose, pour

x_1 \in E, x_2 \in E

ω_f(x_1, x_2) = (x_1|f(x_2))

Montrer que

ω_f \in Alt_2(E)

.
10. On suppose que

E = R^(2m)

muni de la stucture euclidienne canonique. Soit

A

une matrice antisymétrique d'ordre

2m

et soit

f

l'endomorphisme de

R^(2m)

associé à

A

. On reprend les notations des questions 8. et 9 .
a) Montrer qu'il existe un nombre réel

P(A)

tel que

(ω_f)^((m))(x_1, \dots, x_(2m)) = P(A)Det_B(x_1, \dots, x_(2m)),

pour tous

x_1, \dots, x_(2m) \in E

, où

Det_B

désigne le déterminant dans la base canonique de

R^(2m)

. Le nombre

P(A)

est appelé pfaffien de

A

.
b) Calculer

P(A)

lorsque

A \in A_4

, en fonction des coefficients

a_(1, 2), a_(1, 3), a_(1, 4)

a_(2, 3), a_(2, 4), a_(3, 4)

A

.
c) Lorsque

A = (0_m, - D; D, 0_m)

, où

D

est une matrice diagonale d'ordre

m

, calculer

P(A)

en fonction des coefficients diagonaux de

D

, et déterminer un nombre réel

α

indépendant de

D

tel que

P(A) = αDetD

Troisième partie

Soit $A \in A_(2m)$ et soit $M$ une matrice d'ordre $2m$ .
a) Montrer que $^t MAM \in A_(2m)$ .
b) Montrer que $P(^t MAM) = Det(M)P(A)$ .
En utilisant le résultat de la question 6.a), montrer que, pour $A \in A_(2m)$ ,

(P(A))^2 = Det(A)

Soit $Π : A_(2m) \to R$ une application telle que $Π(^t MAM) = Det(M)Π(A)$ , pour tout $A \in A_(2m)$ et pour toute matrice $M$ d'ordre $2m$ . Montrer qu'il existe un nombre réel $κ$ tel que, pour tout $A \in A_(2m), Π(A) = κP(A)$ .
Soit $M$ une matrice d'ordre $2m$ telle que $^t MJ_(2m)M = J_(2m)$ , où $J_(2m)$ est la matrice définie à la question 6.b). Montrer que $Det(M) = 1$ .
15.a) Soit $B$ une matrice d'ordre $m$ et soit $A = (0_m, - ^t B; B, 0_m)$ . Exprimer $P(A)$ en fonction de $Det(B)$ .
b) Soient $m_1$ et $m_2$ des entiers $⩾ 1, A_1 \in A_(2m_1), A_2 \in A_(2m_2)$ , et soit

A = (A_1, 0_(2m_1, 2m_2); 0_(2m_2, 2m_1), A_2),

où

0_(m, m^')

désigne la matrice nulle à

m

lignes et

m^'

colonnes. Exprimer

P(A)

en fonction de

P(A_1)

et de

P(A_2)

Questions fréquentes

3 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Mathématiques 2 Polytechnique PC 2003 ?

Le sujet porte sur les espaces euclidiens, la réduction des endomorphismes antisymétriques et les formes multilinéaires alternées, à travers la construction du Pfaffien d'une matrice antisymétrique.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Le jury relève surtout une lecture trop rapide de l'énoncé, des théorèmes classiques redémontrés au lieu d'être cités, et une utilisation à tort du déterminant à la place du Pfaffien en troisième partie.

Le sujet Mathématiques 2 Polytechnique PC 2003 est-il difficile ?

Le rapport indique que le sujet ne présentait aucune difficulté pour un mathématicien averti, la discrimination se faisant surtout sur la rapidité et la précision des réponses plutôt que sur la technicité.

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