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Polytechnique Mathématiques PC 2004Sujet et corrigé

Polynômes unitaires de norme minimale.

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Polynômes unitaires de norme uniforme minimale sur un compact du plan complexe
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Le problème étudie, pour un compact K du plan complexe, le problème de minimisation de la norme uniforme sur K parmi les polynômes unitaires de degré fixé d. Après une étude préliminaire sur les polynômes d'interpolation de Lagrange, il compare deux normes équivalentes sur l'espace des polynômes de degré au plus d, établit l'existence d'un polynôme unitaire de norme minimale, détermine explicitement ce polynôme dans le cas du disque unité (il s'agit de X^d), puis étudie la question de l'unicité de ce polynôme minimal à l'aide de l'ensemble des points où le maximum est atteint.

  1. 1Première partie : polynômes d'interpolation de LagrangeÉtudier les polynômes de Lagrange associés à des points distincts, leurs propriétés d'interpolation, et une relation matricielle liant leurs coefficients à une matrice de Vandermonde.
  2. 2Deuxième partie : comparaison de normes sur l'espace des polynômesComparer la norme du maximum des coefficients et la norme uniforme sur le compact K, et montrer qu'elles sont équivalentes sur l'espace des polynômes de degré au plus d.
  3. 3Troisième partie : existence d'un polynôme unitaire de norme minimaleMontrer que l'infimum de la norme uniforme sur K parmi les polynômes unitaires de degré d est atteint par un polynôme particulier.
  4. 4Quatrième partie : cas du disque unitéMontrer que, lorsque K est le disque unité fermé, le polynôme X^d réalise le minimum cherché, à l'aide du principe du maximum pour les polynômes.
  5. 5Cinquième partie : unicité du polynôme minimalÉtudier l'ensemble des points où le module du polynôme minimal atteint son maximum, et discuter l'unicité du polynôme unitaire de norme uniforme minimale sur K.

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2004

filière PC

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Polynômes unitaires de norme minimale

Pour tout entier d ⩾ 0, on désigne par E_d l'espace vectoriel complexe des polynômes à coefficients complexes de degré ⩽ d et par U_d le sous-ensemble des polynômes unitaires de degré d.

Première partie

Soit n ∈ N^∗ et soient x_1, …, x_n des nombres complexes distincts. On considère le polynôme
P(X) = ∏_(1 ⩽ k ⩽ n)(X − x_k),
et l'on désigne par P^′ le polynôme dérivé de P.
  1. Pour tout entier j, 1 ⩽ j ⩽ n, on pose
P_j(X) = (P(X))/((X − x_j)P^′(x_j)).
a) Montrer que cette expression définit un polynôme P_j de degré n − 1.
b) Calculer P_j(x_k), pour 1 ⩽ k ⩽ n, et montrer que, pour tout polynôme F, le polynôme L_F = ∑_(j = 1)^n F(x_j)P_j prend la même valeur que F en tous les points x_1, …, x_n.
c) Montrer que ∑_(j = 1)^n P_j = 1.
d) Les polynômes P_j, 1 ⩽ j ⩽ n, forment-ils une base de E_(n − 1) ?
2. Pour 1 ⩽ j ⩽ n, on pose P_j(X) = ∑_(i = 0)^(n − 1)b_(i, j)X^i, où b_(i, j) ∈ C. Soient V et B les matrices complexes n × n dont les éléments à la i^e ligne ( 1 ⩽ i ⩽ n ) et à la j^e colonne ( 1 ⩽ j ⩽ n ) sont (x_i)^(j − 1) et b_(i − 1, j), respectivement. Montrer que V est inversible, et que V et B sont inverses l'une de l'autre.
3.a) Montrer que b_(n − 1, j) = 1/(P^′(x_j)). Déterminer la valeur de ∑_(k = 1)^n((x_k)^j)/(P^′(x_k)) pour 0 ⩽ j ⩽ n − 1.
b) En déduire que ∑_(k = 1)^n((X − x_k)^(n − 1))/(P^′(x_k)) est un polynôme constant que l'on calculera.
Dans toute la suite du problème, d ∈ N^∗ est un entier fixé, et K est une partie compacte du plan complexe, contenant au moins d + 1 éléments. On pose ρ = sup_(z ∈ K)|z|. Pour tout polynôme Q ∈ E_d, on pose
‖Q‖_K = sup_(z ∈ K)|Q(z)|

Deuxième partie

Pour tout polynôme Q ∈ E_d, défini par Q(X) = ∑_(i = 0)^d a_i X^i, on pose
N(Q) = sup_(0 ⩽ i ⩽ d)|a_i|
4.a) Montrer que Q ↦ N(Q) et Q ↦ ‖Q‖_K sont des normes sur E_d et qu'elles sont équivalentes.
b) La fonction Q ↦ ‖Q‖_K est-elle continue sur l'espace vectoriel normé ( E_d, ‖‖_K )?
5.a) Majorer sup_(Q ∈ E_d; Q ≠ 0)(‖Q‖_K)/(N(Q)) en fonction de ρ.
b) On choisit n = d + 1 points distincts dans K, x_1, …, x_(d + 1), et l'on reprend les notations de la première partie. On pose β = sup_(0 ⩽ i ⩽ d; 1 ⩽ j ⩽ d + 1)|b_(i, j)|. En utilisant les résultats de la question 2., montrer que
sup_(Q ∈ E_d; Q ≠ 0)(N(Q))/(‖Q‖_K) ⩽ β(d + 1)
Dans toute la suite du problème, on pose
m = inf_(Q ∈ U_d)‖Q‖_K

Troisième partie

6.a) Montrer que 0 ⩽ m ⩽ ρ^d.
b) Montrer que inf_(Q ∈ U_d; ‖Q‖_K ⩽ ρ^d)‖Q‖_K = m.
c) Montrer qu'il existe Q_0 ∈ U_d tel que ‖Q_0‖_K = m.

Quatrième partie

  1. Soient k ∈ N^∗ et c_k un nombre complexe non nul. Soit z_0 ∈ C. On considère le polynôme
Q(X) = 1 + c_k(X − z_0)^k
Montrer qu'il existe z ∈ C tel que |Q(z)| > |Q(z_0)|. [On pourra considérer le module et l'argument de c_k et de z − z_0.]
8. Plus généralement, soit Q ∈ E_d et soit z_0 ∈ C. On suppose que Q(z_0) = 1 et que Q n'est pas constant.
a) Montrer qu'il existe un entier k ⩾ 1, un nombre complexe c_k, c_k ≠ 0, et un polynôme R tels que
Q(X) = 1 + c_k(X − z_0)^k + c_k(X − z_0)^(k + 1)R(X)
b) Montrer que, pour tout réel r > 0, il existe z ∈ C tel que |z − z_0| = r et
Q(z) = 1 + |c_k||z − z_0|^k + |c_k||z − z_0|^k(z − z_0)R(z).
c) Montrer que, pour tout réel r > 0, il existe z ∈ C tel que |z − z_0| ⩽ r et
|Q(z)| > |Q(z_0)|
9.a) Montrer que la propriété démontrée à la question 8.c) est satisfaite pour tout polynôme non constant Q ∈ E_d et pour tout point z_0 ∈ C.
b) En déduire que, pour tout Q ∈ E_d,
sup_(|z| ⩽ 1)|Q(z)| = sup_(|z| = 1)|Q(z)|
c) Montrer que, pour tout Q ∈ E_d,
sup_(|z| ⩾ 1)|(Q(z))/(z^d)| = sup_(|z| = 1)|Q(z)|
d) Dans cette question, on choisit K = {z ∈ C||z|⩽1}. Montrer que le polynôme Q_0(X) = X^d satisfait
‖Q_0‖_K = m

Cinquième partie

  1. Soient z_0 et z_1 deux nombres complexes non nuls. Montrer que |z_0 + z_1| = |z_0| + |z_1| si et seulement s'il existe un réel λ > 0 tel que z_1 = λz_0.
Pour Q ∈ E_d, on pose
M(Q) = {z ∈ K||Q(z)|=‖Q‖_K}.
  1. On suppose qu'il existe des polynômes distincts Q_0 ∈ U_d et Q_1 ∈ U_d vérifiant
‖Q_0‖_K = ‖Q_1‖_K = m
Pour tout t ∈ ]0, 1[, on pose
Q_t = tQ_1 + (1 − t)Q_0
a) Montrer que, pour tout t ∈ [0, 1], ‖Q_t‖_K = m.
b) Soit t ∈ ]0, 1[ et soit z ∈ M(Q_t). Montrer que z ∈ M(Q_0) et z ∈ M(Q_1), puis montrer que Q_0(z) = Q_1(z).
c) En déduire que, pour tout t ∈ ]0, 1[, Card(M(Q_t)) < d.
12. On suppose qu'il existe Q ∈ U_d tel que ‖Q‖_K = m et tel que Card(M(Q)) ⩽ d.
a) Montrer qu'il existe un polynôme L ∈ E_(d − 1) tel que, pour tout z ∈ M(Q), L(z) = Q(z).
b) Soit Q_p = Q − 1/pL, pour p ∈ N^∗. Montrer que, pour chaque p ∈ N^∗, il existe z_p ∈ K tel que |Q_p(z_p)| ⩾ ‖Q‖_K.
On admettra le résultat suivant : il existe une suite strictement croissante de nombres entiers, p ↦ n_p, telle que la suite p ↦ z_(n_p) converge vers un élément ℓ de la partie compacte K de C, quand p tend vers + ∞.
c) Montrer que |Q(ℓ)| = ‖Q‖_K. En déduire que Q(ℓ) = L(ℓ).
d) Montrer que Q(z_(n_p)) = Q(ℓ)(1 + ε_p) et L(z_(n_p)) = Q(ℓ)(1 + ε_p)(1 + ε_p^′), où ε_p et ε_p^′ sont des suites de nombres complexes, définies pour p assez grand, telles que lim_(p → + ∞)ε_p = 0 et |1 + ε_p| ⩽ 1, et lim_(p → + ∞)ε_p^′ = 0. En déduire que, pour p assez grand, |Q_(n_p)(z_(n_p))| < ‖Q‖_K.
13. Y a-t-il unicité du polynôme Q_0 ∈ U_d tel que ‖Q_0‖_K = m ?

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de maths X PC 2004 ?
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Sur quels chapitres porte ce sujet de maths X PC 2004 ?

Il porte sur les polynômes (interpolation de Lagrange, principe du maximum), les normes équivalentes en dimension finie et les nombres complexes, appliqués à un problème d'optimisation sur un compact.

Les parties de ce sujet sont-elles indépendantes ?

Les parties s'enchaînent : les deux premières fournissent des outils (interpolation, équivalence de normes) utilisés dans les parties suivantes pour établir existence puis étudier l'unicité du polynôme minimal.

Que cherche-t-on à déterminer dans ce sujet ?

On cherche, parmi tous les polynômes unitaires complexes de degré d fixé, celui dont le maximum du module sur un compact donné du plan complexe est le plus petit possible.

Le sujet traite-t-il un exemple explicite ?

Oui, la quatrième partie montre que pour le disque unité fermé, le polynôme minimal cherché est simplement X puissance d.

Pas de description pour le moment