E3A Mathématiques A PC 2005Sujet et corrigé

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

On désigne par ℝ[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, et par ℝ_n[X] le sousespace des polynômes de degré inférieur ou égal à n, pour tout entier naturel n. Soit (T_n)_(n ∈ ℕ) la suite de polynômes de ℝ[X] définie par T_0(X) = 1, T_1(X) = X, puis la relation :

I. Êtude de la suite des polynômes ( T_n )
1^∘ ) Déterminer les polynômes T_2 et T_3.
2^∘ ) Déterminer le degré, la parité et le coefficient dominant de T_m pour m ∈ ℕ.
3^∘ ) Soit n dans ℕ. Montrer que la famille ( T_0, T_1, …, T_n ) est une base de ℝ_n[X].
4^∘ ) a) Établir par récurrence les relations suivantes pour tout nombre réel x :

On rappelle que ∀(a, b) ∈ ℝ^2, 2ch(a)ch(b) = ch(a + b) + ch(a − b).
b) En déduire que |T_n(u)| ⩽ 1 pour |u| ⩽ 1.
c) Soit n un entier ⩾ 1. Montrer que, pour tout u dans ]1, + ∞[, |T_n(u)| > 1 (on pourra poser u = ch(x)).
d) En déduire que, pour tout n entier ⩾ 1 et pour tout u dans ] − ∞, − 1[ ∪ ]1, + ∞[, |T_n(u)| > 1.
5^∘ ) a) Pour tout n entier ⩾ 1, résoudre dans [0, π] l'equation T_n(cos(x)) = 0.
b) En déduire que, pour tout n entier ⩾ 1, T_n a n racines réelles dans [ − 1, 1].
c) Soit n un entier ⩾ 1. Donner la décomposition de T_n en facteurs irréductibles dans ℝ[X].
6^∘ ) Établir la convergence et calculer la somme des séries suivantes pour |t| < 1 et x réel :

Dans toute la suite, on désigne par n un entier naturel non nul et les n racines de T_n par cos(x_1), cos(x_2), …, cos(x_n) où :

On associe à tout couple (P, Q) de polynômes de ℝ[X] l'intégrale suivante :

1^∘ ) Montrer que l'application (P, Q) ↦ ⟨P, Q⟩ définit un produit scalaire sur ℝ[X],
2^∘) a) Soient p, q ∈ ℕ tels que p ≠ q. Calculer ⟨T_p, T_q⟩.
b) Calculer ⟨T_0, T_0⟩ et ⟨T_n, T_n⟩.
c) En déduire que, pour n ⩾ 1, T_n est orthogonal à ℝ_(n − 1)[X].
d) En utilisant les questions I.2), II.A.2.b) et II.A.2.c), montrer que ⟨T_n, X^n⟩ = π/(2^n).
3^∘ ) Montrer que la famille ( T_0, …, T_n ) est une base orthogonale de ℝ_n[X]

On associe à tout polynôme P de ℝ[X] l'intégrale et la somme suivantes :

1^∘) On note, pour j ∈ {0, …, n}, c_j = ∑_(k = 1)^n cos(jx_k).
a) Calculer c_0.
b) Calculer pour j ∈ {1, …, n − 1},

c) En déduire que, pour j ∈ {1, …, n − 1}, c_j = 0.
2^∘ ) a) Pour p ∈ {0, …, n − 1}, calculer I(T_p) et S_n(T_p).
b) En déduire que, pour tout P dans ℝ_(n − 1)[X], I(P) = S_n(P).
3^∘ ) Soit P un polynôme de ℝ_(2n − 1)[X]. On note Q et R respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de P par T_n; on a donc P = QT_n + R où R ∈ ℝ_(n − 1)[X].
a) Montrer que Q ∈ ℝ_(n − 1)[X].
b) En déduire, en utilisant II.A.2.c), que I(P) = I(R).
c) En déduire que, pour P ∈ ℝ_(2n − 1)[X], I(P) = S_n(P).
4^∘) Calculer I(T_(2n)) et S_n(T_(2n)); qu'en conclut-on?

On associe à toute fonction continue f : [ − 1, 1] → ℝ l'intégrale et la somme suivantes :

1^∘ ) On admet le théorème sur les sommes de Riemann :
Théorème : Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b](a < b). Soit p un entier naturel non nul. On pose pour k dans {0, …, p − 1}, α_k = a + k(b − a)/p. Alors, pour tous c_0, …, c_k, …, c_(p − 1) tels que, ∀k ∈ {0, …, p − 1}, c_k ∈ [α_k, α_(k + 1)], on a :

Démontrer que lim_(n → + ∞)S_n(f) = I(f).
2^∘ ) On suppose que f est l'application définie par f(t) = ln(a^2 − 2at + 1) où a est un réel tel que : a > 0 et a ≠ 1.
a) Montrer que f est continue sur [ − 1, 1] et en déduire que lim_(n → + ∞)S_n(f) = I(f).
b) i. Exprimer les racines (2n)^(èmes) de -1 dans ℂ en fonction de x_1, …, x_n (on pourra les classer par conjugués).
ii. Donner la factorisation en irréductibles de X^(2n) + 1 dans ℂ[X].
iii. En déduire que la factorisation en irréductibles de X^(2n) + 1 dans ℝ[X] est :

iv. Montrer que :

c) Donner la limite de π/nln(a^(2n) + 1) quand n tend vers + ∞ (on distinguera les cas : a ∈ ]0, 1[, a ∈ ]1, + ∞[). En déduire la valeur I(f) selon la valeur de a.
d) Donner un équivalent de S_n(f) − I(f) quand n tend vers + ∞, en distinguant les cas 0 < a < 1 et a > 1.