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E3A Mathématiques A PC 2003Sujet et corrigé

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Concours ENSAM－ESTP－ECRIN－ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques A PC
durée 4 heures

L＇usage de la calculatrice est interdit

Problème

Partie I

Soit f : ℝ → ℝ, 2π－périodique telle que f(x) = x^2 pour x ∈ [ − π, π] ．
1．Représenter la courbe de f sur l＇intervalle [ − 3π, 3π] ．
2．Montrer que f est continue et de classe C^1 par morceaux sur ℝ ．
3．Calculer les coefficients de Fourier de f ．
4．En énonçant précisément le théorème utilisé，justifier la convergence de la série de Fourier de f vers f ．De quel type de convergence s＇agit－il？
5．En déduire les égalités：
(π^2)/6 = ∑_(k = 1)^∞1/(k^2) et (− π^2)/(12) = ∑_(k = 1)^∞((− 1)^k)/(k^2).

Partie II

Pour tout entier naturel n, on note f_n l'application de ]0, 1] dans ℝ telle que :
∀t ∈ ]0, 1], f_n(t) = t^n ln(t).
  1. Soit n un entier naturel. Montrer que f_n est intégrable sur ]0, 1] et calculer la valeur de l'intégrale:
u_n = ∫_0^1 f_n(t)dt
Soient g et h les applications de ]0, 1[ dans ℝ telles que :
∀t ∈ ]0, 1[, g(t) = (ln(t))/(t − 1) et h(t) = (ln(t))/(t + 1).
  1. (i) Vérifier la convergence simple de la série des applications f_n et de la série des applications (− 1)^n f_n sur ]0, 1[ et exprimer leurs sommes en fonction de g et h.
    (ii) En énonçant précisément le théorème utilisé, justifier que g et h sont intégrables sur ]0, 1[ et déterminer les valeurs des intégrales :
I = ∫_0^1 g(t)dt et J = ∫_0^1 h(t)dt
On utilisera I5.

Partie III

Pour tout entier naturel n, on note h_n l'application de ]0, 1] dans ℝ telle que :
∀t ∈ ]0, 1], h_n(t) = (t^n ln(t))/(t + 1)
  1. Pour tout entier naturel n, montrer que h_n est intégrable sur ]0, 1].
Pour tout entier naturel n, on pose:
J_n = ∫_0^1 h_n(t)dt
  1. A l'aide du théorème de convergence dominée (dont on rappellera l'énoncé), montrer que la suite (J_n)_(n ∈ ℕ) converge et déterminer sa limite.
  2. (i) Montrer que la série de terme général J_n converge et exprimer sa somme S à l'aide d'une intégrale.
    (ii) En déduire une expression de S en fonction des intégrales I et J définies dans la partie II, puis vérifier que :
S = (− π^2)/8
  1. En énonçant précisément le théorème utilisé, justifier la convergence de la série de terme général (− 1)^n J_n.

Partie IV

On se propose dans cette partie de déterminer un équivalent de l'intégrale J_n lorsque n tend vers + ∞. Pour tout entier naturel n, on pose R_n = (− 1)^n J_n.
  1. Pour tout entier naturel n, comparer J_n + J_(n + 1) et u_n défini dans la partie II. En déduire que R_n = R_(n + 1) + (− 1)^n u_n.
  2. Montrer pour tout n ∈ ℕ l'égalité :
R_n = ∑_(k = n + 1)^∞((− 1)^k)/(k^2)
  1. En déduire pour tout n ∈ ℕ l'égalité :
R_(2n + 1) = ∑_(k = n)^∞(4k + 5)/((2k + 2)^2(2k + 3)^2)
  1. Pour tout entier k ⩾ 1, justifier l'encadrement :
∫_(k + 1)^(k + 2)1/(4t^3)dt ⩽ (4k + 5)/((2k + 2)^2(2k + 3)^2) ⩽ ∫_k^(k + 1)1/(4t^3)dt
  1. En déduire un encadrement de R_(2n + 1), pour tout n ⩾ 1.
  2. En déduire la convergence et les limites respectives des suites ((2n + 1)^2 R_(2n + 1)) et ((2n)^2 R_(2n)).
  3. Calculer lim_(n → + ∞)(n^2 J_n) et conclure.

Partie V

On considère le ℝ-espace vectoriel ℝ[X] muni de la norme ‖‖ définie par :
∀P ∈ ℝ[X], ‖P‖ = max{|a_i|; i ∈ {0, …, n}}, si P = ∑_(i = 0)^n a_i X^i
On ne demande pas de vérifier qu'il s'agit d'une norme.
On considère l'application :
T : ℝ[X], → ℝ; P, ↦ ∫_0^1(P(t)ln(t))/((1 + t))dt
  1. Justifier que T(P) est défini, pour tout P dans ℝ[X].
  2. Montrer que T est une forme linéaire.
  3. Montrer qu'il existe une constante K telle que :
∵P ∈ ℝ[X], |T(P)| ⩽ K‖P‖.
  1. En déduire que T est lipchitzienne de ( ℝ[X], ‖‖ ) vers ( ℝ, |‖ ).
  2. Justifier que l'ensemble {|T(P)|; P ∈ ℝ[X]/‖P‖ = 1} est borné et calculer :
‖T‖ = sup_({P ∈ ℝ[X]/‖P‖ = 1})|T(P)|

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