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Concours ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques A PC
durée 4 heures

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Préliminaires

On considère la suite (α_i)_(i ∈ ℕ) définie par :
∀i ∈ ℕ, α_i = 1/π∫_(− π/2)^(π/2)(sinu)^i du.
  1. Etablir une relation de récurrence entre α_i et α_(i + 2), pour tout entier naturel i.
  2. En déduire que:
α_i = {1, si i = 0; 0, si i est impair; ((i − 1)(i − 3)…1)/(i(i − 2)…2), si i est pair et non nul.
Dans tout le problème, I désigne l'intervalle ] − 1, 1[.
On considère l'équation différentielle:
(1 − x^2)y^′ − xy = f(x)
où f désigne une fonction réelle de classe C^∞ sur I; on rappelle qu'une solution φ de cette équation est une fonction dérivable sur I telle que : ∀x ∈ I, (1 − x^2)φ^′(x) − xφ(x) = f(x).

partie I

  1. Soit y_0 ∈ ℝ; justifier qu'il existe une et une seule solution φ de (E_f), définie sur I, et telle que φ(0) = y_0 ? On énoncera avec précision le théorème utilisé.
  2. Montrer que toutes les solutions de (E_f) sont de classe C^∞ sur I.
  3. (a) Résoudre l'équation différentielle homogène associée :
(1 − x^2)y^′ − xy = 0
(b) Etant donné un réel y_0, démontrer que l'unique solution φ de l'équation différentielle (E_f) telle que φ(0) = y_0 peut s'exprimer de la façon suivante :
∀x ∈ I, φ(x) = 1/(√(1 − x^2))(∫_0^x(f(t))/(√(1 − t^2)) dt + y_0).
(c) Dans le cas particulier où l'équation différentielle est :
(1 − x^2)y^′ − xy = 1 (E_1)
déterminer les solutions sur I.

partie II

Pour m ∈ ℕ, on note ℝ_m[X] l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à m. On rappelle que c'est un ℝ-espace vectoriel de dimension m + 1.
Dans la suite du problème, on assimilera un polynôme P et sa fonction polynôme x ↦ P(x). Pour tout polynôme P, on note P^′ son polynôme dérivé. On définit :
∀x ∈ ℝ, Δ(P)(x) = (1 − x^2)P^′(x) − xP(x).
  1. Soit P ∈ ℝ_m[X]. Démontrer que Δ(P) est un polynôme dont on exprimera le degré en fonction de celui de P.
  2. Démontrer que P ↦ Δ(P) induit une application linéaire de ℝ_m[X] dans ℝ_(m + 1)[X].
On note Δ_m cette application linéaire.
3. Démontrer que Δ_m est injective.
4. Déterminer le rang de Δ_m. Que peut-on en déduire pour l'espace image de Δ_m ?
5. Exprimer la matrice A_m de Δ_m relativement aux bases canoniques de ℝ_m[X] et ℝ_(m + 1)[X].
On cherche dans cette partie pour quelles applications f, l'équation différentielle ( E_f ) admet une solution polynomiale, c'est-à-dire une solution de la forme x ↦ P(x), où P désigne un polynôme à coefficients réels.
6. Soit f une fonction réelle de classe C^∞ sur I : montrer que si l'équation différentielle ( E_f ) admet sur I une solution polynomiale x ↦ P(x), f est nécessairement une fonction polynomiale que l'on exprimera en fonction de Δ(P).
7. Soit Q un polynôme à coefficients réels et de degré n non nul. On pose Q = ∑_(k = 0)^n q_k X^k. On note V le vecteur colonne de ℝ^(n + 1) de coordonnées q_0, q_1, …, q_n. On a ainsi ;
V = (q_0; q_1; ⋮; q_n)
(a) Soit P ∈ ℝ_(n − 1)[X]. On pose P = ∑_(k = 0)^(n − 1)p_k X^k. Soit U le vecteur colonne de ℝ^n de coordonnées p_0, p_1, …, p_(n − 1). Démontrer que la fonction x ↦ P(x) est solution de l'équation différentielle ( E_Q ) si et seulement si on a l'égalité A_(n − 1)U = V.
(b) En déduire que les trois assertions ci-dessous sont équivalentes :
i. L'équation différentielle ( E_Q ) admet une solution polynomiale,
ii. ∃P ∈ ℝ_(n − 1)[X], tel que Q = Δ_(n − 1)(P),
iii. le système linéaire A_(n − 1)S = V admet une solution S dans ℝ^n.
(c) On suppose dans cette question que n = 4;
i. Ecrire précisément le système A_3 S = V.
ii. Montrer que ce système admet une solution si et seulement si les coefficients du polynôme Q vérifient l'egalité : 3q_4 + 4q_2 + 8q_0 = 0.
iii. En supposant cette condition satisfaite, résoudre ce système et en déduire l'expression de la solution polynomiale P de (E_Q), en fonction de q_0, q_1, q_3 et q_4 ( q_2 étant exclu).
iv. Que représente la relation 3q_4 + 4q_2 + 8q_0 = 0 pour l'image de Δ_3 ?
(d) On revient au cas où n est un entier naturel non nul quelconque. On introduit sur ℝ_n[X] une application λ_n définie par :
∀R ∈ ℝ_n[X], λ_n(R) = ∫_(− π/2)^(π/2)R(sin(u))du
i. Démontrer que λ_n est une forme linéaire non nulle.
ii. Démontrer que, pour tout P dans ℝ_(n − 1)[X], on a : λ_n(Δ_n(P)) = 0.
iii. En déduire que l'image de Δ_n et le noyau de λ_n sont égaux.
iv. Expliciter une équation de l'image de Δ_n (on utilisera la suite (α_i)_(i ∈ ℕ) étudiée dans les préliminaires).
(e) Déterminer en fonction de q_0, …, q_n une condition nécessaire et suffisante pour que l'équation ( E_Q ) admette une solution polynomiale.
(f) Retrouver le résultat de la question 7(c)ii.

partie III

On considère maintenant que f est définie par une série entière de rayon de convergence R > 1 :
∀x ∈ ] − R, R[, f(x) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)b_k x^k
  1. (a) Montrer que les solutions de (E_f) sur ] − 1.1[ sont développables en série entière, avec un rayon de convergence au moins égal à 1 . (On pourra utiliser le résultat de 13 (b).)
    (b) Soit ∑_(k = 0)^(+ ∞)a_k x^k l'une de ces solutions;
    i. Exprimer, pour k ⩾ 1, a_(k + 1) en fonction de a_(k − 1) et b_k.
    ii. En déduire, pour k ⩾ 1, une relation vérifiée par (a_(2k))/(α_(2k)), (a_(2(k − 1)))/(α_(2(k − 1))) et (b_(2k − 1))/((2k − 1)α_(2(k − 1))) (on utilisera la question 1. des préliminaires).
    iii. En déduire, pour p ∈ ℕ, a_(2p) sous forme de sommes dépendant de a_0, des α_(2k) et des b_(2k − 1), avec 1 ⩽ k ⩽ p.
    iv. De même, déduire de la question (i) ci-dessus, pour k ⩾ 1, une relation vérifiée par (2k + 1)a_(2k + 1)α_(2k), (2k − 1)a_(2k − 1)α_(2(k − 1)) et b_(2k)α_(2k).
    v. En déduire, pour p ∈ ℕ, a_(2p + 1) sous forme de sommes dépendant des α_(2k) et et des b_(2k), avec 1 ⩽ k ⩽ p.
  2. Dans tout ce qui suit, φ désigne la fonction définie, pour tout x ∈ ] − 1, 1[, par :
φ(x) = 1/(√(1 − x^2))∫_1^x(f(t))/(√(1 − t^2)) dt
(a) Justifier l'existence de φ(x) pour tout x ∈ ] − 1, 1[.
(b) Montrer que φ est une solution de (E_f) sur ] − 1, 1[.
(c) On veut démontrer que φ(x) admet − f(1) pour limite lorsque x tend vers 1 par valeurs inférieures.
i. Soit x ∈ ] − 1, 1[ et soit θ ∈ ]0, π[ tel que x = cos(θ). Démontrer que :
φ(x) = (− 1)/(sin(θ))∫_0^θ f(cos(u))du
ii. Soit F la fonction définie par :
∀θ ∈ ] − π, π[F(θ) = ∫_0^θ f(cos(u))du
Justifier la dérivabilité de F sur ] − π, π [ et déterminer sa fonction dérivée F^′. On énoncera avec précision le théorème utilisé.
iii. Conclure.
(d) On pose maintenant, pour tout k ∈ ℕ et pour tout x ∈ ] − 1, 1[ :
φ_k(x) = 1/(√(1 − x^2))∫_1^x(t^k)/(√(1 − t^2)) dt
i. Expliciter φ_0 et φ_1.
ii. Montrer que pour tout k ⩾ 2 et pour tout x ∈ ] − 1, 1[ :
φ_k(x) = − (x^(k − 1))/k + (k − 1)/kφ_(k − 2)(x)
iii. Soit p ∈ ℕ; montrer que φ_(2p + 1) est une fonction polynomiale de degré 2p.
iv. Montrer que pour tout p ∈ ℕ, il existe un polynôme P_(2p) de degré 2p − 1 tel que :
∀x ∈ ] − 1, 1[, φ_(2p)(x) = P_(2p)(x) + α_(2p)φ_0(x)
v. Quelles sont les valeurs de k, pour lesquelles les fonctions φ_k admettent une limite finie lorsque x tend vers 1 par valeurs inférieures ?
(e) Montrer que la série de fonctions ∑_(k ⩾ 0)b_k φ_k converge simplement vers φ sur ] − 1, 1 [.

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