E3A Mathématiques B PC 2004Sujet

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CONCOURS ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques B PC durée 3 heures

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Exercice 1

On désigne par

n

un entier naturel non nul et par

ℝ_n[X]

l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à

n

à coefficients réels. Si

P \in ℝ_n[X]

k \in ℕ, P^((k))

désigne la dérivée

k

-ième du polynôme

P

Soit

A

un polynôme non nul de

ℝ_n[X]

. A tout polynôme

P \in ℝ_n[X]

, on associe le polynôme

(AP)^((n))

, c'est à dire le polynôme dérivée

n

-ième du produit

AP

Soient $P$ et $A$ dans $ℝ_n[X]$ .
(i) Exprimer le degré de $(AP)^((n))$ en fonction de $n$ et des degrés de $A$ et de $P$ .
(ii) En déduire que $(AP)^((n)) \in ℝ_n[X]$ .

On considère :

Φ_A : ℝ_n[X], \to ℝ_n[X]; P, ⟼ (AP)^((n))

On admet que

Φ_A

est un endomorphisme de

ℝ_n[X]

.
2. Etude de deux exemples:
a)

n = 3

A = X^3 - 1

(i) Exprimer

Φ_((X^3 - 1))(1), Φ_((X^3 - 1))(X), Φ_((X^3 - 1))(X^2)

Φ_((X^3 - 1))(X^3)

. En déduire la matrice de

Φ_((X^3 - 1))

dans la base canonique (

1, X, X^2, X^3

) de

ℝ_3[X]

(ii) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres associés de

Φ_((X^3 - 1))

.
(iii)

Φ_((X^3 - 1))

est-il diagonalisable? Est-ce un automorphisme de

ℝ_3[X]

?
b)

n = 3

A = X^2 + X + 1

(i) Ecrire la matrice de

Φ_((X^2 + X + 1))

dans la base canonique (

1, X, X^2, X^3

) de

ℝ_3[X]

(ii) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de

Φ_((X^2 + X + 1))

(iii)

Φ_((X^2 + X + 1))

est-il diagonalisable? Est-ce un automorphisme de

ℝ_3[X]

?
3. Cas général: On note

d

le degré de

A

et on pose

A(X) = \sum_(i = 0)^d a_i X^i

.
(i) Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur le polynôme

A

pour que

Φ_A

soit un automorphisme de

ℝ_n[X]

.
(ii) Exprimer la matrice de

Φ_A

dans la base canonique de

ℝ_n[X]

et montrer qu'elle est triangulaire supérieure.
(iii) Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur le polynôme

A

pour que

Φ_A

soit diagonalisable.

Exercice 2

Montrer que :
$\forallu \in ℝ_+^*, 0 ⩽ Arctan(u) ⩽ u$ .
Soit $x \in ℝ∖{0}$ . Montrer que la fonction:

f_x : ℝ_+^*, \to ℝ; t, ⟼ f_x(t) = t/((t^2 + x^2))Arctan(1/t)

est intégrable sur

ℝ_+^*

.
3. On considère :

g : ℝ∖{0}, → ℝ; x, ⟼ g(x) = ∫_0^(+ ∞)t/((t^2 + x^2))Arctan(1/t)dt

a) (i) Déduire de la question 1. l'encadrement :

\forallx \in ℝ_+^*, 0 ⩽ g(x) ⩽ π/(2x)

(ii) Montrer que

g

admet une limite quand

x

tend vers

+ \infty

. Quelle est cette limite?
b) (i) Montrer que:

\forallx \in ℝ_+^*, π/8ln((x^2 + 1)/(x^2)) \leq \int_0^(+ 1)t/((t^2 + x^2))Arctan(1/t)dt

(ii) En déduire le comportement de g quand

x

tend vers 0 par valeurs supérieures.
4. a) Soit

(a, b) \in (ℝ_+^*)^2, a < b

, montrer que :

φ : ]a, b[ \times ℝ_+^*, \to; (x, t), ⟶ φ((x, t)) = t/((t^2 + x^2))Arctan(1/t)

est de classe

C^1

sur

]a, b[ \times ℝ_+^*

, et que:

\forall(x, t) \in ]a, b[ \times ℝ_+^*, |(\partialφ)/(\partialx)((x, t))| \leq (2bt)/((t^2 + a^2)^2)Arctan(1/t).

b) Montrer, en énonçant avec précision le théorème utilisé, que

g

est de classe

C^1

sur

ℝ_+^*

et que :

\forallx \in ℝ_+^*, g^'(x) = - 2xh(x)

en posant

h(x) = \int_0^(+ \infty)t/((t^2 + x^2)^2)Arctan(1/t)dt

.
c) En déduire le sens de variation de

g

sur

ℝ_+^*

, puis sur

ℝ_-^*

.
5. a) Soit

x \in ℝ_+^*

différent de 1 . Déterminer

A

B

tels que :

\forallt \in ℝ_+^*, 1/((t^2 + x^2)(t^2 + 1)) = A/((t^2 + x^2)) + B/((t^2 + 1)).

b) Soit

x \in ℝ_+^*

différent de 1. à l'aide d'une intégration par parties, montrer que:

h(x) = π/(4x^2(x + 1))

c) Démontrer que :

\forallx \in ℝ_+^*, h(x) = π/(4x^2(x + 1))

En déduire $g^'(x)$ pour tout $x \in ℝ_+^*$
En déduire $g(x)$ pour tout $x \in ℝ_+^*$ , puis pour tout $x \in ℝ_-^*$ .

Exercice 3

Soit

E

un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé direct

(O, i⃗, j⃗)

(Γ)

est l' arc paramétré défini par l'application :

f : ℝ, →; t, ⟼ M(t){x(t), = 1/2(t^2 − 2t); y(t), = 1/3t^3 − 1/2t^2

où

(x(t); y(t))

sont les coordonnées de

M(t)

dans le repère

(O, i⃗, j⃗)

Quelles sont les valeurs de $t$ pour lesquels le point $M(t)$ est singulier ?
Soit $t \in ℝ$ . Déterminer la tangente au point $M(t)$ .
Décrire la position de la courbe $(Γ)$ par rapport à la tangente aux points suivants :
a) au point $O$ correspondant à la valeur $t = 0$ du paramètre
b) au point $A$ correspondant à la valeur $t = 1$ du paramètre.
Représenter la courbe ( $Γ$ ).
On considère deux points de ( $Γ$ ), $M$ de paramètre $t$ et $M_1$ de paramètre $t_1$ .
a) Montrer que, pour que les tangentes à ( $Γ$ ) en $M$ et en $M_1$ soient perpendiculaires, il faut et il suffit que :

1 + t \cdot t_1 = 0

b) Soit

P

le point d'intersection de ces deux tangentes, lorsqu'elles sont perpendiculaires. Démontrer que les coordonnées

(x_P(t), y_P(t))

du point

P

, en fonction de

t \in ℝ^*

sont :

{x_P(t) = (t^4 − 3t^3 − t^2 + 3t + 1)/(6t^2); y_P(t) = (− t^2 + 3t + 1)/(6t)

a) Montrer que l'ensemble des points du plan d'où l'on peut mener deux tangentes perpendiculaires à $(Γ)$ est une parabole $(Γ_1)$ dont une équation est:

6y^2 - 3y - x + 1/6 = 0

b) Déterminer le sommet, le foyer, la directrice et l'axe de cette parabole.

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