E3A Mathématiques B PC 2006Sujet et rapport du jury

E est l'espace vectoriel réel des fonctions continues sur ℝ et à valeurs dans ℝ. E_1 est le sous-ensemble de E formé des fonctions f telles que l'intégrale impropre

converge pour tout x ∈ ℝ.

Plus généralement, soit n ∈ ℕ, montrer que ∫_x^(+ ∞)t^n exp(− t)dt converge pour tout x appartenant à ℝ.
b) Soit x appartenant à ℝ, l'intégrale impropre ∫_x^(+ ∞)costexp(− t)dt existe-t-elle?
c) En déduire des exemples de fontions appartenant à E_1.
2. Montrer que E_1 est un sous-espace vectoriel de E.
3. Soit :

où F(x) = exp(x)∫_x^(+ ∞)f(t) ⋅ exp(− t)dt pour tout x appartenant à ℝ.
a) Montrer que φ est une application linéaire.
b) Montrer que F est de classe C^1 sur ℝ et que : F = F^′ + f
c) φ est-ele injective?
d) Montrer que, si f ∈ E_1 est un vecteur propre de φ alors f est solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants .
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de φ.
e) Soit f ∈ E_1, bornée et de classe C^1 sur ℝ, montrer que la dérivée f^′ de f appartient à E_1, et que φ(f^′) = ((φ(f))^′.
4. Soient n ∈ ℕ et E_2 le ℝ-espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à n.
a) Montrer que E_2 ⊂ E_1.
b) Soit ψ la restriction de φ à E_2.
(i) Montrer que ψ est un endomorphisme de E_2.
(ii) Est-ce un automorphisme de E_2 ?
(iii) ψ est-il diagonalisable?
c) Soit f ∈ E_2. Montrer que si il existe a ∈ ℝ tel que pour tout x ∈ [a, + ∞[, f(x) ≥ 0, alors :

pour tout x ≥ a. ( f^((k)) désignant la dérivée k^(ieme) de la fonction polynôme f )

Soient : A = (2, 3, − 2; − 1, − 2, 2; 1, 3, − 4) et P = (3, − 2, 1; − 1, 2, − 1; 0, 1, 2)
Soit f l'endomorphisme de ℝ^3 canoniquement associé à la matrice A.

d'inconnue M, matrice carrée d'ordre trois à coefficients réels.
a) Montrer que si la matrice M est solution de (E), alors M et A commutent.
b) En déduire que l'équation ( E ) est équivalente à l'équation ( E^′ ) d'inconnue D matrice carrée d'ordre trois diagonale :

c) Résoudre l'équation ( E^′ ), puis déterminer les solutions de ( E ).

E est un espace affine euclidien rapporté à un repère orthonormal de sens direct R = (O, i⃗, j⃗). On choisit O comme pôle et (O, i⃗) comme axe polaire; a est un réel strictement positif.

a) Montrer que : x = 2a(1 − t^2)/((1 + t^2)^2), y = (4at)/((1 + t^2)^2) sont des équations paramétriques de Γ.
b) Montrer que la tangente à Γ en le point M de paramètre τ a pour équation :

c) Montrer que cette tangente recoupe Γ en deux points P_1 de paramètre t_1 et P_2 de paramètre t_2 si et seulement si τ^2 ≥ 3 et alors t_1 ⋅ t_2 = 3.

On considère les tangentes à Γ en ces points P_1 et P_2; montrer qu'elles se coupent en le point N de coordonnées ( α, β ) si et seulement si t_1 et t_2 sont racines de :

et alors la troisième racine t_3 est t_3 = (α − 2a)/(3β)
d) En déduire que l'ensemble des points d'intersection N lorque τ décrit ] − ∞, − √3[ ∪ ] + √3, + ∞[ est inclus dans la courbe dont une équation est :

e) Reconnaître et déterminer les éléments remarquables de cette courbe. La représenter dans le repère orthonormal R = (O, i⃗, j⃗).