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Centrale Mathématiques 1 PC 2004Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Séries entières : comportement de la somme sur le cercle de convergence
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Le problème étudie des séries entières dont le rayon de convergence R est fini et non nul, et observe le comportement de la fonction somme sur le cercle de centre 0 et de rayon R. Plusieurs exemples sont construits pour montrer les différentes formes que peut prendre l'ensemble des points de convergence sur ce cercle, jusqu'à un exemple où la série des modules diverge alors que la série converge en tout point du cercle.

  1. 1Partie I : calculs préliminairesInégalités trigonométriques et résultats de convergence de séries par sommation par parties, utilisés dans la suite du problème.
  2. 2Partie II : quelques exemples d'ensembles C_aConstruction d'exemples de séries entières pour lesquelles l'ensemble des points de convergence sur le cercle est vide, plein ou intermédiaire.
  3. 3Partie III : un exemple où C_a est le cercle unité et où la série des modules divergeÉtude d'une série entière particulière pour montrer la convergence en tout point du cercle malgré la divergence de la série des modules.
  4. 4Partie IV : un dernier exempleConstruction technique d'une série entière et étude de la convergence, simple puis uniforme, de la série de fonctions associée sur le cercle.

Difficile. La partie IV, technique, a été peu traitée et n'a permis d'attribuer de bonnes notes qu'aux très bons candidats.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Définitions mal maîtrisées · Confusion entre majoration du terme général et des sommes partielles · Critère de Cauchy non compris
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Le jury relève que les définitions de base (rayon de convergence, convergence absolue, uniforme ou normale) sont mal assimilées par de nombreux candidats. La rédaction pâtit d'un usage flou d'expressions comme « il faut », « il suffit » ou « il est clair que », utilisées à la place d'une véritable démonstration.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Définitions mal maîtrisées

    Le rayon de convergence et les différents types de convergence (absolue, uniforme, normale) sont mal connus, ce qui fragilise toute la copie.

    « Les définitions ne sont pas connues ou mal assimilées »
  2. 2
    Confusion entre majoration du terme général et des sommes partiellesI.D

    À la question I.D, beaucoup de candidats confondent les deux notions alors qu'ils voient qu'il faut utiliser le résultat de la partie I.C.

    « ils confondent très souvent majoration du terme général de la série et majoration des sommes partielles »
  3. 3
    Critère de Cauchy non comprisI.C.2

    Pour montrer qu'une série converge, de nombreux candidats se contentent de majorer les sommes partielles, sans utiliser le critère de Cauchy.

    « pour montrer quʼune série converge, il suffit de montrer que les sommes partielles sont majorées »
  4. 4
    Partie IV quasiment non abordée

    Les questions techniques de la dernière partie n'ont été traitées que par les très bons candidats, ce qui a permis de départager les meilleures copies.

    « Cette partie a été peu traitée. »
  5. 5
    Confusion entre termes distincts et disjointsIV.C

    À la question IV.C, les candidats qui tentent de grappiller des points confondent souvent les notions d'ensembles de termes distincts et d'ensembles de termes disjoints.

    « la confusion fréquente, pour ceux qui ont essayé de grappiller des points, entre les termes distincts et disjoints au IV C »

Ce qui a été bien réussi

  • La question I.A, sur les inégalités trigonométriques, a été bien traitée en général.
  • Un exemple convenable de série a très souvent été exhibé à la question II.D.3, même si la justification restait souvent incomplète.

Conseils du jury

  • Revoir précisément les définitions du cours (rayon de convergence, convergence absolue, uniforme, normale) avant l'épreuve.
  • Éviter les formules toutes faites comme « il est clair que » ou « il est évident que » qui ne remplacent pas une démonstration.
  • S'entraîner aux changements d'indices dans les sommations plutôt que de tout réécrire avec des points de suspension.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

MATHÉMATIQUES I

Dans tout le problème, a = (a_n)_(n ∈ IN) désigne une suite de complexes et ∑a_n z^n la série entière associée, dont le rayon de convergence R_a est supposé nôn nul et fini.
On note C_a l'ensemble des complexes z de module R_a tels que ∑a_n z^n est convergente.
On appelle cercle unité l'ensemble des complexes de module 1 : un complexe z appartient au cercle unité si et seulement s'il existe un réel x appartenant à l'intervalle I = ] − π, π] tel que z = e^(ix).
D'autre part on note: 2πℤ = {2kπ|k ∈ ℤ}, et [ [p, q] ] désigne l'ensemble des entiers naturels k vérifiant : p ≤ k ≤ q.
On étudie différentes séries entières pour lesquelles l'ensemble c_a prend diffé rentes formes.
Dans le cas où C_a est un cercle, on propose d'observer différents comportements de la fonction somme de la série entière sur ce cercle.

Partie I - Calculs préliminaires

Les résultats de cette partie sont destinés à préparer les démonstrations des parties suivantes.
I.A - Montrer les inégalités :
∀x ∈ [0, π], 0 ≤ sinx ≤ x et ∀x ∈ [0, π/2], sinx ≥ 2/πx.
I.B - Montrer que pour tout x qui appartient à IR ∖2πℤ et pour tout couple d'entiers naturels ( p, q ) tel que p ≤ q :
|∑_(k = p)^q e^(ikx)| ≤ |1/(sin(x/2))|
I.C - Soient (u_n)_(n ∈ IN^∗) et (v_n)_(n ∈ IN^∗) deux suites complexes.

Filière PC

On note (V_n)_(n ∈ IN ^∗) la suite des sommes partielles de la série ∑_(n ≥ 1)v_n :
pour tout n ∈ I^∗, V_n = ∑_(k = 1)^n v_k.
I.C.1) Montrer que pour tout couple d'entiers naturels ( p, q ) tel que 1 ≤ p < q − 1, on a:
∑_(k = p + 1)^q u_k v_k = ∑_(k = p + 1)^(q − 1)(u_k − u_(k + 1))v_k + u_q v_q − u_(p + 1)v_p.
I.C.2) On suppose que la suite (V_n)_(n ∈ IN) est bornée et que la série ∑_(k≧1)|u_k − u_(k + 1)| est absolument convergente. Montrer que la série ∑_(n ≥ 1)u_n v_n est convergente.
I.C.3) On suppose que la suite (V_n)_(n ∈ IN^∗) est bornée et que la suite (u_n)_(n ∈ IN^∗) est décroissante, convergente et de limite nulle.
Montrer quela série
∑_(n ≥ 1)u_n v_n est convergente.
I.D - Déduire des questions précédentes que pour tout x qui appartient à IR ∖2πℤ, les séries
∑_(k ≥ 1)(cos(kx))/k et ∑_(k ≥ 1)(sin(kx))/k sont convergentes.
Que dire pour un réel × qui appartient à 2πℤ ?

Partie II - Quelques exemples d'ensembles c_a

On se place dans le cadre des notations de l'introduction.
II.A - Soit (b_n)_(n ∈ IN) définie pour tout n ∈ IN par : b_n = a_n(R_a)^n.
Montrer que le rayon de convergence de la série entière ∑b_n z^n est R_b = 1 et qu'un complexe z appartient à C_a si et seulement si Z/(R_a) appartient à C_b.
On se ramène ainsi à l'étude de séries entières de rayon de convergence égal à 1
II.B - On suppose dans cette question que ∑|a_n| est convergente et que R_a = 1.
II.B.1) Déterminer C_a.
II.B.2) On note pour tout n ∈ IN :
f_n : {1 → ℂ; x → a_n e^(inx)
Montrer que la série de fonction ∑f_n converge uniformément sur I vers une fonction continue sur I .
II.B.3) Donner un exemple simple de série entière ∑a_n z^n pour laquelle C_a est le cercle unité.
II.C - Donner un exemple simple de série entière ∑a_n z^n pour laquelle R_a = 1 et C_a est vide.

II.D - Construction de quelques cas intermédiaires.

II.D.1) On suppose qu'il existe un complexe z_0 demodule 1 tel que ∑a_n z_0^n soit semi-convergente (c'est-à-dire que ∑a_n z_0^n est convergente mais ne converge pas absolument).
Montrer qu'alors R_a = 1.
II.D.2) Soit ξ un complexe de module 1 . Si pour tout n ∈ IN^∗, a_n = 1/(nξ^n), mon-
tree que C_a est le cercle unité privé d'un point à déterminer. II.D.3) Soit p ∈ IN^∗ et p complexes distincts ξ_1, …, ξ_p, tous de module 1 .
Construire un exemple de série entière ∑a_n z^n pour laquelle C_a est le cercle unité privé des p points ξ_1, …, ξ_p.
II.D.4) On suppose que, pour tout n ∈ IN^∗, a_n = (cosn)/n.
Déterminer R_a et C_a.
La série ∑_(n ⩾ 1)|a_n| est-elle convergente?

Partie III - Un exemple pour lequel c_a est lecercle unité et ∑|a_n| diverge

Dans cette partie, on définit la suite a_n de la façon suivante:
  • a_0 = 0,
  • pour tout naturel p non nul et tout naturel n tel que
p^2 ≤ n ≤ (p + 1)^2 − 1 : a_n = ((− 1)^p)/(p^2).
III.A - Montrer que la série ∑|a_n| est divergente.
(On pourra par exemple chercher un équivalent de |a_n| ).
III.B - Soit ( A_n ) la suite des sommes partielles de la série numérique ∑a_n.
III.B.1) Pour N ∈ IN^∗, on note P leplus grand entier naturel vérifiant: P^2 ≤ N. On pose: R_N = A_N − A_(P^2 − 1).
Montrer que |R_N| ≤ (2P + 1)/(P^2).
III.B.2) En déduire que la série ∑a_n est convergente.
III.C - Soit z = e^(ix) un complexe de module 1, avec x non nul appartenant à I .
III.C.1) Calculer |a_(n + 1) − a_n| suivant les valeurs du naturel n, et en déduire que la série ∑|a_(n + 1) − a_n| est convergente.
III.C.2) Déduire des résultats précédents et de la partie I que la série ∑a_n z^n est convergente.

Partie IV - Un dernier exemple

IV.A - On veut montrer qu'il existe une constante réelle C_1 telle que pour tout entier naturel non nul n et tout réel x :
|∑_(k = 1)^n(sin(kx))/k| ≤ C_1.
Soient x ∈ ]0, π[ et k_x le plus grand entier naturel tel que k_x ⋅ x ≤ π.
IV.A.1) On suppose que 1 ≤ n ≤ k_x. Montrer que:
0 ≤ ∑_(k = 1)^n(sin(kx))/k ≤ π.
IV.A.2) On suppose que n > k_x. Montrer que:
|∑_(k = k_x + 1)^n(sin(kx))/k| ≤ 2.
On pourra notamment utiliser le résultat de la question I.C.1.
IV.A.3) Conclure.
IV.B - Soit n et N deux entiers naturels tels que : 1 ≤ n ≤ N. Soit Q_(n, N) le polynôme défini par :
Q_(n, N)(X) = ∑_(k = N − n)^(N − 1)1/(N − k)X^k + ∑_(k = N + 1)^(N + n)1/(N − k)X^k.
IV.B.1) Soit x ∈ IR. Montrer que:
Q_(n, N)(e^(ix)) = − 2ie^(iNx)∑_(k = 1)^n(sin(kx))/k.
IV.B.2) En déduire qu'il existe une constante réelle C_2 telle que, pour tout couple de naturels ( n, N ) tel que 1 ≤ n ≤ N et tout complexe z de module 1: |Q_(n, N)(z)| ≤ C_2.
IV.C - Pour tout entier naturel non nul j, on pose:
n_j = 2^((j^3)), N_j = 2^((j^3 + 1)) et I_j = [ [N_j − n_j, N_j + n_j] ].
Vérifier que les intervalles I_j ainsi définis sont disjoints deux à deux.
Pour toute la suite du problème, on pose pour tout naturel j non nul: P_j = Q_(n_j, N_j), et on définit les suites (α_k)_(k ∈ IN) et (a_k)_(k ∈ IN) dela façon suivante:
  • s'il existe j ∈ IN^∗ tel que k ∈ I_j, et k ≠ N_j, alors :
α_k = 1/(N_j − k) et a_k = (e^((ik)/j))/(j^2(N_j − k))
  • sinon α_k = a_k = 0.
On étudie la série entière ∑a_k z^k.
Pour tout n ∈ IN^∗ et x ∈ ] − π, π], on note
A_n(x) = ∑_(k = 0)^n a_k e^(ikx) et B_n(x) = ∑_(j = 1)^n 1/(j^2)P_j(e^(i(x + 1/j))).
IV.D - Montrer que la suite de fonctions (B_n)_(n ∈ IN^∗) converge uniformément sur I vers une fonction continue que I'on notera F .
IV.E - Montrer que pour tout naturel n non nul et tout x appartenant à I :
B_n(x) = A_(3 ⋅ 2^((n^3)))(x).
IV.F - On veut montrer que la suite de fonctions (A_n)_(n ∈ IN) converge également vers F sur I.
IV.F.1) Montrer que pour tout j ∈ IN^∗ et (p, q) ∈ (I_j)^2 tels que p < q :
∑_(k = p)^(q − 1)|α_k − α_(k + 1)| ≤ 4.
IV.F.2) En déduire qu'il existe une constante réelle C_3 telle que pour tout entier naturel j non nul, pour tout couple de naturels ( p, q ), tels que p ≤ q et pour tout réel × non nul appartenant à I :
|∑_(k = p)^q α_k e^(ikx)| ≤ (C_3)/(|x|).
IV.F.3) Soit x ∈ I, x ≠ π. Vérifier que, pour j entier naturel suffisamment grand, on a
|x + 1/j| ≠ 0 et x + 1/j ∈ I.
En déduire que pour n naturel suffisamment grand:
|A_n(x) − B_j(x)| ≤ 1/(j^2)(C_3)/(|x + 1/j|), où j est l'entier naturel tel que 2^((j^3)) ≤ n < 2^((j + 1)^3).
On considère maintenant le cas x = π. Montrer, avec les mêmes conditions sur j et n, que
|A_n(x) − B_j(x)| ≤ 1/(j^2)(C_3)/(|π − 1/j|)
IV.F.4) Conclure.
IV.G - On note pour tout n ∈ IN :
f_n : {1 → ℂ; x → a_n e^(inx)
On veut prouver que la série de fonctions ∑f_n ne converge pas uniformément sur 1.
IV.G.1) Montrer que, pour tout entier naturel j non nul :
A_(N_j)(− 1/j) − A_(N_j − n_j − 1)(− 1/j) = 1/(j^2)∑_(k = 1)^(2^((j^3)))1/k
IV.G.2) Donner un équivalent simple de cette expression Iorsque j tend vers + ∞ et conclure.
IV.H - Donner R_a et C_a.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de mathématiques 1 Centrale PC 2004 ?
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Sur quoi porte le sujet de mathématiques 1 Centrale PC 2004 ?

Le problème porte sur les séries entières et étudie le comportement de la somme de la série sur le cercle de convergence, à travers plusieurs exemples construits progressivement.

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes relevées par le jury sur ce sujet ?

Le jury signale des définitions mal assimilées (rayon de convergence, convergence absolue ou uniforme), des confusions entre majoration du terme général et des sommes partielles, et une méconnaissance du critère de Cauchy.

Le sujet Centrale maths 1 PC 2004 est-il difficile ?

Les trois premières parties sont accessibles à qui maîtrise le cours sur les séries, mais la dernière partie, plus technique, n'a été abordée que par les très bons candidats.

Quels chapitres réviser pour traiter ce sujet Centrale PC 2004 ?

Il faut maîtriser les séries entières, les séries numériques (sommation par parties, critère de Cauchy) et la convergence uniforme des suites et séries de fonctions.

Pas de description pour le moment