E3A Mathématiques 2 PC 2016Sujet et corrigé

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CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH

Épreuve de Mathématiques 2 PC

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Le but de ce problème est de donner, dans les parties I. et II., quatre expressions différentes du réel ln(2) sous la forme d'une somme de série puis d'étudier, dans la partie III., la vitesse de convergence de ces quatre séries.

On rappelle que pour une série

\sum_(k \geq 1)u_k

convergente, le reste d'indice

n

, pour

n \in ℕ

, est le réel défini

par\sum_(k = n + 1)^(+ \infty)u_k

Partie I.

Rappeler, en précisant le rayon de convergence, le développement en série entière de la fonction définie sur $] - 1, + \infty[$ par $x \mapsto ln(1 + x)$ .
Montrer alors que $ln(2) = \sum_(k = 1)^(+ \infty)1/(k2^k)$ .
(a) Donner le rayon de convergence puis calculer la somme de la série entière $\sum_(k \geq 1)(x^(k + 1))/(k(k + 1))$ .
(b) En déduire la valeur de $\sum_(k = 1)^(+ \infty)1/(k(k + 1)2^k)$ .
(a) Montrer que la série $\sum_(k \geq 1)((- 1)^(k - 1))/k$ est convergente.
(b) Montrer que pour tout $n \in ℕ$ et tout $x \in [0, 1], |\sum_(k = n + 1)^(+ \infty)((- 1)^(k - 1))/kx^k| \leq 1/(n + 1)$ .
(c) En déduire que $ln(2) = \sum_(k = 1)^(+ \infty)((- 1)^(k - 1))/k$ .

Partie II.

On considère dans la suite de ce problème, la suite

(a_n)_(n \in ℕ^*)

définie par:

\foralln \in ℕ^*, a_n = (1 \times 3\dots \times (2n - 1))/(n2^(n + 1)n!) = (\prod_(k = 0)^(n - 1)(2k + 1))/(n2^(n + 1)n!)

(a) Montrer que pour tout $n \in ℕ^*, a_n = ((2n)!)/(n2^(2n + 1)(n!)^2)$ .
(b) Rappeler la formule de Stirling.
(c) Montrer que la série de terme général $a_n$ est convergente.
On considère la suite $(I_n)_(n \in ℕ)$ définie par $I_n = \int_0^(π/2)sin^(2n)(x)dx$ .
(a) Montrer que pour tout $n \in ℕ, I_n - I_(n + 1) = (I_(n + 1))/(2n + 1)$ .
(b) En déduire que pour tout $n \in ℕ^*, I_n = (\prod_(k = 0)^(n - 1)(2k + 1))/(2^n n!)π/2$ , puis donner une relation liant $I_n$ et $a_n$ pour tout $n \in ℕ^*$ .
(a) Pour $n \in ℕ^*$ , on note $f_n$ la fonction définie sur $[0, π/2[parf_n(x) = (sin^(2n)(x))/n$ . Montrer que la série de fonctions $\sum_(n \geq 1)f_n$ converge simplement sur $[0, π/2[$ vers une fonction $f$ que l'on déterminera.
(b) Montrer que $f$ est intégrable sur $[0, π/2[$ et que $\sum_(n = 1)^(+ \infty)a_n = - 2/π\int_0^(π/2)ln(cos(x))dx$ .
On note $I = \int_0^(π/2)ln(cos(x))dx$ et $J = \int_0^(π/2)ln(sin(x))dx$ .
(a) En utilisant un changement de variable, montrer que $J$ est convergente et que $I = J$ .
(b) En calculant $I + J$ trouver la valeur de $I$ .
Donner, en le justifiant, la valeur de $\sum_(n = 1)^(+ \infty)a_n$ .

Partie III.

Pour

n \in ℕ

, on note

R_n = \sum_(k = n + 1)^(+ \infty)1/(k2^k), S_n = \sum_(k = n + 1)^(+ \infty)((- 1)^(k - 1))/k, T_n = \sum_(k = n + 1)^(+ \infty)a_k

V_n = \sum_(k = n + 1)^(+ \infty)1/(k(k + 1)2^k)

R_n, S_n, T_n

V_n

sont donc les restes d'indice

n

des séries vues en première et deuxième partie. Le but de cette partie est de déterminer des équivalents des quatre suites

(R_n), (S_n), (T_n)

(V_n)

. On rappelle que la notation

u_n \sim v_n

signifie que la suite (

u_n

) est équivalente à la suite (

v_n

) et que la notation

u_n = \circ (v_n)

signifie que la suite (

u_n

) est négligeable devant la suite (

v_n

On note dans cette question $(U_n)_(n \geq 0)$ la suite définie par $U_n = \sum_(i = n + 1)^(+ \infty)1/(2^i)$ .
(a) Calculer $U_n$ . Ecrire pour tout $k \in ℕ^*, 1/(2^k)$ en fonction de deux termes de la suite $(U_n)_(n \geq 0)$ .
(b) En déduire que pour tout $n \in ℕ, R_n = (U_n)/(n + 1) - \sum_(k = n + 1)^(+ \infty)(U_k)/(k(k + 1))$ .
(c) Montrer que $\sum_(k = n + 1)^(+ \infty)(U_k)/(k(k + 1)) = \circ (R_n)$ .
(d) Conclure que $R_n \sim 1/(n2^n)$ .
(a) Montrer que

\foralln \in ℕ^*, \forallt \in [0, 1], \sum_(k = 0)^(n - 1)(- 1)^k t^k = 1/(1 + t) - (- 1)^n(t^n)/(1 + t)

(b) En déduire que pour tout

n \in ℕ^*, S_n = (- 1)^n\int_0^1(t^n)/(1 + t)dt

.
(c) Montrer que l'on a

\foralln \in ℕ^*, S_n = ((- 1)^n)/(2(n + 1)) + ((- 1)^n)/(n + 1)\int_0^1(t^(n + 1))/((1 + t)^2)dt

(d) Conclure que

S_n \sim ((- 1)^n)/(2n)

.
3. (a) Soit

ε > 0

. Montrer qu'il existe un rang

N \in ℕ

tel que

\forallk \geq N, (1 - ε)1/(2\sqrtπk^(3/2)) \leq a_k \leq (1 + ε)1/(2\sqrtπk^(3/2))

(b) Montrer que pour tout entier

k \geq 2, \int_k^(k + 1)(dt)/(t^(3/2)) \leq 1/(k^(3/2)) \leq \int_(k - 1)^k(dt)/(t^(3/2))

.
(c) Déduire des questions précédentes que

\foralln \geq N, (1 - ε)1/(2\sqrtπ)\int_(n + 1)^(+ \infty)(dt)/(t^(3/2)) \leq T_n \leq (1 + ε)1/(2\sqrtπ)\int_n^(+ \infty)(dt)/(t^(3/2))

(d) Conclure que

T_n \sim 1/(\sqrt(πn))

.
4. Montrer que

V_n \sim 1/(n^2 2^n)

.
5. Parmi les quatre séries étudiées dans ce problème, laquelle converge le plus rapidement? Laquelle converge le moins rapidement? Justifier vos réponses.

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