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E3A Mathématiques 2 PC 2018Sujet et corrigé

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Étude de l'équation ln(x) = ax, de l'équation fonctionnelle de l'exponentielle et d'une suite de polynômes associée
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Le problème étudie le nombre de solutions de l'équation ln(x) = ax selon la valeur du paramètre réel a. La partie II caractérise, par une équation fonctionnelle, les fonctions continues vérifiant φ(x+y) = φ(x)φ(y), qui se révèlent être les fonctions exponentielles. La partie III étudie une suite de polynômes Pn vérifiant une identité de convolution analogue à celle des puissances. La partie IV combine ces résultats pour construire, via une série entière Fa, une expression explicite de la plus petite solution de l'équation ln(x) = ax.

  1. 1Partie I : étude de l'équation (Ea)Détermination du nombre de solutions de l'équation ln(x) = ax selon les valeurs du paramètre a (aucune, une ou deux solutions selon que a dépasse 1/e), avec illustration graphique.
  2. 2Partie II : étude d'une équation fonctionnelleDétermination de toutes les fonctions continues φ vérifiant φ(x+y) = φ(x)φ(y), montrant qu'elles sont soit nulles soit de la forme φ(x) = φ(1)^x.
  3. 3Partie III : étude d'une suite de polynômesÉtude de la suite de polynômes Pn(X) = X(X+n)^(n-1)/n!, calcul de sa dérivée et démonstration d'une identité de convolution Pn(x+y) = somme des Pk(x)Pn-k(y).
  4. 4Partie IV : retour sur l'équation (Ea)Construction de la fonction Fa(x) = somme des Pn(x)a^n, démonstration qu'elle vérifie l'équation fonctionnelle de la partie II, et utilisation pour exprimer explicitement la plus petite solution de l'équation ln(x) = ax comme somme d'une série entière en fonction de a.

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CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH

Épreuve de Mathématiques 2 PC

Durée 3 h
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
L'objet de ce problème est d'étudier les éventuelles solutions de l'équation :
ln(x) = ax
où a ∈ ℝ est fixé et x > 0 est l'inconnue.

Partie I. Etude de l'équation ( E_a )

  1. On se fixe, dans cette question, un réel a quelconque.
    (a) Montrer que si a ∈ ] − ∞, 0], l'équation ( E_a ) admet une unique solution α ∈ ]0, 1].
    (b) Montrer que si a ∈ ]0, 1/e[, l'équation (E_a) admet exactement deux solutions α et β vérifiant α ∈ ]1, e[ et β ∈ ]e, + ∞[.
    (c) Montrer que si a = 1/e, l'équation ( E_a ) admet une unique solution dont on donnera la valeur.
    (d) Montrer que si a > 1/e, l'équation ( E_a ) n'admet pas de solution.
  2. Illuster sur quatre graphiques différents les cas où a ∈ ] − ∞, 0], a ∈ ]0, 1/e[, a = 1/e et a > 1/e (on représentera la fonction logarithme ainsi que la droite d'équation y = ax ).

Partie II. Etude d'une équation fonctionnelle

Dans cette partie on s'intéresse à l'étude de l'équation fonctionnelle :
∀(x, y) ∈ ℝ^2, φ(x + y) = φ(x)φ(y)
où l'inconnue est une fonction φ continue sur ℝ.
  1. Montrer qu'il existe exactement deux fonctions constantes sur ℝ, que l'on précisera, solutions de (R).
  2. Soit φ une solution de ( R ). Montrer que :
φ(0) = 0 ⟺ ∀x ∈ ℝ, φ(x) = 0.
  1. Soit φ une solution de (R) vérifiant φ(0) ≠ 0.
    (a) Donner la valeur de φ(0) et montrer que: ∀x ∈ ℝ, φ(x) > 0.
    (b) Montrer que
∀n ∈ ℤ, ∀x ∈ ℝ, φ(nx) = (φ(x))^n.
(c) Montrer que
∀m ∈ ℕ^∗, φ(1) = (φ(1/m))^m
(d) Déduire des questions précédentes que
∀(n, m) ∈ ℤ × ℕ^∗, φ(n/m) = (φ(1))^(n/m)
(e) Soit x ∈ ℝ. Montrer que la suite (x_n)_(n ∈ ℕ), définie par x_n = ⌊10^n x⌋10^(− n) pour tout n ∈ ℕ, converge vers x ( ⌊ ⋅ ⌋ désignant la fonction partie entière).
(f) Conclure que
∀x ∈ ℝ, φ(x) = (φ(1))^x

Partie III. Etude d'une suite de polynômes

On considère pour la suite de ce problème la suite de polynômes (P_n)_(n ∈ ℕ) définie par P_0 = 1et, pour n ∈ ℕ^∗ :
P_n(X) = 1/(n!)X(X + n)^(n − 1)
1.(a) Expliciter les polynômes P_1 et P_2.
(b) Donner la valeur de P_n(0) pour tout n ∈ ℕ.
2. Montrer que
∀n ∈ ℕ^∗, ∀x ∈ ℝ, P_n^′(x) = P_(n − 1)(x + 1)
  1. En déduire que
∀n ∈ ℕ, ∀(x, y) ∈ ℝ^2, P_n(x + y) = ∑_(k = 0)^n P_k(x)P_(n − k)(y)
(on pourra procéder par récurrence sur ℕ ).

Partie IV. Retour sur l'équation ( E_a )

Dans cette partie on note α_a la plus petite solution, si elle existe, de l'équation ( E_a ) .
1.(a) Montrer que pour x ∈ ℝ, (x + n)^(n − 1) ∼ _(n → + ∞)e^x n^(n − 1).
(b) Rappeler la formule de Stirling puis montrer que, pour a ∈ ℝ et x ∈ ℝ^∗ fixés, la série numérique ∑_(n ≥ 0)P_n(x)a^n converge absolument si et seulement si |a| ≤ 1/e.
2. Dans cette question on se fixe un réel a de [ − 1/e, 1/e] et on note F_a la fonction définie sur ℝ par :
F_a(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)P_n(x)a^n
(a) Montrer que F_a est continue sur ℝ.
(b) Rappeler le résultat de cours sur le produit de Cauchy de deux séries.
(c) En utilisant les résultats de la partie III., montrer que F_a est solution de (R) et en déduire :
∀x ∈ ℝ, F_a(x) = (F_a(1))^x
(d) Montrer que F_a est de classe C^1 sur ℝ et que :
∀x ∈ ℝ, F_a^′(x) = aF_a(x + 1)
(e) En calculant F_a^′(0) de deux façons différentes, montrer que F_a(1) est solution de (E_a).
3. On note G la fonction définie sur [ − 1/e, 1/e] par G(a) = F_a(1).
(a) Montrer que G est de classe C^1 sur ] − 1/e, 1/e[ et monotone sur [0, 1/e].
(b) Expliciter G([0, 1/e]), l'image de l'intervalle [0, 1/e] par la fonction G.
(c) Conclure que
∀a ∈ [ − 1/e, 1/e], F_a(1) = α_a
  1. Soit C un réel tel que 1 ≤ C ≤ e^(1/e). Montrer que l'équation y^y = C, d'inconnue y > 0, admet une unique solution y_0 et que
y_0 = 1 + ln(C) + ∑_(n = 2)^(+ ∞)(− 1)^(n + 1)((n − 1)^(n − 1))/(n!)(ln(C))^n

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 e3a PC 2018 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 e3a PC 2018 ?

Le sujet porte sur l'étude de fonctions, les équations fonctionnelles, les suites de polynômes et les séries entières, autour de l'étude complète de l'équation ln(x) = ax.

Les parties du sujet sont-elles indépendantes ?

Les parties II et III construisent des outils (équation fonctionnelle de l'exponentielle, suite de polynômes Pn) qui sont réutilisés dans la partie IV pour résoudre explicitement l'équation étudiée en partie I.

Quel est l'objectif final du problème ?

L'objectif de la partie IV est d'obtenir une expression explicite, sous forme de série entière en la variable a, de la plus petite solution de l'équation ln(x) = ax, puis d'en déduire une formule pour résoudre l'équation y^y = C.

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