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Mines Mathématiques 2 PC 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

Le théorème matriciel de Kreiss

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Présentation du sujet

Difficile
Théorème matriciel de Kreiss : norme d'opérateur, résolvante et inégalité de Spijker
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Le sujet démontre l'inégalité de Spijker, qui améliore un théorème de Kreiss. Elle majore les normes des puissances d'une matrice complexe à puissances bornées à l'aide de la norme de sa résolvante. Le problème, en 20 questions, étudie la norme d'opérateur associée à la norme euclidienne, écrit la résolvante comme somme d'une série de matrices, compare variation totale et norme uniforme d'une fonction, puis assemble ces résultats.

  1. 1Partie 1 : norme d'opérateur sur M_n(C)Existence du maximum par le théorème des bornes atteintes, sous-multiplicativité et expression de la norme par une forme bilinéaire.
  2. 2Partie 2 : l'ensemble B_nMatrices dont les puissances sont bornées : spectre inclus dans le disque unité et contre-exemple triangulaire.
  3. 3Partie 3 : résolvante d'une matriceCoefficients de la résolvante comme fractions rationnelles, développement en série de matrices et expression intégrale des coefficients de M^k.
  4. 4Partie 4 : variation totale et norme uniformeAbsence de majoration générale de la variation totale par la norme uniforme, puis majoration lorsque la dérivée s'annule un nombre fini de fois.
  5. 5Partie 5 : l'inégalité de SpijkerApplication aux fractions rationnelles sur le cercle unité grâce à un calcul d'intégrale de |cos| et à une interversion d'intégrales.
  6. 6Partie 6 : la version de Spijker du théorème de KreissSynthèse des parties précédentes par une intégration par parties pour majorer b(M) en fonction de b'(M).

Difficile. Le jury signale une partie 1 particulièrement mal traitée, une partie 5 moins abordée et beaucoup moins réussie, et davantage de copies quasi vides que les années précédentes.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Théorème des bornes atteintes mal utilisé · Maximum sans majoration ni cas d'égalité · Matrices, vecteurs et scalaires confondus
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Le sujet a permis de départager les candidats en mobilisant plusieurs techniques du programme autour d'un fil conducteur. Le jury constate surtout une mauvaise compréhension de la nature des objets manipulés, en particulier des normes, avec des confusions entre matrices, vecteurs et scalaires. Il relève plus de copies quasi vides, ou remplies de calculs sans résultat exact, que les années précédentes.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Théorème des bornes atteintes mal utiliséQ1

    Il est rarement cité et encore plus rarement appliqué correctement à une fonction continue sur un fermé borné ; souvent, seul le caractère fermé ou borné est mentionné.

    « Il a été rare d’avoir vu cité le théorème des bornes atteintes »
  2. 2
    Maximum sans majoration ni cas d'égalitéQ2

    Beaucoup croient reconnaître un produit scalaire. Le jury attendait une majoration de la quantité étudiée puis un cas d'égalité explicite.

  3. 3
    Matrices, vecteurs et scalaires confondusQ3, Q7

    On lit des inégalités entre matrices, des divisions par une matrice ou des égalités mêlant matrice, vecteur et valeur propre.

    « Une inégalité ne peut porter sur des nombres complexes et encore moins sur des matrices. »
  4. 4
    Convergence d'une série de matricesQ7

    Majorer les sommes partielles d'une série de matrices ne prouve pas sa convergence ; il fallait majorer la norme du terme général et reconnaître une série géométrique. Un argument de continuité manquait souvent.

  5. 5
    Convergence normale non mentionnéeQ9

    La convergence absolue est vue mais mal reliée à la convergence normale, ce qui empêchait d'obtenir tous les points.

  6. 6
    Intégrale d'une valeur absolue nullePartie 5

    Dans la partie 5, le calcul de l'intégrale de |cos(u - ω)| aboutit souvent à 0 alors que la fonction est continue, positive et non identiquement nulle.

Ce qui a été bien réussi

  • La partie 3 a été mieux réussie : la plupart des copies prouvent correctement la propriété P pour les matrices diagonales puis diagonalisables (Q5, Q6).
  • La question Q8 a été assez bien réussie.
  • De nombreux candidats ont produit des contre-exemples en Q4.
  • Dans la partie 4, les bonnes copies utilisent avec succès le contre-exemple t ↦ e^{int}, et l'argument de monotonie est bien employé.

Conseils du jury

  • Identifier la nature de chaque objet (matrice, vecteur, scalaire) et la norme utilisée avant de raisonner.
  • Pour déterminer un maximum, établir une majoration puis exhiber un cas d'égalité.
  • Justifier précisément les contre-exemples et les questions d'existence.
  • Soigner l'orthographe, notamment celle des noms de mathématiciens.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2022

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice et de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Le théorème matriciel de Kreiss

Soit n ∈ N^∗. Pour (x_1, …, x_n) ∈ C^n, le vecteur colonne X = (x_1, …, x_n)^T appartient à M_(n, 1)(C); on pose
‖X‖ = √(∑_(i = 1)^n|x_i|^2⎷).
On admet que l'application X ∈ M_(n, 1)(C) ⟼ ‖X‖ est une norme sur M_(n, 1)(C). On note
Σ_n = {X ∈ M_(n, 1)(C); ‖X‖ = 1}.
On identifie M_(1, 1)(C) à C. Ainsi, si (X, Y) ∈ M_(n, 1)(C)^2 et M ∈ M_n(C), X^T MY est un nombre complexe.
Si M ∈ M_n(C), on note χ_M le polynôme caractéristique de M, σ(M) l'ensemble des valeurs propres de M. Si 1 ≤ i, j ≤ n, on note (M)_(i, j) le coefficient de M situé à la i-ième ligne et à la j-ième colonne. Pour z ∈ C∖σ(M), on note
R_z(M) = (zI_n − M)^(− 1).
Soient
𝕌 = {z ∈ C; |z| = 1} et 𝔻 = {z ∈ C; |z| ≤ 1}.
Les parties 4 et 5 sont indépendantes des parties 1 , 2 et 3 . Dans la partie 3, les questions 7 à 10 sont indépendantes des questions 5 et 6 .

1 Norme d'opérateur sur M_n(C)

1 ▹ Justifier que si M ∈ M_n(C), l'application
X ∈ Σ_n ⟼ ‖MX‖
atteint son maximum, que l'on notera ‖M‖_(op).
Établir les deux propriétés
∀M ∈ M_n(C), ‖M‖_(op) = max{(‖MX‖)/(‖X‖); X ∈ M_(n, 1)(C)∖{0}},; ∀(M, M^′) ∈ M_n(C)^2, ‖M^′ M‖_(op) ≤ ‖M^′‖_(op)‖M‖_(op).
On admettra dans la suite que l'application M ∈ M_n(C) ⟼ ‖M‖_(op) est une norme sur M_n(C).
2▹ Si U ∈ M_(n, 1)(C), montrer que
max{|V^T U|; V ∈ Σ_n} = ‖U‖.
En déduire que, si M est dans M_n(C), alors
max{|X^T MY|; (X, Y) ∈ Σ_n × Σ_n} = ‖M‖_(op).

2 L'ensemble B_n

Soit B_n l'ensemble des matrices M de M_n(C) telles que la suite (‖M^k‖_(op))_(k ∈ N) soit bornée. Pour M ∈ B_n, on pose
b(M) = sup{‖M^k‖_(op); k ∈ N}.
3▹ Soient M ∈ B_n, X ∈ M_(n, 1)(C). Montrer que la suite (‖M^k X‖)_(k ∈ N) est bornée.
Si λ ∈ σ(M), si X est un vecteur propre de M associé à λ, exprimer pour k ∈ N, le vecteur M^k X en fonction de λ, k et X. En déduire que σ(M) ⊂ 𝔻.
4▹ On suppose que n ≥ 2. Indiquer, avec justification, une matrice M de M_n(C), triangulaire supérieure, telle que σ(M) ⊂ 𝔻, mais n'appartenant pas à B_n.

3 Résolvante d'un élément de M_n(C)

On dit que l'élément M de M_n(C) vérifie P si, pour tout (i, j) de {1, …, n}^2, il existe un élément P_(M, i, j) de C_(n − 1)[X] tel que
∀z ∈ C∖σ(M), (R_z(M))_(i, j) = (P_(M, i, j)(z))/(χ_M(z))
5▹ Montrer que les matrices diagonalisables de M_n(C) vérifient P. On commencera par le cas des matrices diagonales.
6▹ On admet que toute matrice de M_n(C) vérifie P. En déduire que, si M ∈ M_n(C) et (X, Y) ∈ M_(n, 1)(C)^2, il existe un élément P_(M, X, Y) de C_(n − 1)[X] tel que
∀z ∈ C∖σ(M), X^T R_z(M)Y = (P_(M, X, Y)(z))/(χ_M(z))
7▹ Soient M ∈ B_n et z ∈ C∖𝔻. Montrer que la série de matrices ∑(M^j)/(z^(j + 1)) converge.
On admettra le fait suivant : soit ( E, N ) un espace vectoriel normé de dimension finie ; si (v_j)_(j ∈ N) est une suite d'éléments de E telle que la série ∑N(v_j) converge, alors la série ∑v_j converge dans E.
Si m ∈ N, donner une expression simplifiée de (zI_n − M)∑_(j = 0)^m(M^j)/(z^(j + 1)).
En déduire que
R_z(M) = ∑_(j = 0)^(+ ∞)(M^j)/(z^(j + 1))
Pour M ∈ B_n, on définit la fonction
φ_M : z ∈ C∖𝔻 ⟼ (|z| − 1)‖R_z(M)‖_(op).
8▹ Déduire de la question précédente l'inégalité
(1) ∀M ∈ B_n, ∀z ∈ C∖𝔻, φ_M(z) ≤ b(M).
Soit (c_j)_(j ∈ N) une suite de nombres complexes telle que la série ∑c_j converge absolument. On pose
∀t ∈ R, u(t) = ∑_(j = 0)^(+ ∞)c_j e^(− i(j + 1)t)
9▹ Justifier l'existence et la continuité de la fonction u.
Pour k ∈ N, montrer que
1/(2π)∫_(− π)^π u(t)e^(i(k + 1)t)dt = c_k
10▹ Soient M ∈ B_n, r ∈ ]1, + ∞[ et (X, Y) ∈ M_(n, 1)(C)^2. Déterminer une suite de nombres complexes (c_j)_(j ∈ N) telle que la série ∑c_j converge absolument et que
∀t ∈ R, X^T R_(re^(it))(M)Y = ∑_(j = 0)^(+ ∞)c_j e^(− i(j + 1)t)
Si k ∈ N, en déduire, en utilisant la question 9, une expression intégrale de X^T M^k Y.

4 Variation totale et norme uniforme

Soit C^1 l'espace des fonctions de classe C^1 de [ − π, π] dans C. Pour f ∈ C^1, on pose
‖f‖_∞ = max{|f(t)|; t ∈ [ − π, π]} et V(f) = ∫_(− π)^π|f^′|.
11 - En considérant une suite de fonctions bien choisie, montrer qu'il n'existe pas d'élément C de R^(+ ∗) tel que
∀f ∈ C^1, V(f) ≤ C‖f‖_∞
Soit f ∈ C^1 à valeurs réelles. On suppose que l'ensemble C(f) des points de ] − π, π[ en lesquels la fonction f^′ s'annule est fini. On note ℓ le cardinal de C(f) et, si ℓ ≥ 1, on désigne par t_1 < ⋯ < t_ℓ les éléments de C(f). On pose t_0 = − π et t_(ℓ + 1) = π.
12▹ Montrer que
V(f) = ∑_(j = 0)^ℓ|f(t_(j + 1)) − f(t_j)|.
Pour 0 ≤ j ≤ ℓ, soit ψ_j la fonction de R dans {0, 1} égale à 1 sur [f(t_j), f(t_(j + 1))[ et à 0 sur R∖[f(t_j), f(t_(j + 1))[. Montrer que
V(f) = ∑_(j = 0)^ℓ∫_(− ‖f‖_∞)^(‖f‖_∞)ψ_j
13▹ Si y ∈ R, montrer que l'ensemble f^(− 1)({y}) ∩ [ − π, π[ est fini de cardinal majoré par ℓ + 1; on note N(y) ce cardinal.
Si y ∈ R, exprimer N(y) en fonction de ψ_0(y), …, ψ_ℓ(y). En déduire l'inégalité
V(f) ≤ 2max{N(y); y ∈ R}‖f‖_∞.

5 L'inégalité de Spijker

On appelle fraction rationnelle tout quotient F = P/Q où P ∈ C[X] et Q ∈ C[X]∖{0}. Une telle fraction peut s'écrire sous la forme précédente de façon que P et Q n'aient pas de racine commune dans C; si tel est le cas, les racines de Q dans C sont, par définition, les pôles de F. On note R_n l'ensemble des fractions rationnelles sans pôle dans 𝕌 de la forme P/Q où P et Q sont deux éléments de C_n[X].
Soient, dans la suite de cette partie, F ∈ R_n, P et Q deux éléments de C_n[X] vérifiant F = P/Q et
∀z ∈ 𝕌, Q(z) ≠ 0.
Pour t ∈ [ − π, π], on pose
f(t) = F(e^(it)) = g(t) + ih(t) où (g(t), h(t)) ∈ R^2.
Pour u ∈ [ − π, π], on définit une fonction f_u de [ − π, π] dans R par
∀t ∈ [ − π, π], f_u(t) = g(t)cos(u) + h(t)sin(u) = Re(e^(− iu)F(e^(it))) = Re(e^(− iu)f(t)).
14▹ Dans cette question, on fixe u ∈ [ − π, π] et on suppose que f_u n'est pas constante. On fixe également y ∈ R. En utilisant éventuellement l'expression de f_u(t) comme partie réelle de e^(− iu)F(e^(it)) et la formule d'Euler pour la partie réelle, déterminer S ∈ C_(2n)[X] tel que
∀t ∈ [ − π, π], f_u(t) = y ⟺ S(e^(it)) = 0.
En déduire que l'ensemble f_u^(− 1)({y}) ∩ [ − π, π[ est fini de cardinal majoré par 2n.
15▹ En observant que la fonction |cos| est 2π-périodique, calculer, pour ω ∈ R, l'intégrale
∫_(− π)^π|cos(u − ω)|du.
En déduire que, si (a, b) ∈ R^2,
∫_(− π)^π|acos(u) + bsin(u)|du = 4√(a^2 + b^2)
16▹ Exprimer l'intégrale
∫_(− π)^π(∫_(− π)^π|f_u^′(t)|du)dt
en fonction de V(f).
17 - On admet l'égalité
∫_(− π)^π(∫_(− π)^π|f_u^′(t)|du)dt = ∫_(− π)^π(∫_(− π)^π|f_u^′(t)|dt)du.
On admet aussi que, pour u ∈ [ − π, π] tel que f_u ne soit pas constante, l'ensemble des points de ] − π, π[ en lesquels la fonction f_u^′ s'annule est fini (ce que l'on pourrait établir en raisonnant comme dans la question 14▹ ).
En déduire l'inégalité
(3) V(f) ≤ 2πn‖f‖_∞.

6 La version de Spijker du théorème matriciel de Kreiss

Soit M ∈ B_n. L'inégalité (1) de la question 8 justifie la définition de
b^′(M) = sup{φ_M(z); z ∈ C∖𝔻}
et entraîne que b^′(M) ≤ b(M). On se propose de majorer b(M) en fonction de b^′(M).
Dans les questions 18▹ et 19▹, on fixe r ∈ ]1, + ∞[ et (X, Y) ∈ Σ_n^2. Pour ρ ∈ R^(+ ∗), on note
𝔻_ρ = {z ∈ C; |z| ≤ ρ}
18▹ Montrer qu'il existe un élément F_r de R_n dont les pôles sont tous dans 𝔻_(1/r) et tel que les deux propriétés suivantes soient satisfaites :
∀z ∈ C∖𝔻_(1/r), |F_r(z)| ≤ (b^′(M))/(r|z| − 1); ∀k ∈ N, X^T M^k Y = (r^(k + 1))/(2π)∫_(− π)^π F_r(e^(it))e^(i(k + 1)t) dt
19▹ En utilisant la question précédente, une intégration par parties et l'inégalité (3) de la question 17▹, montrer que
∀k ∈ N, |X^T M^k Y| ≤ (r^(k + 1))/((k + 1)(r − 1))nb^′(M)
20 - Démontrer finalement l'inégalité
(4) b(M) ≤ enb^′(M)
Ce résultat de M.N. Spijker (1991) améliore un théorème de H.O. Kreiss (1962). La constante en est asymptotiquement optimale.

Fin du problème

  1. Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.
    Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet Mines Maths 2 PC 2022 ?
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Sur quoi porte le sujet Mines Maths 2 PC 2022 ?

Il porte sur le théorème matriciel de Kreiss et l'inégalité de Spijker. Il mobilise la norme d'opérateur, les valeurs propres, les séries de matrices, les séries de fonctions et l'intégration.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en Mines Maths 2 PC 2022 ?

Une mauvaise compréhension des normes, des confusions entre matrices, vecteurs et scalaires, une convergence de série de matrices mal justifiée et l'oubli de la convergence normale.

Quelle partie du sujet Mines Maths 2 PC 2022 a été la mieux réussie ?

Selon le jury, la partie 3 sur la résolvante a été mieux réussie, alors que la partie 1 sur la norme d'opérateur a été particulièrement mal traitée.

Le sujet Mines Maths 2 PC 2022 est-il au programme de PC ?

Oui : le jury précise qu'un résultat admis par l'énoncé permettait de manipuler des séries de matrices sans sortir du programme de PC.

Pas de description pour le moment