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Mines Mathématiques 2 PC 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

Chaîne de Markov en temps continu

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Présentation du sujet

Chaîne de Markov en temps continu : convergence vers la mesure invariante
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Le sujet construit une chaîne de Markov à temps continu sur un espace fini à partir d'un noyau de Markov et de la matrice H_t définie par une série exponentielle. Sous une hypothèse de réversibilité, il établit la convergence de H_t vers la mesure invariante et estime la vitesse de convergence grâce à la plus petite valeur propre non nulle d'un endomorphisme autoadjoint.

  1. 1PréliminairesNoyaux de Markov, puissances de K, définition de H_t par une série et relation H_(t+s) = H_t H_s.
  2. 2Partie 1 : modélisation probabilisteLoi de l'état après n impulsions, puis nombre d'impulsions suivant une loi de Poisson.
  3. 3Partie 2 : étude d'un endomorphisme autoadjointThéorème spectral et minoration de la forme quadratique hors du noyau.
  4. 4Partie 3 : convergence de H_t[i, j]Produit scalaire pondéré par π, noyau de I - K, dérivation de t ↦ H_t X, inégalité différentielle et limite de H_t[i, j].

L'épreuve en chiffres

Moyenne 11,23 / 20 · écart-type 4,4 · 3 447 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
11,23/ 20
Écart-type
4,4
Présents
3 447
Coefficient
3
Durée
3 h
moyenne 11,2305101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 3 mai 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Produit matriciel mal connu · Puissance de matrice confondue avec puissance du coefficient · Formule des probabilités totales mal écrite
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Le sujet couvrait une bonne partie de l'algèbre linéaire, des probabilités et de l'analyse. Les questions 3, 5 et 10 ont permis de distinguer les bonnes copies, et la fin de la partie 3 a rarement été réussie. Dans les copies faibles, le jury relève des confusions entre matrices, vecteurs et scalaires, ou entre probabilités, événements et variables aléatoires.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Produit matriciel mal connuQ1, Q5

    Dans les copies faibles, le coefficient (i, j) de AB est souvent écrit comme le produit des coefficients (i, j) de A et de B.

    « une telle méconnaissance du produit matriciel »
  2. 2
    Puissance de matrice confondue avec puissance du coefficientQ3, Q5, Q15

    Le coefficient (i, j) de K^n n'est pas la puissance n-ième de K[i, j] ; cette erreur fausse la convergence de la série et le produit de Cauchy.

  3. 3
    Formule des probabilités totales mal écriteQ7

    La somme sur tous les états à l'instant précédent est souvent absente.

    « Beaucoup de candidats ne maîtrisent visiblement pas la formule des probabilités totales »
  4. 4
    Théorème spectral énoncé de façon incomplèteQ9

    L'existence d'une base orthonormale de vecteurs propres est souvent oubliée.

    « beaucoup de candidats présentent un énoncé incomplet, en oubliant la base orthonormale »
  5. 5
    Erreur de logique sur le noyauQ13, Q14

    De KU = U, on ne peut pas déduire que tout vecteur fixe par K est colinéaire à U : il faut utiliser que 1 est valeur propre simple, puis la réversibilité de K pour l'autoadjonction.

    « une erreur de logique beaucoup trop fréquente »
  6. 6
    Hypothèses et majorations négligéesQ1, Q2, Q3, Q4

    L'hypothèse (M1) est parfois oubliée, la base de récurrence aussi, et la valeur absolue manque dans la majoration du terme général.

Ce qui a été bien réussi

  • La première partie de la question 1 est correctement traitée dans la majorité des copies.
  • La récurrence de la question 2 est généralement bien menée.
  • Les questions 4, 6, 11 et 12 sont plutôt bien ou très majoritairement réussies.
  • La question 20 est réussie par les candidats qui ont compris le fil conducteur du sujet.

Conseils du jury

  • Apprendre le cours : c'est la condition nécessaire pour réussir.
  • Donner des arguments justes, précis et courts : une rédaction trop longue fait perdre du temps sans rapporter de points.
  • Pour un produit scalaire, prouver le caractère positif avant le caractère défini.
  • Écrire explicitement qu'une somme de réels positifs est nulle si et seulement si chaque terme est nul.
  • Suivre le fil conducteur du sujet et réutiliser les questions antérieures, comme la question 10 pour la question 18.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

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Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2023

DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Chaîne de Markov en temps continu

Dans tout le sujet on se fixe un entier naturel N ≥ 2.
  • Soit A ∈ ℳ_(p, q)(R). Pour tout (i, j) ∈ [ [1; p] ] × [ [1; q] ], on note A[i, j] le coefficient à la ligne i et la colonne j de A. Par abus, si A est une matrice colonne ( q = 1 ) on note A[i] pour A[i, 1]. De même si A est une matrice ligne ( p = 1 ) on note A[i] pour A[1, i].
  • On identifie R^N avec ℳ_(N, 1)(R). Pour tout k ∈ [ [1; N] ] on note E_k ∈ ℳ_(N, 1)(R) la matrice colonne dont tous les coefficients sont nuls sauf la k-ième qui vaut 1 . On rappelle que ( E_1, …, E_N ) est une base de ℳ_(N, 1)(R).
On note U ∈ ℳ_(N, 1)(R) le vecteur colonne dont toutes les coordonnées sont égales à 1 . On a donc pour tout i ∈ [ [1; N] ], U[i] = 1.
  • On appelle noyau de Markov une matrice K ∈ ℳ_N(R) telle que
    (M_1)∀(i, j) ∈ [ [1; N] ]^2, K[i, j] ≥ 0
    (M_2)∀i ∈ [ [1; N] ], ∑_(j = 1)^N K[i, j] = 1
  • On appelle probabilité un vecteur ligne μ ∈ ℳ_(1, N)(R) tel que
    (P_1)∀i ∈ [ [1; N] ], μ[i] ≥ 0
    (P_2)∑_(j = 1)^N μ[j] = 1
  • On notera I_N ∈ ℳ_N(R) la matrice identité.

Préliminaires

1▹ Soit A ∈ ℳ_N(R). Montrer que A vérifie ( M_2 ) si et seulement si AU = U.
En déduire que si A et B sont deux noyaux de Markov alors AB est encore un noyau de Markov.
On se fixe un noyau de Markov K.
2▹ Montrer que pour tout n ∈ N, K^n est un noyau de Markov.
3▹ Soit t ∈ R et (i, j) ∈ [ [1; N] ]^2, justifier que la série ∑_(n ≥ 0)(t^n K^n[i, j])/(n!) converge.
On notera H_t ∈ ℳ_N(R) la matrice définie par
∀(i, j) ∈ [ [1; N] ]^2, H_t[i, j] = e^(− t)∑_(n = 0)^(+ ∞)(t^n K^n[i, j])/(n!)
4▹ Montrer que pour tout réel t ∈ R_+, H_t est un noyau de Markov.
5▹ Montrer que pour (t, s) ∈ R_+^2, H_(t + s) = H_t H_s.
On pourra faire apparaître un produit de Cauchy.

Partie 1 - Modélisation probabiliste

On cherche à modéliser un système ayant N états numérotés de 1 à N. À l'instant initial le système est dans l'état 1 . Le système est soumis à des impulsions.
On suppose que pour tout (i, j) ∈ [ [1; N] ]^2, à chaque impulsion, si le système est dans l'état i, il se retrouve dans l'état j avec une probabilité p_(ij) qui ne dépend que de l'état où il était avant l'impulsion.
Ce système est modélisé par un espace probabilisé (Ω, 𝒜, P).
Pour tout entier k ∈ N, on note Z_k la variable aléatoire à valeurs dans [ [1; N] ] qui correspond à l'état du sytème après k impulsions. Pour tout (i, j) ∈ [ [1; N] ]^2 et tout k ∈ N tels que P(Z_k = i) ≠ 0 on a donc P(Z_(k + 1) = j|Z_k = i) = p_(ij). En particulier, cela ne dépend pas de k. De plus, la variable Z_0 est la variable certaine de valeur 1 .
On considère la matrice K ∈ ℳ_N(R) définie par
∀(i, j) ∈ [ [1; N] ]^2, K[i, j] = p_(ij)
6▹ Justifier que K est un noyau de Markov.
7▹ Soit n ∈ N. Soit j ∈ [ [1; N] ] montrer que P(Z_n = j) = K^n[1, j].
On pourra procéder par récurrence.
8▹ Soit t ∈ R_+. On suppose que le nombre d'impulsions après un temps t est donné par une variable aléatoire Y_t suivant la loi de Poisson de paramètre t. Pour tout j ∈ [ [1; N] ] on note A_(t, j) l'événement «le système est dans l'état j après un temps t». Justifier que P(A_(t, j)) = H_t[1, j].

Partie 2 - Étude d'un endomorphisme autoadjoint

Soit E un espace euclidien de dimension N. On note ( | ) le produit scalaire et |||| la norme euclidienne associée. Soit u un endomorphisme autoadjoint de E. On pose q_u : E → R défini par q_u : x ↦ (u(x)|x) et on suppose que pour tout x ∈ E, q_u(x) ≥ 0.
9▹ Énoncer le théorème spectral pour l'endomorphisme u. Que peut-on dire des valeurs propres de u ?
On suppose que 0 est valeur propre simple de u et on note λ_2 la plus petite valeur propre non nulle de u. On note p : E → E la projection orthogonale sur la droite vectorielle ker(u).
10▹ Montrer que pour tout x ∈ E, q_u(x − p(x)) ≥ λ_2‖x − p(x)‖^2.

Partie 3 - Convergence de H_t[i, j]

On considère un noyau de Markov K. On suppose que 1 est une valeur propre simple de K.
On suppose qu'il existe une probabilité π ∈ ℳ_(1, N)(R) telle que :
(a) Pour tout j ∈ [ [1; N] ], π[j] ≠ 0.
(b) ∀(i, j) ∈ [ [1; N] ]^2, π[i]K[i, j] = K[j, i]π[j]; on dit que K est π-reversible.
Un rapide calcul montre alors que pour tout réel t positif H_t est aussi un noyau de Markov π-réversible c'est-à-dire que
∀(i, j) ∈ [ [1; N] ]^2, π[i]H_t[i, j] = H_t[j, i]π[j]
On ne demande donc pas de démontrer ce résultat.
Pour finir, pour X, Y ∈ ℳ_(N, 1)(R)^2, on pose
⟨X, Y⟩ = ∑_(i = 1)^N X[i]Y[i]π[i]
Dans cette dernière partie, on cherche à déterminer pour (i, j) ∈ [ [1; N] ]^2 la limite de H_t[i, j] quand t tend vers + ∞ et à majorer la vitesse de convergence.
11▹ Montrer que πK = π.
12▹ Montrer que (X, Y) ↦ ⟨X, Y⟩ est un produit scalaire sur ℳ_(N, 1)(R).
Dans la suite on note E l'espace l'espace euclidien ℳ_(N, 1)(R) muni de ce produit scalaire.
13▹ On considère l'endomorphisme de E défini par u : X ↦ (I_N − K)X. Montrer que ker(u) = Vect(U) et que u est un endomorphisme autoadjoint de E.
On admet que pour tout t ∈ R_+, l'endomorphisme X ↦ H_t X est aussi un endomorphisme autoadjoint de E.
14▹ Montrer que pour tout X ∈ E,
q_u(X) = 1/2∑_(i = 1)^N∑_(j = 1)^N(X[i] − X[j])^2 K[i, j]π[i]
Que dire des valeurs propres de u ?
Soit X ∈ E, on note ψ_X la fonction définie de R dans E par ψ_X : t ↦ H_t X et φ_X la fonction définie de R dans R par φ_X : t ↦ ‖H_t X‖^2
15▹ Justifier que ψ_X est dérivable et que pour tout t dans R,
ψ_X^′(t) = − (I_N − K)H_t X
16▹ En déduire que φ_X est dérivable et exprimer φ_X^′(t) à l'aide de q_u.
On note p : E → E la projection orthogonale sur ker(u).
17▹ Soit t ∈ R_+. Montrer que p(H_t X) = p(X).
18▹ On pose Y = X − p(X). On note λ la plus petite valeur propre non nulle de u.
Montrer que pour tout réel t ∈ R_+, φ_Y^′(t) ≤ − 2λφ_Y(t).
En déduire que ∀t ∈ R_+, ‖H_t X − p(X)‖^2 ≤ e^(− 2λt)‖X − p(X)‖^2.
19▹ Soit i ∈ [ [1; N] ] et t ∈ R_+. Montrer que ‖H_t E_i − π[i]U‖ ≤ e^(− λt)√(π[i]).
20▹ Montrer que pour tout (i, j) ∈ [ [1; N] ]^2 et tout t ∈ R_+,
H_t[i, j] − π[j] = ∑_(k = 1)^N(H_(t/2)[i, k] − π[k])(H_(t/2)[k, j] − π[j])
On pourra utiliser la question 5.
21▹ En déduire que pour tout (i, j) ∈ [ [1; N] ]^2 et tout t ∈ R_+,
|H_t[i, j] − π[j]| ≤ e^(− λt)√((π[j])/(π[i]))
Déterminer lim_(t → + ∞)H_t[i, j].

Fin du problème

  1. Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.
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Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de maths 2 Mines PC 2023 ?
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Sur quoi porte le sujet de maths 2 Mines PC 2023 ?

Sur une chaîne de Markov en temps continu : construction de la matrice H_t par une série, modélisation probabiliste, théorème spectral, puis convergence vers la mesure invariante avec une vitesse exponentielle.

Quelles questions ont fait la différence en maths 2 Mines Ponts PC 2023 ?

Selon le jury, les questions 3, 5 et 10 permettaient de distinguer les bonnes copies. Les questions 17 à 21 ont été très rarement réussies.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 2 Mines PC 2023 ?

La confusion entre le coefficient de K^n et la puissance du coefficient de K, un produit matriciel mal connu, la formule des probabilités totales mal écrite et un théorème spectral incomplet.

Quels chapitres réviser pour le sujet maths 2 PC Mines 2023 ?

Le calcul matriciel, les séries entières et le produit de Cauchy, les probabilités totales et la loi de Poisson, les espaces euclidiens et le théorème spectral.

Pas de description pour le moment