E3A Mathématiques 2 PC 2017Sujet et corrigé

L'épreuve est constituée d'un problème dont les trois parties sont relativement indépendantes.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

I.1) (a) Calculer f(t) = ∫_0^1 e^(− ts)ds pour t ∈ ℝ, si t = 0 puis t ≠ 0.
(b) Montrer que f est une application continue sur ℝ et établit une bijection de ℝ sur un intervalle à préciser.
(c) Montrer que f est développable en série entière sur ℝ et donner son développement
I.2) Pour x ∈ ℝ, soit S(x) = ∫_0^x f(t)dt.
(a) Montrer que S est développable en série entière et donner son développement.
(b) Justifier l'égalité : ∑_(n = 1)^(+ ∞)((− 1)^(n + 1))/(n(n!)) = ∫_0^1(1 − e^(− t))/tdt
I.3) (a) Pour tout x > 0, justifier l'existence de R(x) = ∫_x^(+ ∞)(e^(− t))/tdt.
(b) On pose γ = S(1) − R(1) = ∫_0^1(1 − e^(− t))/tdt − ∫_1^(+ ∞)(e^(− t))/tdt. Justifier l'égalité : γ = − ∫_0^(+ ∞)ln(t)e^(− t)dt
(c) Montrer que R est de classe 𝒞^1 sur ℝ_+^∗, donner une relation entre R^′(x) et S^′(x) pour x > 0 et justifier que : S(x) = R(x) + lnx + γ
I.4) (a) Pour x > 0 et n ∈ ℕ^∗, soit g_n(x) = ∑_(k = 1)^n(x^k)/k − ∫_1^n(x^t)/tdt.

Pour tout x ∈ ]0, 1[, justifier l'existence de g(x) = ∑_(k = 1)^(+ ∞)(x^k)/k − ∫_1^(+ ∞)(x^t)/tdt et prouver que, pour tout n ∈ ℕ^∗ : 0 ⩽ g_n(x) − g(x) ⩽ (x^n)/n
(b) Prouver que la suite de fonctions (g_n)_(n ∈ ℕ^∗) converge uniformément vers g sur ]0, 1[.
(c) En admettant que lim_(n → + ∞)g_n(1) = lim_(x → 1^−)g(x), montrer que :

I.5) Soient a > 0 et b > 0. En utilisant R(ax) − R(bx), calculer ∫_0^(+ ∞)(e^(− at) − e^(− bt))/tdt.
I.6) (a) Montrer que, pour tout x > 0, on a : R(x) ⩽ (e^(− x))/x, puis que lim_(x → + ∞)xR(x) = 0.
(b) Au moyen d'une intégration par parties, prouver que R est intégrable sur ℝ_+^∗ et

II.1) (a) Pour n ∈ ℕ, montrer l'existence de I_n = ∫_0^(+ ∞)t^n e^(− t)dt
(b) Justifier que I_(n + 1) = (n + 1)I_n. En déduire la valeur de I_n.
II.2) On considère l'espace vectoriel ℝ_2[X] des polynômes réels de degré ⩽ 2.

À tout P ∈ ℝ_2[X], on associe T(P) tel que: ∀x ∈ ℝ, T(P)(x) = ∫_0^(+ ∞)e^(− t)P(x + t)dt.
(a) Montrer que T est un endomorphisme de ℝ_2[X] et écrire sa matrice M dans la base B = (1, X, X^2).
(b) Étudier si M est diagonalisable dans M_3(ℝ).
II.3) Soit n ∈ ℕ et l'espace vectoriel ℝ_n[X] des polynômes réels de degré ⩽ n. On note D l'endomorphisme de ℝ_n[X] associant à tout polynôme P son polynôme dérivé P^′.
(a) Soit P ∈ ℝ_n[X] et (x, t) ∈ ℝ^2. Déterminer des réels b_0(x), …, b_n(x) tels que P(x + t) = ∑_(k = 0)^n t^k b_k(x).

Indication : On pourra citer et utiliser une formule de Taylor.
(b) À tout P ∈ ℝ_n[X], on associe T(P) tel que: ∀x ∈ ℝ, T(P)(x) = ∫_0^(+ ∞)e^(− t)P(x + t)dt.

Montrer que T est un endomorphisme de ℝ_n[X] et déterminer des réels a_0, …, a_n tels que pour tout P ∈ ℝ_n[X] on ait : T(P) = ∑_(k = 0)^n a_k D^k(P).
(c) Déterminer les éléments propres de T (valeurs propres et vecteurs propres).
II.4) Soit g : ℝ → ℝ, une fonction continue et bornée. Déterminer y ∈ 𝒞^1(ℝ, ℝ) solution de l'équation différentielle sur ℝ : y^′ − y + g = 0.
Justifier que la solution générale est de la forme : y : x ⟼ ke^x + e^x∫_x^(+ ∞)e^(− t)g(t)dt, avec k ∈ ℝ
II.5) Soit g : ℝ → ℝ continue et bornée et soit N_∞(g) = sup{|g(t)|, t ∈ ℝ}.
(a) On définit T_g : ℝ → ℝ par: ∀x ∈ ℝ, T_g(x) = ∫_0^(+ ∞)e^(− t)g(x + t)dt.

Justifier qu'alors T_g(x) = e^x∫_x^(+ ∞)e^(− u)g(u)du, et que T_g est de classe 𝒞^1 sur ℝ en précisant (T_g)^′ en fonction de T_g et g.
(b) En supposant g non nulle, déterminer s'il existe λ ∈ ℝ tel que T_g = λg.
(c) Montrer qu'en général, T_g est bornée sur ℝ et majorer N_∞(T_g) au moyen de N_∞(g).
(d) Montrer que si g tend vers 0 en + ∞, alors T_g aussi.

Indication : on vérifiera que si |g(t)| ⩽ ε pour t ⩾ A, alors |T_g(x)| ⩽ ε pour x ⩾ A.
II.6) (a) Pour tout réel A, justifier l'existence et calculer ∫_A^(+ ∞)e^((i − 1)t)dt.
(b) Soit c : t ⟼ cos(t), s : t ⟼ sin(t) et F le sous-espace vectoriel de 𝒞(ℝ, ℝ) engendré par (c, s). Montrer que g ↦ T_g (où T_g défini ci-dessus) définit un endomorphisme de F et écrire sa matrice N dans la base ( c, s ). N est-elle diagonalisable dans M_2(ℝ) ?

On s'intéresse dans cette partie à l'équation différentielle : xy^(′′) + y^′ − (x + 1)y = 1.
III.1) On suppose qu'il existe une solution θ développable en série entière de cette équation différentielle. On note alors θ(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n x^n pour tout x ∈ ] − r, r[ où r > 0 est le rayon de convergence et (a_n)_(n ∈ ℕ) une suite réelle.
(a) Déterminer alors une relation entre a_1 et a_0, ainsi qu'une relation entre a_(n + 2), a_(n + 1) et a_n pour tout n ∈ ℕ.
(b) Pour une telle suite (a_n)_(n ∈ ℕ), montrer qu'il existe K > 0 telle que: ∀n ∈ ℕ, |a_n| ⩽ K/(n!). En déduire qu'une telle solution θ existe et que de plus r = + ∞.
III.2) On souhaite résoudre ici cette équation différentielle sur l'intervalle I = ℝ_+^∗ et l'on note :

(a) Pour tout y ∈ 𝒞^2(I, ℝ), on pose z(x) = e^(− x)y(x) pour tout x > 0.

Montrer que y ∈ S si et seulement si z vérifie :

(b) Déterminer les Z ∈ 𝒞^1(I, ℝ) telles que :

(c) Déterminer les Z ∈ 𝒞^1(I, ℝ) telles que :

(d) En déduire l'expression des fonctions z ∈ 𝒞^2(I, ℝ) vérifiant ( ⋆ ) de III.2.(a), en utilisant la fonction R définie pour x > 0 par R(x) = ∫_x^(+ ∞)(e^(− t))/tdt : On utilisera R(x) et R(2x).
(e) Donner alors l'expression de la solution générale y ∈ S.
III.3) (a) Sachant que R(x) = − ln(x) + γ + o(1) quand x → 0 avec x > 0, déterminer les solutions y ∈ S ayant une limite finie en 0 .
Exprimer alors ces solutions en utilisant la fonction S de la partie I et reliée à R par :
S(x) = R(x) + ln(x) + γ pour x > 0 (vu en I.3.)(c)).
(b) Sachant que S est développable en série entière sur ℝ, donner l'expression des solutions f de la question III. 1) : on exprimera f(x) en fonction de S(x) et S(2x) pour tout x ∈ ℝ.
Comment pourrait-on alors obtenir une expression des suites (a_n)_(n ∈ ℕ) de III. 1)?