WikiPrépaLivrets

Mines Mathématiques 1 PC 2003Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
Logo concours Mines

Explorer les annales

BanqueMinesAnnée2003FilièrePCMatièreMathématiques
Annales Mines PC MathématiquesMines PC 2003PC MathématiquesMathématiques 2003

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Présentation du sujet

Difficile
Introduction de la fonction Gamma et calcul d'une intégrale par une méthode originale
Afficher ou masquer la section

Le problème introduit la fonction Gamma par une méthode originale, en caractérisant d'abord une fonction F par une propriété de convexité logarithmique et une relation fonctionnelle. Il utilise ensuite cette fonction pour déterminer, dans une seconde partie, l'expression d'une intégrale faisant intervenir un logarithme itéré de la tangente.

  1. 1Première partieUnicité puis existence de la fonction F caractérisant la fonction Gamma, et calcul de Gamma'(1).
  2. 2Seconde partieÉtude d'une série entière associée et calcul de l'intégrale I à l'aide des résultats de la première partie.

Difficile. Le rapport signale une diminution sensible des très bons candidats alors que la seule première partie, jugée classique, suffisait à obtenir une bonne note, ce qui traduit des lacunes importantes chez de nombreux candidats.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Affirmation fausse sur les fonctions convexes · Mathématicien inventé pour justifier un résultat · Convexité de T confondue avec celle de son logarithme
Afficher ou masquer la section

L'épreuve portait sur une large partie du programme d'analyse, en particulier la convergence uniforme, les intégrales généralisées et la dérivation sous le signe intégrale. La moyenne générale se maintenait par rapport aux années précédentes, mais le jury regrette une diminution sensible des très bons candidats alors que l'épreuve ne comportait que des difficultés classiques.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Affirmation fausse sur les fonctions convexesQ1

    Certains candidats justifient à tort une inégalité en affirmant qu'une fonction convexe est croissante, ce qui est faux en général.

    « Une fonction convexe est croissante »
  2. 2
    Mathématicien inventé pour justifier un résultatQ5

    Dans les justifications de la question 5, certains candidats invoquent un mathématicien fictif dont l'existence reste obscure.

    « mieux vaut ne pas invoquer le mathématicien « Desgendarmes », dont l'existence reste obscure »
  3. 3
    Convexité de T confondue avec celle de son logarithmeQ11

    À la question 11, certains candidats se contentent de la convexité de T(x) pour conclure sur celle de ln T(x), ce qui n'est pas suffisant car le logarithme n'est pas lui-même convexe.

    « ln x n'est pas convexe »
  4. 4
    Intégrales de Bertrand supposées connues à tortQ10

    Le jury rappelle que les intégrales dites de Bertrand ne sont pas supposées connues des candidats, alors que l'intégrabilité de la fonction majorante est rarement justifiée à la question 10.

    « les intégrales dites de « Bertrand » ne sont pas supposées connues »
  5. 5
    Convergence uniforme sur [0,1] mal compriseQ17

    À la question 17, le rayon de convergence égal à 1 est en général obtenu, mais la convergence uniforme sur [0,1] n'est que rarement comprise, alors que le rayon de convergence seul ne suffit pas à l'établir.

Ce qui a été bien réussi

  • La question 16, facile, a été généralement résolue.
  • La question 20, facile, a été traitée grâce à un simple changement de variable.
  • La question 8, application directe du cours, est résolue dans la majorité des cas.

Conseils du jury

  • Ne pas avoir de lacune sur les notions de première année, en particulier les limites et l'interprétation des symboles o et équivalent.
  • Connaître exactement toutes les hypothèses permettant d'appliquer les théorèmes fondamentaux d'analyse, notamment pour la dérivation sous le signe intégrale.
  • Préciser systématiquement le domaine de variation de la variable dans l'étude d'une convergence uniforme.
  • Justifier l'utilité des hypothèses de l'énoncé plutôt que de se contenter d'affirmer un résultat.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

A 2003 Math PC 1

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2003
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES PREMIÊRE ÉPREUVE Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 1-Filière PC.
Cet énoncé comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
L'objet de ce problème est d'introduire suivant une méthode originale la fonction Γ et de déterminer, à l'aide de cette fonction, une expression de l'intégrale I suivante :
I = ∫_(π/4)^(π/2)ln(ln(tanx))dx

Première partie

Il est admis que, si la fonction réelle f, définie sur un intervalle I de la droite réelle ℝ, est convexe, pour toute suite croissante de trois réels x_1, x_2, x_3, ( x_1 < x_2 < x_3 ) appartenant à l'intervalle I, les valeurs prises par cette fonction en ces points vérifient la relation suivante :
(f(x_2) − f(x_1))/(x_2 − x_1) ≤ (f(x_3) − f(x_1))/(x_3 − x_1) ≤ (f(x_3) − f(x_2))/(x_3 − x_2).
Soit F une fonction inconnue, définie sur la demi-droite ouverte ]0, ∞[, prenant des valeurs strictement positives (F(x) > 0), qui vérifie les propriétés suivantes :
i. pour tout réel x strictement positif :
F(x + 1) = xF(x).
ii. La fonction x ⟼ lnF(x) est une fonction convexe.
iii. La fonction F prend la valeur 1 en 1 :
F(1) = 1.
Encadrement de F(n + x) et de F(x) :
Dans les quatre premières questions, x est un réel appartenant à l'intervalle semi-ouvert ]0, 1] et n un entier naturel supérieur ou égal à 2(n ≥ 2).
  1. Démontrer les inégalités suivantes:
lnF(n) − lnF(n − 1) ≤ (lnF(n + x) − lnF(n))/x ≤ lnF(n + 1) − lnF(n).
  1. Calculer F(n). En déduire un encadrement de F(n + x) à l'aide des deux expressions (n − 1)^x.(n − 1)! et n^x.(n − 1)!.
  2. Établir la relation qui lie, pour tout entier p supérieur ou égal à 1(p ≥ 1), F(p + x) à F(x).
  3. En déduire les inégalités suivantes :
n/(x + n)F(x) ≤ (n^x n!)/(x(x + 1)…(x + n)) ≤ F(x).

Unicité de la fonction F :

Dans les questions 5 et 6 , il est admis qu'il existe une fonction F, positive (F(x) > 0), définie sur la demi-droite ouverte ]0, ∞[, vérifiant les hypothèses i, ii et iii.
Étant donné un entier strictement positif n, soit u_n la fonction définie sur la demi-droite ouverte ]0, ∞[ par la relation suivante :
u_n(x) = (n^x ⋅ n!)/(x(x + 1)…(x + n)).
  1. Déterminer, en supposant le réel x appartenir à l'intervalle semi-ouvert ]0, 1], la limite de la suite (u_n(x))_(n ∈ ℕ^∗) lorsque l'entier n croît indéfiniment.
  2. En déduire la limite de la suite (u_n(x))_(n ∈ ℕ^∗) lorsque l'entier n croît indéfiniment, pour tout réel x strictement positif.
  3. En déduire qu'il existe au plus une fonction F définie sur la demi-droite ]0, ∞[, strictement positive, vérifiant les propriétés i, i i et iii.

Fonction Γ :

Soit k la fonction définie sur le quart de plan ]0, ∞[ × ]0, ∞[ par la relation suivante :
k(x, t) = t^(x − 1) ⋅ e^(− t)
  1. Étudier, pour un réel x donné, l'intégrabilité de la fonction : t ⟼ t^(x − 1).e^(− t) sur la demi-droite ouverte ]0, ∞[.
Soit Γ la fonction définie sur la demi-droite ouverte ]0, ∞[ par la relation suivante :
Γ(x) = ∫_0^∞t^(x − 1) ⋅ e^(− t)dt
  1. Établir que cette fonction Γ est strictement positive (Γ(x) > 0).
  2. Établir que cette fonction Γ est deux fois continûment dérivable sur la demi-droite ouverte ]0, ∞[. Donner les expressions de ces dérivées. Préciser l'expression de la dérivée de la fonction Γ pour x = 1, Γ^′(1), au moyen d'une intégrale.

Existence de la fonction F :

  1. Démontrer que la fonction Γ est la fonction F étudiée dans les questions précédentes.
Il est admis, dans la suite, que la constante d'Euler γ est définie par la relation suivante :
γ = lim_(n ⟶ ∞)(∑_(k = 1)^n 1/k − lnn)

Valeur de Γ^′(1) :

Soit (g_n)_(n ≥ 1) la suite des fonctions définies, pour tout entier n supérieur ou égal à 1(n ≥ 1^–), sur la demi-droite ouverte ]0, ∞[ par la relation suivante :
g_n(x) = xlnn − lnx − ∑_(k = 1)^n ln(1 + x/k)
  1. Déterminer, à l'aide des résultats obtenus précédemment, la limite de g_n(x) lorsque l'entier n croît vers l'infini et que le réel x appartient à la demidroite ouverte ]0, ∞[.
Soit (v_n)_(n ≥ 1) la suite de fonctions définies, pour tout entier n supérieur ou égal à 1(n ≥ 1^–), sur la demi-droite ouverte ]0, ∞[ par les relations suivantes :
v_1(x) = g_1(x); pour tout entier n supérieur ou égal à 2, v_n(x) = g_n(x) − g_(n − 1)(x).
13. Il est admis que chaque fonction v_n, n ∈ ℕ^∗, est continûment dérivable ; démontrer que la série des fonctions dérivées, de terme général v_n^′(x), n ∈ ℕ^∗, est convergente pour tout x strictement positif puis uniformément convergente sur tout segment [a, b] contenu dans la demi-droite ouverte ]0, ∞[.
14. En déduire la limite de la suite des fonctions dérivées g_n^′.
15. Que vaut Γ^′(1) au moyen de la constante d'Euler γ ?

Seconde partie

Soit s un réel donné strictement positif ( s > 0 ).
Fonction L :
16. Étudier la convergence de la série de terme général w_n, n ∈ ℕ, défini par la relation suivante:
w_n = ((− 1)^n)/((2n + 1)^s)
Soit L la fonction définie sur la demi-droite ouverte ]0, ∞[ par la relation :
L(s) = ∑_(n = 0)^∞((− 1)^n)/((2n + 1)^s)
  1. Démontrer que la série entière de terme général
((− 1)^n)/(2n + 1)x^(2n + 1), n ∈ ℕ
est uniformément convergente sur le segment [0, 1]. Soit φ(x) la somme de cette série :
φ(x) = ∑_(n = 0)^∞((− 1)^n)/(2n + 1)x^(2n + 1)
Déterminer la fonction φ définie sur le segment [0, 1]. En déduire L(1).
18. Soit h_s la fonction définie sur la demi-droite ouverte ]0, ∞[, par la relation suivante :
h_s(x) = (lnx)/(x^s)
Étudier les variations de la fonction h_s sur son ensemble de définition. Soit x_s l'abscisse du maximum de cette fonction. Préciser les variations de la fonction s ⟼ x_s.
19. Démontrer que la fonction L est continûment dérivable sur la demi-droite ouverte ]0, ∞[. Exprimer la valeur prise en 1 par la fonction dérivée L^′, L^′(1), au moyen de la somme d'une série.
Expression du produit L(s) ⋅ Γ(s) :
20. Calculer, pour tout entier n strictement positif ( n ∈ ℕ^∗ ), au moyen d'une valeur prise par la fonction Γ, l'intégrale suivante :
I_n = ∫_0^∞e^(− nt)t^(s − 1)dt
  1. Démontrer la relation :
L(s) ⋅ Γ(s) = ∫_0^∞(e^(− t))/(1 + e^(− 2t))t^(s − 1)dt

Calcul de l'intégrale I :

Il est admis que la fonction s ⟼ L(s) ⋅ Γ(s) est continûment dérivable et que sa dérivée est donnée par la relation suivante :
d/(ds)(L(s) ⋅ Γ(s)) = ∫_0^∞(e^(− t)lnt)/(1 + e^(− 2t))t^(s − 1)dt
  1. Après avoir donné au réel s la valeur 1 , effectuer le changement de variable u = e^t dans l'intégrale. Effectuer un nouveau changement de variables pour obtenir l'intégrale I définie dans le préambule :
I = ∫_(π/4)^(π/2)ln(ln(tanx))dx
En déduire une expression de l'intégrale I à l'aide de la constante d'Euler et de la somme d'une série.
Remarque : un calcul de L^′(1) permet d'obtenir le résultat :
I = ∫_(π/4)^(π/2)ln(ln(tanx))dx = π/2ln(√(2π)(Γ(3/4))/(Γ(1/4)))

FIN DU PROBLÈME

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 1 Mines PC 2003 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 1 Mines PC 2003 ?

Le sujet porte sur la convexité, les intégrales généralisées, la dérivation sous le signe intégrale, la convergence uniforme des séries de fonctions et les séries entières, à travers l'introduction de la fonction Gamma.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées ?

Une affirmation fausse selon laquelle toute fonction convexe serait croissante, une confusion entre la convexité de T et celle de son logarithme, et une convergence uniforme sur [0,1] mal comprise.

Ce sujet de maths 1 Mines PC 2003 est-il difficile ?

Le rapport le juge globalement classique dans sa première partie, mais relève une diminution sensible des très bons candidats et des questions de fin de partie nettement plus délicates, notamment sur la convergence uniforme.

Suffit-il de traiter la première partie du sujet maths 1 Mines PC 2003 pour avoir une bonne note ?

Le rapport indique que la résolution convenable de la seule première partie suffisait à obtenir une bonne note, l'épreuve ne comportant que des difficultés classiques.

Pas de description pour le moment