Mines Mathématiques 1 PC 2004Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Fonctions génératrices de séries entières et calcul de la moyenne et de la variance en probabilités

Le problème met en évidence, par une méthode originale reposant sur les fonctions associées à des séries entières, une propriété et une méthode de calcul de la moyenne et de la variance bien connues en probabilités, sans toutefois s'y référer explicitement. Il étudie les propriétés des fonctions de F et des suites de S, une loi de composition sur S, une relation d'inclusion entre sous-ensembles et la positivité de la variance, avant de calculer moyenne et variance de suites usuelles.

1Propriétés des fonctions de F et des suites de SÉtudie la dérivabilité, la convexité et la continuité des fonctions associées aux suites de probabilité.
2Une loi de composition dans l'ensemble SDéfinit une loi de composition sur S et étudie le produit de composition itéré d'une suite avec elle-même.
3Relation d'inclusion et positivité de la varianceÉtudie une relation d'inclusion entre sous-ensembles de S et établit la positivité de la variance.
4Moyenne et variance de suites usuellesCalcule la moyenne et la variance de plusieurs suites usuelles à partir d'une expression approchée de la fonction associée.

Difficile. Le rapport indique que les réactions des candidats n'ont pas toujours été à la hauteur des espérances des correcteurs, plusieurs questions n'étant que rarement ou très rarement bien résolues.

Ce qu'a observé le jury

4 erreurs relevées

Produit de Cauchy mal maîtrisé · Formule de Taylor mal exploitée · Relation d'inclusion mal maîtrisée

Le problème permettait de mettre en œuvre diverses parties du programme d'analyse, en particulier sur les séries entières, mais sans référence explicite aux probabilités. Les réactions des candidats n'ont pas toujours été à la hauteur des espérances des correcteurs sur ces questions. Un bon nombre de questions de calcul ou indépendantes ont néanmoins permis un étalement satisfaisant des notes.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Produit de Cauchy mal maîtrisé6-7
La propriété du produit de Cauchy, nécessaire pour ces questions, est inconnue ou mal connue des candidats.
« Il s’agissait d’appliquer la propriété du produit de Cauchy, qui est inconnue ou mal connue des candidats »
2
Formule de Taylor mal exploitée17
Peu de candidats abordent correctement cette question, se contentant d'une formule de Taylor inadaptée ou utilisée sans précaution.
« Peu abordée ou traitée, on voit des tentatives infructueuses ou l’usage d’une formule de Taylor inadaptée ou sans précaution »
3
Relation d'inclusion mal maîtrisée13
Certains candidats concluent sur l'inverse de l'inclusion demandée, après des explications mal maîtrisées.
« On conclut parfois sur l’inverse de l’inclusion demandée, après des explications mal maîtrisées »
4
Cas particulier x=1 souvent oublié1
Le cas où x vaut 1 est la plupart du temps oublié ou mal traité, sauf dans les meilleures copies.
« Le cas x=1 est la plupart du temps oublié ou mal traité, sauf dans les meilleures copies »

Ce qui a été bien réussi

Un bon nombre de questions de calcul ou indépendantes ont permis un étalement satisfaisant des notes.
La question 3, de calcul, a été souvent abordée.
La question 9 a été en général bien réussie, sauf par ceux qui ignorent les séries géométriques ou exponentielles.

Conseils du jury

Bien connaître les propriétés fondamentales des séries entières : rayon de convergence, dérivabilité, produit de Cauchy.
Ne pas négliger les cas particuliers, comme les bornes d'un intervalle de convergence.
Justifier rigoureusement les affirmations plutôt que de considérer une propriété comme « claire ».

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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A 2004 Math PC 1

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2004

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES 1-Filière PC.
Cet énoncé comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Ce problème met en évidence par une méthode originale une propriété et une méthode de calcul de la moyenne et de la variance bien connues en Probabilités.

Soit

S

l'ensemble des suites réelles

U = (u_n)_(n \in ℕ)

dont tous les termes

u_n

sont positifs ou nuls et la somme égale à 1 :

S = {U|U = (u_n)_(n ∈ ℕ), ∀n, u_n ≥ 0, ∑_(n = 0)^∞u_n = 1}.

Soit

F

l'ensemble des fonctions réelles

f

qui sont des sommes de série entière de rayon de convergence

R

supérieur ou égal à 1 ; ces séries entières sont convergentes lorsque le réel

x

est égal à 1 et leur somme vaut 1 en ce point ; toutes les dérivées des fonctions

f

en 0 sont positives ou nulles :

F = {f|f(x) = ∑_(n = 0)^∞a_n x^n, ∑_(n = 0)^∞a_n = 1, R ≥ 1, ∀n, f^((n))(0) ≥ 0}.

À une suite

U = (u_n)_(n \in ℕ)

, appartenant à

S

, est associée la fonction

f

définie par la relation suivante :

f(x) = \sum_(n = 0)^\inftyu_n x^n.

Soit

j

l'application ainsi définie :

U ⟼ f = j(U)

; la fonction

j(U)

est notée

Uˆ

Propriétés des fonctions de $F$ et des suites de $S$ :

Démontrer que toute fonction $f$ , qui appartient à l'ensemble $F$ , est, sur l'intervalle ouvert $I = ] - 1, 1[$ , une fonction indéfiniment dérivable, croissante sur le segment $[0, 1]$ et convexe sur l'intervalle semi-ouvert $[0, 1[$ .
Démontrer que toute fonction $f$ , qui appartient à l'ensemble $F$ , est continue à gauche en 1 .

Exemples : soient

G, E^q

V

les trois suites définies par les relations suivantes :

$G$ est la suite géométrique de terme général $g_n = 1/2^(n + 1)$ :

G = (1/(2^(n + 1)))_(n \in ℕ).

Étant donné un entier naturel $q, E^q$ est la suite dont tous les termes sont nuls sauf le terme de rang $q$ égal à 1 :

E^q = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots).

$V = (v_n)_(n \in ℕ)$ est la suite de réels définie par les relations suivantes :

v_0 = 1/2; pour n \geq 1, v_n = a/(n^2) avec a = (2\sum_(n = 1)^\infty1/(n^2))^(- 1).

Montrer que les suites $G, E^q$ et $V$ sont dans $S$ . Déterminer les images $Gˆ = j(G), E^q ˆ = j(E^q)$ des suites $G$ et $E^q$ ; calculer la dérivée $Vˆ^'$ de la fonction $Vˆ = j(V)$ image de la suite $V$ ; puis donner l'expression de $Vˆ(x)$ à l'aide d'une intégrale.
Soit $f$ une fonction appartenant à l'ensemble $F$ .

Démontrer que, si la fonction

f

est nulle en

0(f(0) = 0)

, la fonction

f

est, soit égale à

x

sur le segment

[0, 1]

, soit strictement majorée par

x

sur l'intervalle ouvert

]0, 1[(0 < x < 1 ⟹ f(x) < x)

Démontrer que, si la fonction

f

est strictement positive en

0(f(0) > 0)

, l'équation

f(x) = x

a, dans l'intervalle ouvert

]0, 1[

, au plus une solution.
5. Démontrer que, pour toute suite

U

appartenant à l'ensemble

S

, la fonction

j(U)

appartient à l'ensemble

F

. Démontrer que l'application

j

est une application bijective de l'ensemble

S

sur l'ensemble

F

Une loi de composition dans l'ensemble $S$ :

Étant données deux suites

U = (u_n)_(n \in ℕ)

V = (v_n)_(n \in ℕ)

appartenant à l'ensemble

S

, soit

U*V

la suite, dont les termes

w_n, n \in ℕ

, sont définis par la relation suivante :

w_n = \sum_(p = 0)^n u_p v_(n - p).

Démontrer que la suite $U*V = (w_n)_(n \in ℕ)$ ainsi définie appartient à l'ensemble $S$ .
Démontrer qu'étant données deux suites $U$ et $V$ de $S$ , à la composée $U*V$ de ces suites correspond par l'application $j$ le produit des fonctions $j(U)$ et $j(V)$ :

j(U*V) = j(U)j(V) ou U*Vˆ = Uˆ \cdot Vˆ

Démontrer que la loi de composition $*$ définie ci-dessus est associative, a un élément neutre et est commutative.

Étant donnés un réel

p

, strictement compris entre 0 et

1(0 < p < 1)

et un réel

λ

strictement positif, soient

B^p, Γ^p

Π^λ

les suites définies de la manière suivante:

$B^p$ est la suite dont tous les termes $β_n^p, n \in ℕ$ , sont nuls sauf les deux premiers : $β_0^p = 1 - p$ et $β_1^p = p :$

B^p = (1 - p, p, 0, 0, \dots)

$Γ^p$ est la suite de terme général $γ_n^p = (1 - p)p^n, n \in ℕ$ :

Γ^p = ((1 - p)p^n)_(n \in ℕ)

$Π^λ$ est la suite de terme général $π_n^λ = (λ^n)/(n!)e^(- λ), n \in ℕ$ :

Π^λ = ((λ^n)/(n!)e^(- λ))_(n \in ℕ)

Produit de composition $*$ de chacune de ces suites $q$ fois avec elle-même :

Démontrer que les trois suites $B^p, Γ^p$ et $Π^λ$ appartiennent à l'ensemble $S$ . Déterminer leurs images $B^p ˆ, Γ^p ˆ$ et $Π^λ ˆ$ par l'application $j$ .
Étant donné un entier naturel $q$ strictement positif, déterminer les suites $B^(p*q), Γ^(p*q)$ et $Π^(λ*q)$ obtenues respectivement à partir des suites $B^p, Γ^p$ et $Π^λ$ par composition $q$ fois avec elle-même. Préciser les termes de ces suites notés respectivement $β_n^(p*q), γ_n^(p*q)$ et $π_n^(λ*q), n \in ℕ$ .

Pour un réel $λ$ donné, limite de la suite $B^(λ/q*q)$ lorsque l'entier $q$ croît vers l'infini.

Le réel strictement positif $λ$ est donné ; lorsque l'entier $q$ est suffisamment grand, le rapport $λ/q$ est un réel strictement compris entre 0 et 1 .

Déterminer, pour tout entier

n

fixé, la limite du terme

β_n^(λ/q*q) de rang n de la suite B^(λ/q*q)

lorsque l'entier

q

croît vers l'infini. Exprimer cette limite à l'aide du terme

π_n^λ

de rang

n

de la suite

Π^λ

Suite d'éléments de $S$ :

Soit une suite $(U^q)_(q \in ℕ)$ d'éléments de l'ensemble $S$ . Soit $u_n^q$ le terme de rang $n$ de la suite $U^q$ :

U^q = (u_n^q)_(n \in ℕ)

Cette suite d'éléments de

S

est supposée telle que chacune des suites des termes de rang

n(u_n^q)_(q \in ℕ)

est, lorsque l'entier

q

croît vers l'infini, une suite convergente de limite

v_n

Démontrer que la série de terme général

v_n, n \in ℕ

, est une série de terme général positif ou nul, convergente, de somme inférieure ou égale à 1 :

\sum_(n = 0)^\inftyv_n \leq 1

Donner un exemple de suite

(U^q)_(q \in ℕ)

d'éléments de l'ensemble

S

telle que chacune des suites

(u_n^q)_(q \in ℕ)

définie par les termes de rang

n

soit convergente et de limite

v_n

nulle.

Étant donné un réel

r

strictement positif

(r > 0)

, soit

S_r

le sous-ensemble des éléments

U = (u_n)_(n \in ℕ)

de l'ensemble

S

tels que la série de terme général

u_n n^r, n \in ℕ

, soit convergente.

S_r = {U|U ∈ S, U = (u_n)_(n ∈ ℕ), ∑_(n = 1)^∞u_n n^r < ∞}

Relation d'inclusion entre les sous-ensembles $S_r$ :

Étant donnés deux réels $r$ et $s$ strictement positifs $(r > 0, s > 0)$ , démontrer que, si les réels $r$ et $s$ sont distincts l'un de l'autre ( $r \neq s$ ), l'un des deux sous-ensembles $S_r$ et $S_s$ est contenu dans l'autre.

À une suite

U = (u_n)_(n \in ℕ)

appartenant à l'ensemble

S_1

, est associé le réel

M(U)

, appelé moyenne de

U

, défini par la relation suivante :

M(U) = \sum_(n = 1)^\inftynu_n

À une suite

U = (u_n)_(n \in ℕ)

appartenant à l'ensemble

S_2

, est associé le réel

V(U)

, appelé variance de

U

, défini par la relation suivante :

V(U) = \sum_(n = 1)^\inftyn^2 u_n - M(U)^2

Dans toute la suite du problème l'élément

U

S

appartient au sous-ensemble

S_2

Positivité de la variance :

Un résultat préliminaire : soient $N$ un entier strictement positif et $A = (a_i)_(1 \leq i \leq N)$ une suite de $N$ réels strictement positifs ( $1 \leq i \leq N, a_i > 0$ ). Démontrer que l'application $φ$ qui, à deux vecteurs de $ℝ^N, X = (x_i)_(1 \leq i \leq N)$ et $Y = (y_i)_(1 \leq i \leq N)$ associe le réel

φ(X, Y) = \sum_(i = 1)^N a_i x_i y_i

est un produit scalaire dans

ℝ^N

.
15. Pour tout élément

U

S_2

, démontrer l'existence des deux grandeurs

M(U)

V(U)

. Démontrer que la variance

V(U)

est positive ou nulle :

V(U) \geq 0.

Indication : comparer, pour tout entier

N

, les deux expressions suivantes :

(\sum_(n = 1)^N nu_n)^2 et (\sum_(n = 1)^N u_n) \cdot (\sum_(n = 1)^N n^2 u_n).

Une expression approchée de la fonction $Uˆ$ à l'aide de la moyenne et de la variance :

Démontrer que les dérivées première $Uˆ^'$ et seconde $Uˆ^'$ de $Uˆ$ admettent une limite lorsque le réel $x$ tend vers 1 par valeurs inférieures. Déterminer ces deux limites, notées $Uˆ^'(1)$ et $Uˆ^'(1)$ , en fonction de $M(U)$ et $V(U)$ .
Soit $x ⟼ ε(x)$ la fonction définie sur l'intervalle ouvert ]-1, 1 [ par la relation suivante :

ε(x) = Uˆ^'(1) - Uˆ^'(x)

Démontrer, pour tout réel

x

compris strictement entre 0 et 1 , l'inégalité suivante :

|Uˆ(x) - 1 - M(U)(x - 1) - 1/2(V(U) + M(U)^2 - M(U))(x - 1)^2| \leq 1/2(x - 1)^2 ε(x).

Moyenne et variance des trois suites $B^p, Γ^p$ et $Π^λ$ :

Démontrer, lorsque $p$ est un réel strictement compris entre 0 et 1 et $λ$ un réel strictement positif, que les trois suites $B^p, Γ^p$ et $Π^λ$ définies ci-dessus, appartiennent à l'ensemble $S_2$ .
Calculer pour chacune de ces suites $B^p, Γ^p$ et $Π^λ$ la moyenne et la variance. C'est-à-dire les six grandeurs :

M(B^p), V(B^p), M(Γ^p), V(Γ^p), M(Π^λ), V(Π^λ).

FIN DU PROBLÈME

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Mathématiques 1 Mines PC 2004 ?

Le sujet porte sur les séries entières, le rayon de convergence, le produit de Cauchy, la convergence uniforme et normale, et le calcul de moyenne et de variance.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur Mathématiques 1 Mines PC 2004 ?

Un produit de Cauchy mal maîtrisé, une formule de Taylor mal exploitée, une relation d'inclusion mal maîtrisée, et un oubli fréquent du cas particulier x=1.

Le sujet Mathématiques 1 Mines PC 2004 est-il difficile ?

Le rapport indique que les réactions des candidats n'ont pas toujours été à la hauteur des espérances des correcteurs, plusieurs questions étant rarement bien résolues.

Le sujet Mathématiques 1 Mines PC 2004 porte-t-il sur les probabilités ?

Le problème utilise des méthodes utiles en probabilités (calcul de moyenne et de variance) mais sans jamais s'y référer explicitement, ce qui a dérouté certains candidats.

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Ce qu'a observé le jury

Les erreurs les plus sanctionnées

Ce qui a été bien réussi

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A 2004 Math PC 1

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PC (Durée de l'épreuve : 3 heures) (L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Propriétés des fonctions de F et des suites de S :

Une loi de composition dans l'ensemble S :

Produit de composition ∗ de chacune de ces suites q fois avec elle-même :

Pour un réel λ donné, limite de la suite B^(λ/q∗q) lorsque l'entier q croît vers l'infini.

Suite d'éléments de S :

Relation d'inclusion entre les sous-ensembles S_r :

Positivité de la variance :

Une expression approchée de la fonction Uˆ à l'aide de la moyenne et de la variance :

Moyenne et variance des trois suites B^p, Γ^p et Π^λ :

FIN DU PROBLÈME

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet Mathématiques 1 Mines PC 2004 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur Mathématiques 1 Mines PC 2004 ?

Le sujet Mathématiques 1 Mines PC 2004 est-il difficile ?

Le sujet Mathématiques 1 Mines PC 2004 porte-t-il sur les probabilités ?

Commentaires• Mines Mathématiques 1 PC 2004

Commentaires• Mines Mathématiques 1 PC 2004

Propriétés des fonctions de $F$ et des suites de $S$ :

Une loi de composition dans l'ensemble $S$ :

Produit de composition $*$ de chacune de ces suites $q$ fois avec elle-même :

Pour un réel $λ$ donné, limite de la suite $B^(λ/q*q)$ lorsque l'entier $q$ croît vers l'infini.

Suite d'éléments de $S$ :

Relation d'inclusion entre les sous-ensembles $S_r$ :

Une expression approchée de la fonction $Uˆ$ à l'aide de la moyenne et de la variance :

Moyenne et variance des trois suites $B^p, Γ^p$ et $Π^λ$ :