Mines Physique 2 PC 2004Sujet et rapport du jury

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures.
Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui semblera pertinent, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

Notations : un vecteur est noté en gras (A) ; le vecteur unitaire pour la coordonnée α est noté u_α.

Nous nous proposons d'examiner quelques implications d'un indice négatif, phénomène dont on a spéculé l’existence dès 1964 et revendiqué l’observation en 2001, dans des matériaux composites réfractant la lumière dans la direction opposée à celle qui est dictée par les lois ordinaires de l'optique (Fig. 1)! La même année, une réfutation détaillée des théories et des expériences de quarante ans de travaux était publiée. Cette

réfutation n'a pas été, à ce jour, contredite. Seule la dernière question de ce problème évoque rapidement un élément de réfutation, l'argument principal étant (a posteriori) simple, mais nettement hors programmes. Les deux premières parties, assez proches du cours, concernent la propagation des ondes planes dans un matériau homogène et le passage de la lumière du vide dans un milieu homogène. Un paradoxe énergétique apparaîtra, qui sera levé dans les deux dernières parties.

L'espace étant repéré par le trièdre orthonormé Oxyz , on étudie la propagation d'une onde électromagnétique monochromatique plane dans un milieu isolant, neutre, linéaire et homogène de permittivité diélectrique ε = ε_0 ε_r et de perméabilité magnétique μ = μ_0 μ_r, l'une et l'autre positives. En notation complexe standard, le champ électrique de cette onde, polarisée selon la direction de vecteur unitaire u_y s'écrit E_– = E_0 u_y expj(ωt − kz), ce qui définit le vecteur de propagation k = ku_z et l'amplitude vectorielle, E_0, de ce champ; E_0 est réel.

Quelques relations d'électromagnétisme et d'analyse vectorielle sont indiquées dans l'annexe, en fin de problème.
θ1 - Déduire des équations de Maxwell l'expression du champ B_– de cette onde et celle de la valeur moyenne temporelle de son vecteur de Poynting, ⟨s⟩_t. Préciser l'orientation de ces deux vecteurs. Interpréter physiquement le vecteur de Poynting et comparer sa direction et son sens à ceux du vecteur de propagation k.
θ2 - L'indice de réfraction d'une onde dans un milieu, noté n, est généralement défini comme le quotient de la vitesse de cette onde dans le vide, c, par la vitesse de la lumière dans ce milieu, v.Établir l'équation de propagation du champ électromagnétique (équation de d'Alembert) et en déduire l'expression de n = c/v en fonction de ε_r et de μ_r. Cet indice est, à l'évidence, une quantité positive.
θ3 - Supposons maintenant que, par un artifice quelconque, on ait pu obtenir simultanément ε < 0 et μ < 0. Reprendre l'étude des questions [1] et [2]. Comment définir, dans ces conditions, le sens de propagation de l'onde (selon k ou selon le vecteur de Poynting S ) ?

Considérons les lois de Descartes de la réfraction, en prêtant attention à l'orientation des angles. Le plan d'équation z = 0 sépare l'espace en deux régions; la région z < 0 contient de l'air, dont les propriétés électromagnétiques sont celles du vide, la région z > 0 contient un isolant, linéaire, isotrope et, pour le moment, «ordinaire»: ε > 0 et μ > 0.
L'onde incidente, provenant de la région z < 0, est monochromatique plane, de fréquence angulaire ω; son vecteur d'onde, noté k_0 et situé dans le plan xOz, fait un angle θ > 0 avec la verticale (Fig. 2). Le champ électrique de cette onde est noté E_–_i; la notation

précise la structure du champ et les notations : seule la composante A_(iy) de l'amplitude A_i n'est pas nulle ; le vecteur d'onde incident est k_0 = − k_0 sin(θ)u_x + k_0 cos(θ)u_z.
θ4 - Quelle relation géométrique doit-on avoir entre k_0 et A_i ?
θ5 - L'onde incidente engendre d'une part une onde réfléchie, de champ électrique E_r, d'amplitude A_r de vecteur d'onde k_r = k_(rx)u_x + k_(ry)u_y + k_(rz)u_z et de fréquence angulaire ω_r, d'autre part une onde transmise de champ électrique E_t, d'amplitude A_t de vecteur d'onde k_t = k_(tx)u_x + k_(ty)u_y + k_(tz)u_z et de fréquence angulaire ω_t. En considérant, pour toute valeur de x et de y, et à chaque instant, les relations de continuité en z = 0 des composantes appropriées des champs électriques (on pourra éventuellement se référer à l'annexe), établir que tous les champs ont la même fréquence angulaire ω; établir aussi les relations

θ6 - Montrer que l'on retrouve ainsi les lois de Descartes pour la réfraction et la réflexion.
θ7 - On considère maintenant le cas où ε < 0 et μ < 0, tel qu'envisagé à la question [3]. Si un milieu doté de ces deux propriétés existe, on dira que ce milieu est négatif. On convient que, dans la région z > 0, la direction de propagation de l'onde transmise est dans le sens des z croissant. Exprimer alors le vecteur k_t. On illustrera ce résultat par un schéma, en imposant θ > 0, c'est-à-dire k_(0x) < 0 et k_(0z) > 0. On représentera les vecteurs d'onde des ondes incidente et transmise, et l'on indiquera leurs directions respectives de propagation par des vecteurs unitaires s_i et s_t. Peut-on dire, au sens de la question [2], c'est-à-dire en termes de rapport de vitesses, que l'indice du milieu est négatif ?
θ8 - On définit maintenant l'indice de réfraction par n = (sin(θ))/(sin(θ^(′′))), θ et θ^′ se référant à la direction de propagation de l'énergie. Quel est, en ce sens, le signe de n ?
θ9 - Et voici qu'une difficulté surgit : quel serait le signe de la densité volumique d'énergie dans un tel milieu, si on la calculait en appliquant la formule classique de l'électromagnétisme ? Qu'impliquerait ce résultat, sachant que l'évolution spontanée d'un système se fait toujours vers une diminution de son énergie?

Il est donc nécessaire, si les milieux négatifs existent, de considérer avec soin la notion de densité volumique moyenne d'énergie dans un diélectrique. Les parties suivantes esquissent une approche simplifiée de ce problème délicat.

Un diélectrique linéaire isotrope homogène et de perméabilité

magnétique μ_0 est considéré ici comme une assemblée de N électrons par unité de volume, répartis uniformément dans l'espace ( N est constant). On note M_(éq) la position d'équilibre d'un électron représentatif en l'absence de champ électrique et M la position de cet électron dans le cas général ; cela définit le vecteur r, représenté sur la figure ci-contre. Les électrons sont reliés élastiquement à leurs positions d'équilibre respectives par la force de rappel f = − Ar, où A est une constante positive. Leur pulsation propre est donc
ω_0 = √(A/m), où m est la masse électronique. Une autre pulsation caractéristique, la pulsation de plasma, ω_p, est définie par ω_p^2 = (Nq^2)/(mε_0), où ε_0 la permittivité diélectrique du vide et q la charge électronique ( q = − e = − 1, 6 × 10^(− 19)C ).

On suppose qu'existe dans un tel milieu un champ électrostatique uniforme, E_0. On note r_(E_0) le déplacement permanent des électrons sous l'action de ce champ et e_0 = 1/2ε_0‖E_0‖^2.
θ10 - Exprimer la densité volumique d'énergie potentielle u_(pot) = u_(pot)(A, N, ‖r_(E_0)‖); interpréter cette densité d'énergie en termes de travail électrique. On convient que la densité volumique totale d'énergie électrique, notée u_e, est ici la somme de u_(pot) et de la densité volumique de l'énergie du champ électrostatique. Établir alors la relation u_e = ε_r e_0, avec ε_r = 1 + χ_s, où χ_s = (ω_p^2)/(ω_0^2) désigne la susceptibilité électrique statique du milieu.

Une onde électromagnétique plane transverse monochromatique de pulsation ω et de vecteur d'onde k = ku_z se propage maintenant dans le milieu. Le champ électrique de cette onde est noté E(t, z) = E_0 cos(ωt − kz). La phase étant définie par φ = ωt − kz, on pose, en notation complexe, E_– = E_0 exp(jφ). La longueur d'onde est très grande devant le déplacement ‖r‖ des électrons sous l'action du champ. On néglige l'absorption du milieu diélectrique à la pulsation ω.
θ11 - Estimer la vitesse des électrons correspondant à la densité de courant j = 10 A.mm^(− 2) dans un métal (il faudra se donner ou trouver une estimation de la concentration électronique N dans un tel milieu). Justifier que la force magnétique (force de Laplace) est négligeable. Exprimer, en notation complexe, les réponses forcées en position( r_– ) et en vitesse ( v_– ), à la force électrique. Donner les expressions des vecteurs réels r(t, z) et v(t, z).
θ12 - Établir que la densité volumique d'énergie potentielle u_(pot), associée aux oscillations des électrons décrites par r(t, z), peut s'écrire u_(pot)(ω) = e_0 × g(ω, ω_0, ω_p) × cos^2(φ), où g est une fonction dont on donnera l'expression. Exprimer g en fonction de χ_s et x = ω/(ω_0).
θ13 - Établir que la densité volumique d'énergie cinétique u_(cin), associée à la vitesse v(t, z), peut s'écrire sous la forme u_(cin)(ω) = e_0 × (ω^2)/(ω_0^2) × g(ω, ω_0, ω_p) × sin^2(φ).
θ14 - Déterminer la puissance volumique cédée par l'onde au milieu. En déduire que la densité volumique de travail reçu par les électrons, w(ω), s'écrit (sous l'hypothèse que
w(ω) = 0 lorsque E_0 cos(φ) = 0, c'est-à-dire lorsque φ = π/2) : w(ω) = e_0(ω_p^2)/(ω_0^2 − ω^2)cos^2(φ). Une écriture équivalente de ce résultat est w(ω) = e_0(χ_s)/(1 − χ^2)cos^2(φ).
θ15 - Contrairement à la situation correspondant à une excitation statique du milieu, le travail volumique des forces électriques w(ω) et la densité d'énergie potentielle u_(pot)(ω) ne sont maintenant plus identiques. Définissant u_(pot)^((1))(ω) par u_(pot)(ω) = u_(pot)^((1))(ω) + w(ω), montrer que la somme u_m = u_(cin)(ω) + u_(pot)^((1))(ω) est interprétable comme une densité uniforme d'énergie mécanique «immobile», c'est-à-dire non propagative.
θ16 - En s'inspirant notamment de la question 10 et compte-tenu des résultats de la question 14 , définir une densité totale d'énergie électrique par u_e = 1/2ε_0 ε_r(ω)‖E‖^2_()_(= E_0^2 cos^2(φ)), avec ε_r(ω) = 1 + χ_e(ω), introduisant ainsi la permittivité diélectrique relative, ε_r et la susceptibilité électrique dynamique, χ_s, du milieu. Montrer que χ_e(ω) = (ω_0^2)/(ω_0^2 − ω^2)χ_s.
θ17 - Justifier que, en notation complexe, la relation de Maxwell-Ampère dans le milieu diélectrique considéré s'écrive k ∧ B_– = ω/(c^2)((Nqr_–_–)/(ε_0) − E_–), où c = 1/(√(ε_0 μ_0)) est la vitesse du rayonnement électromagnétique dans le vide. Déterminer la relation de dispersion du milieu sous la forme k^2 = F(ω^2).
θ18 - Tracer sommairement la courbe représentative de la relation k^2 = F(ω^2) et en déduire celle de la relation ω(k) pour k > 0 et ω > 0. On introduira la pulsation longitudinale ω_L = √(ω_0^2 + ω_p^2)(x_L^2 = 1 + χ_s). Quel est le comportement du milieu pour ω_0 ≤ ω ≤ ω_L ?
θ19 - Établir que la vitesse de phase v_φ est v_φ = c/([ε_r(ω)]^(1/2)). Établir, entre v_φ et la vitesse de groupe v_g, la relation v_φ = (1 + 1/2ω/(1 + χ_e)(dχ_e)/(dω))v_g = ((1 + g)/(1 + χ_e))v_g(χ_e est défini à la question 16). En déduire l'inégalité v_φ ≥ v_g.
θ20 - Montrer que la densité d'énergie magnétique u_b et la densité d'énergie électrique u_e sont égales. Exprimer, en fonction de e_0 et de χ_e, la moyenne temporelle de la densité d'énergie électromagnétique u_(em) = u_e + u_b.
θ21 - Exprimer le vecteur de Poynting S en fonction de c, kω, ε_0, E_0, φ et du vecteur unitaire u_k de la direction k. Exprimer la moyenne temporelle de ⟨S⟩_t en fonction de e_0 et de ε_r. Exprimer la moyenne temporelle de la densité totale d'énergie, u_t = u_(em) + u_m en fonction de e_0 et de g(ω, ω_0, ω_p).
θ22 - Vérifier la relation (⟨u_t⟩)/(⟨u_(em)⟩) = (v_φ)/(v_g). À quelle vitesse se propage ⟨u_t⟩ ? À quelle vitesse se propage u_(em) ?
θ23 - Proposer une interprétation des résultats obtenus dans cette partie, en remarquant que seule une partie de u_t se propage véritablement.

Le vecteur excitation électrique D(t) est défini par D(t) = ε_0 E(t) + P(t), où P(t) désigne le vecteur polarisation. Dans un milieu linéaire et isotrope, P(t) = ε_0∫_0^∞h(u)E(t − u)du, où h, dite réponse percussionnelle, est une fonction réelle du temps, déterminée par les propriétés du milieu. Cette relation montre que la polarisation à l'instant t est due au champ électrique à tous les instants antérieurs à l'instant t considéré (c'est une expression de la causalité).
θ24 - Quelle est la dimension de la fonction h ? Établir que, pour le champ électrique sinusoïdal E_–_ω(t) = E_0(ω)exp(− jωt) et pour un milieu linéaire et isotrope caractérisé par sa réponse percussionnelle h, on peut écrire ^1 D_–_0(ω) = ε(ω)E_0(ω) = ε_0[1 + χ_e(ω)]_()_(= ε_r(ω))E_0(ω) : exprimer la permittivité complexe χ_e(ω) en fonction d'une intégrale faisant intervenir h.
θ25 - On donne h(u) = (ω_p^2)/(v_0)exp(− (γu)/2)sin(v_0 u). Les paramètres ω_p, γ et v_0 ont tous la dimension de l'inverse d'un temps. Tracer l'allure de h(u). Calculer ε_r(ω); l'intégration est facilitée si l'on pose sin(v_0 u) = (exp(jv_0 u) − exp(− jv_0 u))/(2j). On trouvera pour ε_r(ω) une forme familière, en fonction de ω_p, γ et ω_0^2 = v_0^2 + (γ^2)/4.

Le champ électrique d'une onde électromagnétique plane monochromatique de pulsation ω_0 s'écrit, en notant g∗ le complexe conjugué d'une grandeur g, vectorielle ou scalaire :

En termes de la permittivité complexe ε(ω) = ε^′(ω) + jε^(′′)(ω),

L'identité div(S) = div(E ∧ H) = − (E ⋅ (∂D)/(∂t) + H ⋅ (∂B)/(∂t)), déduite des équations de Maxwell, pour un milieu dénué de courants libres, fait intervenir la quantité w_e(t) = E ⋅ (∂D)/(∂t), densité volumique de puissance dissipée dans ce milieu diélectrique.

θ26 - Montrer que la moyenne temporelle de w_e(t) sur une période T_0 est
⟨w_e⟩_(T_0) = 1/2ω_0 ε^(′′)(ω_0)‖E_0^2‖.

Un champ vectoriel réel quelconque, V(t), est noté ℜ[V_–(t)] : V(t) = 1/2[V_–(t) + V_–^∗(t)]. Les composantes de Fourier de V_–(t), dites encore composantes spectrales sont définies par la relation, que l'on admettra, V_–(t) = ∫_(− ∞)^∞V_0_–(ω)exp(− jωt)dω : c'est l'analyse de Fourier vectorielle de V_–(t).

On nomme onde quasi-monochromatique de pulsation fondamentale ω_0, et l'on note X_–(t), le produit par exp(− jω_0 t) d'une fonction vectorielle complexe X_–_0(t) lentement variable à l'échelle de la période T_0 = (2π)/(ω_0). La fonction vectorielle X_–_0(t) se nomme enveloppe (voir un exemple en annexe). On a donc

Par analyse de Fourier de X_–(t), on a aussi X_–_0(t) = ∫_(− ∞)^∞X_–_0(ω)exp[j(ω_0 − ω)t]dω.
θ27 - On considère le champ électrique E_–(t) = E_–_0(t)exp(− jω_0 t) d'une onde électromagnétique quasi-monochromatique de pulsation fondamentale ω_0. Montrer que la moyenne temporelle de E^2(t) sur une période T_0 est ⟨E^2⟩_(T_0) = 1/2⟨E_0_– ⋅ E_0^∗_–⟩_(T_0) = 1/2E_0^2(t).
θ28 - L'hypothèse d'enveloppe lentement variable entraîne la relation, que l'on admettra ^1,

Démontrer alors que, dans un milieu non absorbant, ⟨E ⋅ (∂D)/(∂t)⟩_(T_0) = 1/2(d[ωε(ω)])/(dω)(∂⟨E^2⟩_(T_0))/(∂t).
θ29 - Une théorie de la propagation dans un milieu dispersif de perméabilité magnétique μ(ω) montre que la moyenne temporelle de la densité d'énergie électromagnétique est

Il n'est plus nécessaire dès lors d'avoir ε > 0, il suffit que (d[ωε(ω)])/(dω) > 0. Montrer, en utilisant un résultat de la question 20 , que les champs monochromatiques E_–(t) = E_0 exp(− jω_0 t) et H_–(t) = H_0 exp(− jω_0 t) vérifient cette théorie dans le milieu diélectrique négatif de per-

méabilité magnétique μ = μ_0 de la troisième partie, c'est-à-dire, en d'autres termes, que, si ε_r(ω) = 1 + (ω_p^2)/(ω_0^2 − ω^2), on a bien ⟨u_t⟩ = e_0(1 + g), où l'expression de g a été établie à la question 12.

La théorie et la mise en évidence des matériaux d'indice négatif ont été réfutées en 2001, après une quarantaine d'année d'efforts soutenus sur le sujet. Voici un élément de réfutation tel que proposé par Valanju :

Le matériau négatif est à droite. Supposons que BA représente un front d'onde de signal (et pas de phase), perpendiculaire aux rayons (B est situé sur l'interface) et supposons que le signal continue de se propager de la gauche vers la droite ; cela signifierait que le point A passe instantanément en C sur l'interface puis en D.
θ30 - Quelles sont les implications de cette affirmation?

A) Un exemple d'enveloppe lentement variable

Le trait plein représente la fonction

Les pointillés représentent l'enveloppe

La composante de Fourier de E_σ(t), soit

est représentée ci-contre et en trait plein, pour ω > 0; la figure en pointillés représente ωE_σ(ω).
B) Équations de Maxwell

C) Relations de continuité

D) Ondes planes

Si X = X_0 exp[j(k ⋅ r − ωt)], div(X) = jk ⋅ X, rot(X) = jk ∧ X et (∂X)/(∂t) = − jωX.