Mines Physique 2 PC 2003Sujet, corrigé et rapport du jury

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURS DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLECOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)

• Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera pertinent, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.
• Convention typographique : un vecteur est noté en gras, par exemple A, sa norme en italique (A = ‖A‖); le vecteur unitaire pour la coordonnée α est noté u_α.

PRODUCTION ET STOCKAGE D'HOLOGRAMMES

Partie I: Hologrammes minces

Fig. 1 Enregistrement d'un hologramme mince

Fig. 2 Lecture en transmission d'un hologramme minct

• 3 - Après développement, la plaque est replacée dans la position qu’elle avait lors de l'impression (Fig. 2) puis éclairée par une onde de lecture identique à l'onde de référence. Montrer que l'amplitude de l'onde transmise par la plaque holographique se compose de trois termes dont l'un est, à un coefficient multiplicatif près, identique à l'onde issue de l'objet. On présentera chacun de ces termes sous la forme A_n exp[i(ωt − φ_n)], en explicitant A_n et φ_n, avec n ∈ {, 2, 3}.
• 4 - L'onde obtenue en transmission résulte de la diffraction de l'onde de lecture par l'hologramme. Il est possible ainsi de reconstituer l’onde issue d'un objet éclairé par une
  lumière cohérente. On suppose dans tout le problème que l'objet dont on forme l'hologramme est ponctuel et situé à l'infini sur l'axe Oz ; il génère alors une onde plane de vecteur d'onde k_(obj) = k_(réf)u_z, en phase avec l'onde de référence au point O . La phase de cette onde plane est maintenant explicite : Ψ(x, y, z) = k_(obj).OM. Établir dans ces conditions l'expression approchée suivante de l'intensité :

• 9 - Déterminer dans l'approximation des petits angles les demi-largeurs angulaires des pics principaux de diffraction par rapport aux axes x et y. Calculer, en fonction de m et de γ, les valeurs relatives des maxima principaux d'intensité diffractée pour les composantes dépendant de m par rapport au maximum de l'intensité diffractée par la composante qui n'en dépend pas.
  ◻10 - À quelle condition sur φ, λ_(réf) et a la distance angulaire entre les pics principaux de diffraction est-elle grande devant leurs largeurs angulaires ? Déterminer dans ce cas l'expression approchée de l'intensité diffractée. Représenter, pour β_d = 0, son allure en fonction de α_d.
  ◻11 - Déterminer, pour θ = φ, la composante de l'amplitude diffractée qui permet de reconstituer l'image de l'objet. Quelle est l'influence d'une variation de θ sur la direction
  de reconstitution de cette image ?
  12 - Pour que la reconstitution soit acceptable, il faut que l'intensité associée à la composante indépendante de m dans la direction de reconstitution de l'image soit inférieure à une certaine fraction de l'intensité maximale associée à l'image. En déduire l'ordre de grandeur de la valeur minimale à donner à l'angle φ (on majorera |sincx| par 1/x). Application numérique : γm = 10^(− 3), f = 10^(− 1), a = 1 cm.
  ◻13 - La plaque photographique est remplacée à partir de maintenant et dans toutes les questions qui suivent par une couche transparente de mêmes dimensions, orientée de manière identique et d'épaisseur e suffisamment faible pour qu'elle puisse être considérée comme une surface diffractante coï ncidant avec le plan Oxy. Cette plaque est photosensible : la valeur en tout point M de son indice de réfraction n reproduit celle de l'intensité incidente I(M) selon la loi n(M) = n_0 + αI(M). L'hologramme est ainsi obtenu sous la forme de réseau d'indice. Les angles avec l'axe Oz restent quasiment nuls. Exprimer pour tout point M la différence de chemin optique δ(M) entre un rayon traversant la couche photosensible sous incidence quasi-normale et un rayon se propageant dans le vide.
  ◻14 - On note t_–(M) = exp(− 2iπδ(M)/λ_(réf)) la transparence de l'homogramme associée à δ(M). Montrer que si le terme (α_I(M)k)/(λ_(réf)) est suffisamment petit, cette transparence peut s'écrire sous la forme t_–(M) = t_–_0[1 + C_–I(M)], où t_–_0 et C_– sont des constantes complexes, dont on donnera les expressions. En déduire que les caractéristiques géométriques de la figure de diffraction lors de la lecture sont identiques à celles obtenues avec une plaque photographique.
  15 - On enregistre successivement deux hologrammes. Les ondes de références sont de même intensité et de même longueur d'onde λ_(réf) leurs directions respectives sont caractérisées par les angles φ_1 et φ_2. Les objets restent ponctuels et situés sur l'axe Oz , les amplitudes des ondes objet sont A_1 et A_2(|A_1|, |A_2|≪|A_(réf)|). Avec des notations analogues à celles de la relation [1], les intensités lors des enregistrements sont :

Partie II : Stockage d'hologrammes

• 20 - Exprimer le champ de température et l'amplitude de la modulation spatiale d'indice n(t) pour t > Δt.
  ◻21 - Application numérique: μc = 1, 9 × 10^3 kJ ⋅ m^(− 3) ⋅ K^(− 1), λ_c = 0, 17 W ⋅ m^(− 1) ⋅ K^(− 1), m = 1, 2ð/k = 3μ m, t = 10 ns, (dn/dT) = − 3, 6 ⋅ 10^(− 4) K^(− 1), épaisseur: l_0 = 3 mm. L'intensité lumineuse est confinée dans un cylindre d'axe Ox de section S = 0, 8 mm^2 et de longueur l_0. L'énergie absorbée durant l'illumination est E_0 = E_0 = 5, 7 × 10^(− 5) J. Déterminer le temps caractéristique τ_0 et la puissance moyenne absorbée par unité de volume αI_0. Simplifier l'expression de n(t) et calculer sa valeur numérique.

Fin de ce problème
FIN DE L'ÉPREUVE