Mines Physique 2 PC 2002Sujet et rapport du jury

Pas encore noté

Mécanique des fluides parfaits
Théorème de Bernoulli
Bilans de quantité de mouvement, théorème d'Euler
Analyse dimensionnelle
Couche limite et viscosité
Dissipation d'énergie

Explorer les annales

BanqueMines Année2002 FilièrePC MatièrePhysique

Annales Mines PC Physique Mines PC 2002 PC Physique Physique 2002

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Corrigé : pas encore disponible

Présentation du sujet

Difficile

Le ressaut hydraulique : modélisation en fluide parfait puis en fluide visqueux

Le sujet étudie le ressaut hydraulique, phénomène observable dans un évier lorsqu'un jet d'eau vertical s'étale en une nappe circulaire. Une première partie modélise l'écoulement comme un fluide parfait, avec des bilans de quantité de mouvement et d'énergie autour de la discontinuité. Une seconde partie, de nature différente, introduit la viscosité du fluide et la notion de couche limite pour déterminer la position du ressaut.

1Première modélisation : écoulement parfaitÉtudier le ressaut hydraulique sous l'hypothèse d'un fluide parfait, par analyse dimensionnelle, théorème de Bernoulli et bilans de quantité de mouvement et d'énergie.
2Seconde modélisation : écoulement d'un fluide visqueuxIntroduire la viscosité et la couche limite pour déterminer la position du ressaut, par des approches qualitative, mécanique et énergétique.

Difficile. Le rapport signale que plusieurs questions ont été très peu abordées par les candidats, comme la question 9, l'approche énergétique des questions 22 à 24, et la question 25, alors que toutes les parties n'ont été traitées qu'avec plus ou moins de réussite.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Hypothèses du théorème de Bernoulli non données · Applications numériques et ordres de grandeur fautifs · Théorème d'Euler appliqué sans justification

La première partie, classique, reposait sur le modèle du fluide parfait mais demandait de la rigueur dans les bilans de quantité de mouvement et d'énergie. La seconde partie, de nature très différente, portait sur le modèle du fluide visqueux et demandait une lecture attentive du texte ainsi que la connaissance de phénomènes physiques classiques. Toutes les parties ont été abordées avec plus ou moins de réussite par les candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Hypothèses du théorème de Bernoulli non donnéesQ2
Peu de candidats énoncent les hypothèses nécessaires pour pouvoir appliquer le théorème de Bernoulli.
« Peu de candidats donnent les hypothèses pour appliquer le théorème de Bernoulli. »
2
Applications numériques et ordres de grandeur fautifsQ3
Les applications numériques demandées à la question 3 sont souvent fausses, avec de mauvais ordres de grandeur.
« Les applications numériques sont souvent fausses. Mauvais ordres de grandeur. »
3
Théorème d'Euler appliqué sans justificationQ6
Certains candidats appliquent le théorème d'Euler sans en justifier les conditions d'application.
« Certains candidats ne justifient pas le théorème d'Euler. »
4
Fautes de signe dans le bilan d'énergie cinétiqueQ8
Le bilan d'énergie cinétique demandé à la question 8 contient souvent des fautes de signe.
« Le bilan d'énergie cinétique contient souvent des fautes de signe. »
5
Confusion entre couche limite et effet de peauQ13
À la question 13, certains candidats confondent la loi d'évolution de la couche limite avec la profondeur de pénétration de l'effet de peau.
« Certains candidats ont confondu avec la profondeur de pénétration de l'effet de peau. »
6
Cohérence des résultats expérimentaux non vérifiéeQ16, Q17
Beaucoup de candidats ne vérifient pas que les résultats expérimentaux donnés sont bien cohérents avec la relation obtenue à la question 16.
« Beaucoup de candidats ne vérifient pas la cohérence des résultats expérimentaux avec la relation de la question 16. »

Ce qui a été bien réussi

Le calcul du débit à la question 18 a été souvent bien traité par les candidats.
Quelques candidats ont justifié correctement la formule et calculé le coefficient C1 à la question 19.

Conseils du jury

Lire complètement le sujet pour l'appréhender dans sa globalité et bien saisir les objectifs.
Faire preuve de rigueur dans le raisonnement et bien connaître les conditions d'application des théorèmes utilisés.
Vérifier l'homogénéité des formules littérales et garder un regard critique sur les résultats numériques trouvés.
Écrire les résultats numériques avec un nombre raisonnable de chiffres significatifs et relire attentivement sa copie.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Pas encore de corrigé pour ce sujet : voici des sujets proches corrigés.

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, des mines de paris, des mines de saint-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2002
SECONDE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Filière PC(Durée de l'épreuve : $4$ heures ; l'usage de la calculatrice est autorisé)Sujet mis à disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, INT, TPE-EIVPLes candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :Physique II - Filière PCL'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PC, comporte 6 pages.

Abstract

- Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré.
Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui semblera pertinent, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.
Les vecteurs sont notés en gras.

LE RESSAUT HYDRAULIQUE

Le ressaut hydraulique est un phénomène que la plupart d'entre nous a observé dans un évier de cuisine: l'eau du jet qui frappe verticalement l'évier s'étale d'abord radialement en une mince nappe circulaire, de vitesse élevée. Pour une certaine valeur

R

de la distance au jet, l'épaisseur de la nappe augmente brutalement et sa vitesse diminue. La zone de discontinuité est ce qu'on appelle le ressaut hydraulique. Ce problème de mécanique des fluides avec des conditions aux limites libres inclut plusieurs aspects: le profil du flot dans la région laminaire et dans la région turbulente, le mécanisme du ressaut, la dissipation d'énergie dans son voisinage et la dépendance de

R

avec, par exemple, la vitesse d'impact et le débit volumique du jet, la densité et la viscosité du fluide. On considère dans ce problème quelques aspects simplifiés de cette dernière question : la position

R

du ressaut.

Fig. 1 : Modélisation

On modélise le système comme indiqué sur la fig. 1. Un point du fluide est repéré en coordonnées cylindriques d'axe vertical

Ox

. On note

h(r)

la hauteur de la nappe fluide et

g

l'accélération de la pesanteur. Le phénomène, de symétrie cylindrique, est caractérisé par une discontinuité de la hauteur du fluide en

r = R

, position du ressaut. Pour

ε > 0

, on note

h_1 = h(R - ε)

h_2 = h(R + ε)

les hauteurs immédiatement avant et immédiatement après la discontinuité. L'ensemble est dans l'air, à la pression atmosphérique.

Première modélisation : écoulement parfait

Dans un premier temps, le ressaut est étudié sous l'hypothèse de l'écoulement parfait d'un liquide incompressible de masse volumique

ρ

. Le jet, vertical, est caractérisé par sa vitesse uniforme

u_0

et son rayon

a

au voisinage de la nappe horizontale, avant qu'il ne soit perturbé par cette nappe.

En l'absence de forces de viscosité, le champ de vitesses sera considéré comme radial et indépendant de la hauteur

x : u = u(r)e_r

, où

e_r

est le vecteur unitaire associé à la coordonnée radiale. On note

u_1 = u(R - ε)

u_2 = u(R + ε)

les vitesses immédiatement avant et après la discontinuité.

◻1

- Montrer qu'une analyse dimensionnelle permet d'affirmer que le rayon

R

de ressaut s'écrit sous la forme générale

R = af((u_0^2)/(ag))

où

f

est une fonction, inconnue à ce stade, de la grandeur non dimensionnée

F = (u_0^2)/(ag)

, avec

u_0 = ‖u_0‖

◻2

- Soit

q

le débit volumique ; en appliquant le théorème de Bernoulli «à la surface» (donc sur une ligne de courant), montrer que la hauteur

h(r)

du fluide avant le ressaut et à une distance

r

suffisante du centre du jet vérifie

(q^2)/(8π^2 r^2 h^2(r)) + gh(r) = C^(te) = K.

◻3

- Considérer les valeurs numériques typiques suivantes : le débit est de deux litres par minute, l'épaisseur de la couche liquide juste avant le ressaut est de

0, 5 mm, a = 2 mm

R = 3 cm

pour justifier que l'un des termes de la relation donnée à la question 2 est petit devant l'autre, et que l'on peut donc le négliger (on prendra

g = ‖g‖ = 9, 81 m.s^(- 2)

). Cette approximation reste-t-elle valable plus près du centre du jet ?

◻4

- Déduire de cette remarque l'expression de la constante

K

de la question 2 et la manière dont la vitesse varie avec

r

. Montrer, en revenant sur le théorème de Bernoulli,
que l'inégalité

|(\partialh)/(\partialr)|≪1

est équivalente à l'inégalité entre termes établie à la question 3.
Démontrer enfin la relation

h(r) \approx (a^2)/(2r) = q/(2πu_0 r).

Fig. 2 : Un élément de fluide

$5$ - On effectue maintenant un bilan de quantité de mouvement sur l'élément de fluide compris à un instant $t$ dans le volume limité par les surfaces élémentaires de largeur angulaire $dθ$ et de hauteur $h_1$ immédiatement avant et $h_2$ immédiatement après le ressaut (fig. 2). Déterminer la variation de la quantité de mouvement de cet élément de fluide entre les instants $t$ et $t + dt$ . La hauteur $h_2$ étant nettement supérieure à $h_1$ , la conservation du débit massique élémentaire $dD_m = ρRh_1 u_1 dθ$ implique que la vitesse $u_2$ . est nettement inférieure à $u_1$ . Simplifier dans ces conditions l'expression obtenue.
6 - Considérant le même élément de fluide, montrer que la variation de la pression $P(x)$ suivant $x$ est la même qu'en statique. Calculer la résultante des forces de pression sur cet élément et, appliquant le théorème d'Euler, en déduire la relation $2h_1 u_1^2 \approx gh_2^2$ .
$◻7$ - Déterminer l'expression du rayon $R$ en fonction de $a, u_0, g$ et $h_2$ .
$◻8$ - Exprimer $((d^2 E_c)/(dt dθ))$ , variation de l'énergie cinétique de cet élément par unité de temps et d'angle, en fonction des vitesses et du débit massique élémentaire.
$◻9$ - Déterminer la puissance des forces de pression s'exerçant sur le ressaut. Comparer cette puissance à la puissance $(dE_c)/(dt)$ déduite de la question 8 . Simplifier le résultat obtenu lorsque $u_2≪u_1$ .
$◻10$ - Qu'est devenue l'énergie cinétique manquante? Avec quelle hypothèse ce résultat est-il incompatible? Il faut donc raffiner ce premier modèle.

Seconde modélisation : écoulement d'un fluide visqueux

Jusqu'ici, nous ne sommes pas parvenus à déterminer la position du ressaut en fonction des données, la hauteur

h_2

subsistant dans le résultat. Considérons que la viscosité joue un rôle essentiel dans la position du ressaut. On note

η

la viscosité dynamique du fluide et

v = η/ρ

sa viscosité cinématique.

Considérations qualitatives approchées

11 - Expliquer en quelques mots la signification et l'intérêt de la notion de couche limite.

12 - On admet que, lorsque le fluide est emporté vers la périphérie, l'épaisseur

δ

de la couche limite le long de la plaque augmente selon la loi

δ = k\sqrt(t_c v)

, où

t_c = r/(u_0)

est le temps typique de convection du fluide jusqu'à la distance

r

. La valeur précise de la constante

k

dépend de la structure de la couche limite. En tout état de cause,

k

est de l'ordre de l'unité. Déterminer sa dimension.

◻13

- Connaissez-vous d'autres phénomènes pour lesquels on observe une relation du type précédent

(δ \propto \sqrtt)

entre distance

δ

et temps

t

? Comment les nomme-t-on?

◻14

- On suppose que la gravité ne joue pas de rôle dans la position du ressaut. Montrer qu'une analyse dimensionnelle permet d'écrire

R = aψ(R_e)

, où

ψ

est une fonction inconnue de la quantité

R_e = (u_0 a)/v

Un traitement élémentaire

L'étude détaillée de l'écoulement est difficile. Nous utiliserons donc quelques idées physiques pour en appréhender les aspects essentiels. Nous conviendrons (modèle de GODWIN) que le ressaut hydraulique apparaît pour une épaisseur de la couche limite égale à l'épaisseur prévue par le modèle du fluide parfait, soit

h_1 = q/(2πu_0 R)

. La viscosité envahissant alors tout l'écoulement, elle n'est plus négligeable.

◻15

- Déterminer le rayon

R

du ressaut en utilisant la relation donnée à la question 4 pour un fluide parfait. Le résultat suggère la loi d'échelle

R^3 \propto q^2 u_0^(- 1)v^(- 1)

Remarque : Les données expérimentales de BrECHET et NéDA de l'INPG (1998) suggèrent que, pour un liquide, un robinet et une hauteur de chute donnés, les paramètres les plus importants sont le débit volumique

q

et la viscosité cinématique

v : R \propto q^(0, 703)v^(- 0, 295)

16 - Comment s'exprime la fonction

ψ(R_e)

de la question 14 ?

◻17

- Voici quelques résultats expérimentaux obtenus avec

a = 0, 5 cm, u_0 = 80 cm \cdot s^(- 1)

et trois liquides de viscosités cinématiques variées.

Liquide	Eau	Huile	Glycérine
Viscosité cin. $(cm^2/s)$	0,01	1	10
Rayon mesuré $(cm)$	5	1	0,5

Montrer que ces résultats sont compatibles avec la relation précédente. Déterminer l'ordre de grandeur de la constante

k

Un traitement moins élémentaire

On souhaite approcher le problème de manière un peu plus précise, en déterminant le champ de vitesses et la hauteur quand la viscosité a envahi l'ensemble de l'écoulement. On modélise le champ de vitesses pratiquement horizontal avant le ressaut par

u = u(x, r)e_r

. On note

u_s(r)

la vitesse à la surface du fluide. Des considérations, hors de propos ici, conduisent à donner à la fonction

u(x, r)

la forme

u(x, r) = u_s(r)φ(x/(h(r)))

, où donc

φ(1) = 1

. Les conditions aux limites sont

u(0, r) = 0

((\partialu)/(\partialx))_(x = h(r)) = 0

; cette dernière condition signifie que la force de frottement sur l'air à la surface libre est nulle. On adopte pour

φ

la fonction le plus simple compatible avec ces conditions aux limites : un polynôme du second degré.

18 - Exprimer $u(x, r)$ en fonction de $u_s(r), x$ et $h(r)$ ; exprimer alors $u_s(r)$ en fonction de $q, r$ , et $h(r)$ . Expliciter enfin $u(x, r)$ en fonction de $x, r, h(r), a$ et $u_0$ .

Fig. 3 : Pour un autre bilan élémentaire

◻19

- Montrer (Fig. 3) que, entre les instants

t

t + dt

, la variation de quantité de mouvement

P

de la tranche de fluide contenue à l'instant

t

dans le volume de largeur angulaire

dθ

, de hauteur

h(r)

et de largeur

dr

est

d^3 P = C_1 ρ(a^2 u_0)^2 d/(dr)(1/(rh(r)))dθ dr dte_r

où

C_1

est une constante numérique que l'on déterminera, sachant que

\int_0^h(4h^2 x^2 - 4hx^3 + x^4)dx = 8/(15)h^5.

20 - On néglige les forces de pesanteur. La seule force agissant sur la tranche est la force de viscosité, agissant sur la base, et qui s'écrit

d^2 F_r = - ηr dθ dr((\partialu)/(\partialx))_(x = 0)e_r

Montrer que l'équation différentielle vérifiée par

h(r)

est

1/r(dh)/(dr) + h/(r^2) = C_2 v/(a^2 u_0)

où

C_2

est une constante que l'on déterminera.

◻21

- Établir que la solution de l'équation précédente est

h(r) = 1/3br^2 + (C_3)/r

où

C_3

est une constante non connue et

b = C_2 v/(a^2 u_0)

22 - La distance

r

est supposée être assez grande pour que, dans la solution précédente, le terme non déterminé en

(C_3)/r

puisse être négligé devant le terme en

r^2

. Écrire alors qu'en

r = R

, position du ressaut, la hauteur

h(R)

calculée pour le fluide avec viscosité coïncide avec la hauteur

h(R)

calculée avec le

R

de la question 7. En déduire l'expression de

R

. Comparer au résultat de la question 15 .

Une approche énergétique

La dissipation d'énergie dans une tranche d'épaisseur

dx

du volume élémentaire considéré Fig. 3 peut s'exprimer comme une dissipation d'énergie due à la viscosité ou comme la divergence du vecteur flux d'énergie cinétique. Soit encore une fois

η = ρv

le coefficient de viscosité dynamique ; la puissance élémentaire dissipée,

Π

, vérifie

d((dΠ)/(dr)) = (2πr)η\partial/(\partialx)(u(x, r)(\partialu(x, r))/(\partialx))dx

Le flux d'énergie cinétique

J

traversant la tranche d'épaisseur

dx

par unité de temps est

(dJ(x, r))/(dt) dx = [2πρr1/2u^2(x, r)dx]u(x, r)

◻23

- Donner les idées générales permettant d'arriver aux expressions fournies ci-dessus pour la dissipation par viscosité et pour le flux énergétique.

◻24

- Exprimer la relation différentielle entre

(dJ)/(dr)

(dΠ)/(dr)

qui traduit le bilan énergétique.

Pourquoi le modèle de Godwin donne-t-il de si bons résultats?

Un inconvénient des approches précédentes est qu'elles utilisent toutes une conjecture non prouvée sur les conditions d'apparition du ressaut. Les principes de base de l'hydrodynamique permettent cependant d'établir des lois d'échelle sur

R

sans faire appel à cette conjecture. Admettons seulement que le ressaut se produit lorsque la couche limite atteint la surface libre et que le profil de vitesse

h(r) = 1/3br^2 + (C_3)/r

soit acceptable. Imposons alors à la couche limite en

R

une évolution douce : les fonctions

h(r)

δ(r)

(question 12, où l'on prendra

k = 1

) et leurs dérivées se raccordent en

r = R

◻25

- Trouver la dépendance de

R

en fonction de

v, a

u_0

. Comparer au résultat de la question 14.

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de physique 2 des Mines PC 2002 sur le ressaut hydraulique ?

Elle porte sur la mécanique des fluides parfaits, le théorème de Bernoulli, les bilans de quantité de mouvement et d'énergie, l'analyse dimensionnelle, ainsi que la couche limite et la viscosité.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de physique 2 Mines PC 2002 ?

Des hypothèses du théorème de Bernoulli non données, des applications numériques fausses, un théorème d'Euler appliqué sans justification, et une confusion entre la couche limite et l'effet de peau.

Ce sujet de physique 2 Mines PC 2002 sur le ressaut hydraulique est-il difficile ?

Oui, le rapport indique que plusieurs questions, notamment en fin de sujet, ont été très peu abordées par les candidats, comme l'approche énergétique des questions 22 à 24.

Faut-il connaître la notion de couche limite pour ce sujet Mines physique 2 PC 2002 ?

Oui, la seconde partie du sujet repose sur la notion de couche limite, que le rapport juge floue pour certains candidats à la question 11.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Mines Physique 2 PC 2002

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...