Le problème, en trois parties indépendantes, étudie un avion. Il analyse d'abord la portance et la traînée d'une aile à partir de documents, la trajectoire en présence de vent et le décollage (résolution de problème). Il traite ensuite des instruments de mesure (tube de Pitot, capteurs de givre capacitif et à ultrasons), puis la propulsion : bilan de quantité de mouvement sur un système ouvert, cycle de Brayton et écoulement dans la tuyère.

1Partie I : mécanique du volLignes de courant, portance et coefficient de pression, finesse, composition des vitesses avec vent latéral et résolution de problème sur le décollage d'un A380 (Q1 à Q16).
2Partie II : instrumentationTube de Pitot et théorème de Bernoulli, capteur capacitif de givre (théorème de Gauss) et mesure par ultrasons (Q17 à Q24).
3Partie III : propulsionForce de poussée par bilan sur un système ouvert, cycle thermodynamique de Brayton et étude théorique d'une tuyère (Q25 à Q45).

Difficulté moyenne. Le jury juge le sujet assez long et difficile pour une frange importante des candidats, tout en le qualifiant de difficulté raisonnable avec des questions très proches du cours.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,01 / 20 · écart-type 3,28 · 4 329 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 10,01/ 20
Écart-type: 3,28
Présents: 4 329
Coefficient: 20
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 2 juillet 2020. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Ligne de courant et trajectoire confondues · Souvenirs hors programme au lieu des documents · Manque de sens physique sur les forces

Le sujet alternait questions de cours, analyse de documents et réflexion ; seule la partie III.3 était vraiment plus difficile. Il a bien séparé les candidats, mais de nombreuses réponses aberrantes dans des copies moyennes montrent que peu ont saisi le contenu physique. La rédaction est souvent faible et les hypothèses rarement citées.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Ligne de courant et trajectoire confonduesQ1
Les deux notions ne coïncident qu'en régime stationnaire ; peu de définitions exactes.
« Beaucoup assimilent les lignes de courant aux trajectoires des particules de fluide, ce qui n’est vrai qu’en régime stationnaire »
2
Souvenirs hors programme au lieu des documentsPartie I
En partie I, des candidats ont récité des notions sur les ailes d'avion (hors programme PC) au lieu d'exploiter les documents fournis.
3
Manque de sens physique sur les forcesQ8 et Q10
La traînée ne se compense pas « par la vitesse », et portance et traînée ne sont pas forcément verticale et horizontale.
« La force de trainée est souvent « compensée par la vitesse », voire par les forces de frottements »
4
Composition des vitesses non écriteQ13 à Q15
Le résultat est souvent donné sans la loi qui le justifie, ce qui fait échouer la question du trajet aller-retour.
« la loi de composition des vitesses qui le justifie est très rarement mentionnée »
5
Théorème de Gauss mal conduitQ21
Symétries et invariances mélangées, plans de symétrie ne contenant pas le point M, orientation des vecteurs surface passée sous silence.
« l’orientation relative du champ électrique et des vecteurs surface est presque toujours passée sous silence »
6
Premier principe industriel mal comprisQ31
L'absence de travail utile vient de l'absence de pièces mobiles dans le diffuseur ; dire qu'il n'y a aucun travail est faux.
« Dire qu’il n’y a aucun travail au cours de la transformation révèle une incompréhension du sens du premier principe industriel »

Ce qui a été bien réussi

Les copies sont en grande majorité soignées : presque tous les candidats ont obtenu le bonus de présentation.
La question d'analyse dimensionnelle (Q5) est bien traitée dans la majorité des copies.
L'hypothèse de stationnarité est utilisée à bon escient en Q27.
La question Q38 est très souvent correctement traitée.
La résolution de problème (Q16) a permis à de bons candidats de se distinguer.

Conseils du jury

Répondre de façon concise sans oublier d'argument clé, dans le cadre imposé par la question.
S'appuyer sur le document de l'énoncé quand la question y renvoie.
Rappeler les hypothèses d'un théorème, notamment l'hypothèse stationnaire pour Bernoulli.
Pour une résolution de problème, présenter le modèle, définir les notations et expliciter les hypothèses.
S'entraîner aux résolutions de problème pendant l'année, ou traiter d'abord les questions classiques.
Ne pas utiliser de sigles obscurs dans la copie.
Se demander « pourquoi fait-on cela ? » plutôt que « comment on fait ? ».

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

45 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.

45 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.

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Description

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Sujet en PDF

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

PHYSIQUE

Lundi 4 mai : 14 h - 18 h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet est composé d'un problème constitué de trois parties indépendantes.

Leurs poids respectifs sont approximativement de :

40 % pour la partie I
19 % pour la partie II

41%

pour la partie III

PROBLÈME

De la physique de l'aéronef

Ce problème aborde certains aspects de la physique appliqués à un avion dans trois parties indépendantes. Dans la partie I, on s'intéresse à la mécanique du vol avec trois sous-parties indépendantes. Après avoir précisé des généralités dans la sous-partie I.1, on étudie la trajectoire d'un avion dans la sous-partie I. 2 puis le décollage d'un avion dans la sous-partie I.3. La partie II aborde des problématiques d'instrumentation et est constituée de deux sous-parties indépendantes avec des études théoriques du tube de Pitot (sous-partie II.1) et de la mesure du givre (sous-partie II.2). Enfin, la partie III traite de la propulsion. On calcule d'abord la force de propulsion (souspartie III.1), puis on aborde l'étude du cycle thermodynamique de Brayton pour un turboréacteur simple flux (sous-partie III.2), et on termine par le fonctionnement de la tuyère (sous-partie III.3).

Les effets de la gravité sur l'air seront négligés dans l'ensemble du problème.

Partie I - Mécanique du vol

La figure 1 représente un schéma simplifié des principales caractéristiques géométriques du profil d'une aile d'avion. L'extrados est la surface supérieure du profil et l'intrados est la surface inférieure du profil. La distance

L

entre le bord d'attaque et le bord de fuite est appelée corde du profil.

On travaille dans le référentiel de l'aile. Dans ce référentiel, loin de l'aile, la vitesse de l'air est notée

v_\infty^(\to-)

. L'angle entre la corde et

v_\infty^(\to-)

est l'angle d'incidence

i

. La vitesse de l'avion par rapport à l'air est notée

V⃗_a

avec

V_a = ‖V_a^(\to-)‖ = ‖v_\infty^(\to-)‖ = v_\infty

Dans cette partie, la vitesse de l'avion sera suffisamment faible devant la célérité du son dans l'air pour considérer l'air en écoulement incompressible.

Figure 1 - Caractéristiques géométriques du profil d'une aile d'avion

I. 1 - Généralités

Q1. Définir la notion de ligne de courant associée aux particules de fluide. Est-ce une description de nature eulérienne ou lagrangienne ?

Q2. Dans la figure 2 sont représentées les lignes de courant pour un profil donné. En analysant ces lignes de courant, expliquer pourquoi l'écoulement stationnaire de l'air, supposé parfait, homogène et incompressible, génère une force de portance de l'avion.

Figure 2 - Lignes de courant autour du profil d'une aile d'avion

Q3. En pratique, pour étudier la répartition de pression

P

le long de l'intrados et de l'extrados, on définit une pression adimensionnée appelée coefficient de pression :

C_P = (P - P_\infty)/(1/2 \cdot ρ_\infty \cdot v_\infty^2),

où

P_\infty, ρ_\infty

v_\infty

sont respectivement la pression, la masse volumique et la vitesse de l'écoulement incident loin de l'aile. On représente

C_P

pour l'intrados et l'extrados en fonction de

x/L

la position par rapport à la corde (figure 3). Justifier à quelle courbe,

C_(P1)

C_(P2)

, on associe l'intrados et l'extrados.

Figure 3 - Coefficient de pression sur l'intrados et l'extrados

Q4. Pourquoi observe-t-on toujours

C_P \leq 1

Par intégration de la différence des coefficients de pression entre intrados et extrados sur toute la corde du profil, on obtient le coefficient de portance, adimensionné,

C_z = (F_z)/(1/2 \cdot S_(réf) \cdot ρ_\infty \cdot v_\infty^2),

avec

é S_(réf)

la surface de l'aile et

F_z

, la force de portance exercée sur l'aile. Cette force de portance est perpendiculaire à l'écoulement (figure 4). Par ailleurs, la répartition de pression le long de l'intrados et de l'extrados ne se traduit pas uniquement par la force de portance

F_z

qui est perpendiculaire à l'écoulement, mais également par la présence d'une force de traînée

é F_x = 1/2 \cdot C_x \cdot S_(réf) \cdot ρ_\infty \cdot v_\infty^2

, parallèle à l'écoulement et qui s'oppose au déplacement (figure 4).

C_x

est le coefficient de traînée.

Figure 4 - Décomposition des efforts aérodynamiques : portance et traînée

Q5. Vérifier que le coefficient de portance

C_z

est adimensionné.
L'influence de l'angle d'incidence

i

sur le coefficient de pression

C_P

est représentée en figure 5.

Figure 5 - Influence de l'incidence sur le

C_P

Q6. Le coefficient de portance

C_z

est-il plus important pour une incidence de

2^\circ

6^\circ

? Justifier.
Q7. Le pilote peut faire varier la surface des ailes en actionnant des surfaces mobiles, les volets. En phase de décollage, indiquer et justifier la configuration que le pilote va choisir : volets rentrés ou sortis?

Q8. On considère un vol en palier, c'est-à-dire avec un vecteur vitesse et une altitude de l'avion constants. Représenter l'ensemble des forces s'exerçant sur l'avion et expliquer comment la force de traînée est compensée.

Q9. Pourquoi est-il intéressant de voler à haute altitude ?
Q10. Dans cette question, on se propose d'interpréter physiquement ce que les professionnels de l'aéronautique appellent la finesse

f = (C_z)/(C_x)

d'une aile. Pour cela, on considère la situation d'un avion, tous moteurs coupés, ayant un mouvement de translation rectiligne uniforme descendant. On note

α

l'angle entre la direction de l'écoulement de l'air autour de l'avion et l'horizontale (figure 6). À l'aide d'une représentation des forces sur le schéma de la figure 6, établir le lien entre la finesse

f

et l'angle

α

. De quelle distance

d_H

l'avion a-t-il avancé à l'horizontale lorsqu'il a perdu une altitude

d_V

? Conclure sur le sens physique de la finesse.

Avion

Figure 6 - Avion en mouvement rectiligne uniforme sans propulsion

Pour apprécier la qualité d'une aile on trace la polaire de l'aile qui est la courbe de son

C_z

en fonction de son

C_x

(figure 7).

Figure 7 - Polaire d'une aile

Q11. Reproduire l'allure de la polaire d'une aile sur votre copie et indiquer les points correspondant respectivement à une traînée minimale, une portance maximale et une finesse maximale.

Q12. Quand on va du point pour lequel la traînée est minimale vers le point pour lequel la portance est maximale, comment évolue l'angle d'incidence?

I. 2 - Trajectoire d'un avion en présence de vent latéral

Un avion doit se déplacer en ligne droite d'un point A vers un point B situés à la même altitude par rapport au sol. Il subit un vent contraire constant de vecteur vitesse

v_v^(\to-)

qui fait un angle

φ

avec la trajectoire AB comme indiqué sur la figure 8. L'avion vole à une vitesse constante

V_a

par rapport à l'air. Le vecteur vitesse associé,

V_a^(\to-)

, fait un angle

θ

avec la route au sol AB.

u_x^(\to-)

u_y^(\to-)

sont des vecteurs unitaires.

Figure 8 - Trajectoire avion soumis à un vent contraire

Q13. À quelle condition entre

V_a, v_v, φ

θ

, l'avion peut-il se déplacer en ligne droite de A vers B ?
Q14. Calculer l'angle de correction

θ

que le pilote doit imposer à son avion lorsque

φ = 20^\circ

, sachant que

v_v = 56 km \cdot h^(- 1)

V_a = 445 km \cdot h^(- 1)

Q15. L'avion doit faire un aller-retour entre les deux points A et B, distants de

d = 500 km

dans les mêmes conditions de vent. Calculer la durée

T

du trajet aller-retour en négligeant la durée du demi-tour. Comparer à la durée

T

' de ce même trajet en l'absence de vent. Commenter.

I. 3 - Décollage d'un avion

Q16. On s'intéresse au décollage d'un quadriréacteur A380 dont la masse au décollage est de 500 tonnes. Sa vitesse au moment où il quitte la piste est de

260 km \cdot h^(- 1)

. Estimer, en précisant les hypothèses effectuées, un ordre de grandeur de la poussée d'un réacteur lors de phase d'accélération sur la piste. Discuter votre résultat sachant que la poussée maximale d'un réacteur d'A380 est de 370 kN et que la finesse au décollage est proche de 10 .

Cette question nécessite une prise d'initiative en termes de modélisation de la situation et d'introduction de valeurs numériques pertinentes. Le barème valorise la démarche menée, même si celle-ci reste inachevée.

Partie II - Instrumentation

II. 1 - Tube de Pitot

Le tube de Pitot est un des nombreux capteurs qui équipent l'avion. Il permet la mesure de la vitesse de l'avion, donnée essentielle à sa bonne conduite. Il s'agit d'un tube très fin (moins de

5 mm^2

de surface) qui est placé parallèlement à la direction de l'écoulement de l'air (figure 9). Ce tube possède deux ouvertures en

F

G

. L'ouverture en

F

est la prise dite de pression totale et celle en

G

est la prise dite de pression statique. On mesure la différence de pression de l'air entre les deux tubes 1 et 2 avec un manomètre différentiel, ce qui permet d'obtenir la vitesse

v_\infty

de l'écoulement.

Figure 9 - Tube de Pitot

On considère que l'air est un fluide parfait, homogène, incompressible, de masse volumique

ρ_\infty

et en écoulement stationnaire. On rappelle que les effets de la gravité sur l'air sont négligés. Loin du tube l'air a une pression

P_\infty

et une vitesse

v_\infty

Q17. Représenter l'allure de la ligne de courant qui aboutit en

F

et l'allure de la ligne de courant qui longe le tube et passe à proximité de

G

Q18. Déterminer, en fonction de

P_\infty, ρ_\infty

, et

v_\infty

, les expressions de la vitesse

v_F

et de la pression

P_F

du fluide en

F

ainsi que la vitesse

v_G

et la pression

P_G

du fluide en

G

Q19. Dans le manomètre, il y a un liquide de masse volumique

ρ_l

. On mesure une différence d'altitude

h

entre les deux surfaces du liquide. Déterminer l'expression de la différence de pression,

P_H - P_I

, entre ces deux surfaces.

Q20. Déduire des questions précédentes l'expression de la vitesse de l'écoulement

v_\infty

de l'air en fonction de

ρ_l, ρ_\infty, g

h

. Comment évolue

h

lorsque la vitesse de l'air augmente?

II. 2 - Mesure du givre

Divers accidents d'avions ont été liés à la formation de givre sur les sondes Pitot conduisant ainsi à une perte des indications de vitesse. Dans cette sous-partie on se propose d'étudier deux moyens de mesure du givre.

II.2.1 - Mesure capacitive

On considère un condensateur plan constitué de deux armatures

A_1

A_2

, parallèles, de surface

S

, placées dans de l'air de permittivité

ε_0

, uniformément chargées en surface et perpendiculaires à l'axe (

Oz

) de vecteur unitaire associé

u_z^(\to-)

(figure 10). L'armature

A_1

possède une densité superficielle de charges positives

+ σ

et l'armature

A_2

une densité superficielle de charges négatives -

σ

. Ces armatures sont séparées d'une distance

e

. Les dimensions des armatures sont importantes par rapport à la distance

e

qui les sépare.

Q21. Montrer que le champ électrique entre les armatures a pour expression :

E⃗ = - σ/(ε_0) \cdot u_z^(\to-)

Figure 10 - Condensateur plan

Q22. Déterminer l'expression de la capacité

C

du condensateur plan.

On admet que la capacité d'un condensateur plan placé dans un milieu diélectrique de permittivité relative

ε_r

est obtenue en remplaçant, dans l'expression de la capacité

C

obtenue à la question précédente,

ε_0

par

ε_0 \cdot ε_r

Q23. La permittivité relative de la glace est

ε_r = 80

, celle de l'air est égale à 1 . Il est possible de détecter la présence de glace en utilisant des jeux d'électrodes de différentes tailles et de différents espacements. En vous appuyant sur le schéma de principe de la figure 11, expliquer qualitativement le principe de cette mesure dite capacitive. Justifier la nécessité d'utiliser plusieurs capteurs de tailles différentes.

Figure 11 - Mesure capacitive

II.2.2 - Mesure à ultrasons

Q24. Une autre méthode de mesure de l'épaisseur de la couche de glace consiste à analyser les échos d'un signal à ultrasons. Expliquer brièvement le principe d'une telle mesure.

Partie III - Propulsion

Pour leur propulsion, les avions sont équipés majoritairement de réacteurs. Cette dénomination usuelle désigne en fait des turboréacteurs qui appartiennent à la catégorie des turbomachines encore appelées générateurs ou turbines à gaz. Les turbomachines présentent plusieurs avantages par rapport aux moteurs à pistons, avec notamment un rapport puissance-poids environ trois fois supérieur. En effet, le nombre de pièces mobiles est réduit et leur mouvement est très simple, ce qui permet de les alléger. Ces machines sont inégalables lorsque de grandes puissances sont requises avec des contraintes d'espace ou de poids. Leur inconvénient majeur est que leur efficacité et leur
réactivité chutent très rapidement à faible puissance : ils ne sont donc pas adaptés au domaine automobile par exemple.
Les constituants principaux d'un turboréacteur sont un compresseur, une chambre de combustion et une turbine. Dans cette partie on étudie un turboréacteur dit simple flux (figure 12) pour lequel le gaz entrant dans le réacteur passe dans un diffuseur pour en diminuer la vitesse avant d'être comprimé par le compresseur. Le gaz comprimé arrive dans une chambre de combustion où il est chauffé avant d'être détendu partiellement dans la turbine qui fournit la puissance nécessaire au compresseur. En sortie de turbine, le gaz reste à une pression relativement élevée par rapport à la pression extérieure et il est détendu dans une tuyère, ce qui permet de l'accélérer : c'est cette accélération qui permet la propulsion de l'avion.

Le turboréacteur simple flux est principalement utilisé dans l'aviation militaire.

Figure 12 - Schéma de principe d'un turboréacteur simple flux

III. 1 - Force de propulsion

Le turboréacteur constitue un système ouvert (

Σ

). En régime stationnaire, ce volume de contrôle contient à l'instant

t

une masse d'air

M(t)

à laquelle on associe une quantité de mouvement

p(t)^(\to-)

. Pour établir le bilan de quantité de mouvement, on doit définir un système fermé (

Σ^*

) qui, à l'instant

t

, est constitué de

M(t)

et d'une masse entrante dans la tuyère

δm_e

à la vitesse

v_e

et, à l'instant

t + dt

est constitué de

M(t + dt)

et d'une masse sortante de la tuyère

δm_s

à la vitesse

v_s\to

. La pression

P_0

autour du turboréacteur est uniforme. La surface d'entrée du turboréacteur est notée

S_e

et celle de sortie

S_s

Q25. Donner l'expression du vecteur quantité de mouvement du système fermé

p^*(t)^(\to-)

à l'instant

t

Q26. Donner l'expression du vecteur quantité de mouvement du système fermé

p^*(t + dt)^(\to-)

à l'instant

t + dt

Q27. Des deux questions précédentes déduire, en régime stationnaire, l'expression de la dérivée du vecteur quantité de mouvement du système fermé

(dp^*(t)^(\to-))/(dt)

à l'instant

t

. On introduira

D_m

le débit massique d'air dans le réacteur.

Q28. Effectuer le bilan des forces s'exerçant sur le système.
Q29. Indiquer quelle(s) approximation(s) est/sont nécessaire(s) pour conclure que la force appliquée par le réacteur à l'air a pour expression :

F_(avion \to air)^(\to-) = D_m \cdot (v_s\to - v_e\to)

Q30. En considérant un réacteur positionné horizontalement avec son entrée à gauche comme indiqué sur la figure 12, représenter qualitativement le vecteur de la force exercée par l'air sur l'avion

F_(air \to avion)^(\to-)

ainsi que les vecteurs

v_e\to

v_s\to

dans le référentiel du réacteur. Comparer les normes

v_e

v_s

des vecteurs vitesses pour que la force exercée par l'air sur l'avion soit propulsive.

III. 2 - Cycle thermodynamique de Brayton

Le turboréacteur fonctionne selon le cycle théorique ouvert de Brayton. Les conditions d'étude de ce cycle sont les suivantes :

l'air est considéré comme un gaz parfait. Sa capacité thermique massique à pression constante $c_p$ est supposée constante, comme le rapport $γ$ entre les capacités thermiques isobare et isochore. On prendra $γ = 1, 35$ et $c_p = 1, 1 kJ \cdot kg^(- 1) \cdot K^(- 1)$ ,
les variations d'énergie potentielle sont négligeables,
l'énergie cinétique est supposée négligeable entre l'entrée du compresseur et la sortie de la turbine.

En entrée du diffuseur, l'air est à l'état (1) : (

P_1, T_1

). On considère que le diffuseur est idéal, ce qui revient à dire que l'énergie cinétique du gaz après traversée du diffuseur est négligeable devant les autres termes énergétiques et que la traversée du diffuseur est adiabatique et réversible. En entrée du compresseur, l'air se trouve à l'état (2): (

P_2, T_2

) et est amené à l'état (3): (

P_3 = 10P_2, T_3

) par une compression adiabatique réversible.
Dans la chambre de combustion, l'air, mélangé au carburant, subit un échauffement isobare réversible jusqu'à l'état (4) : (

P_4, T_4 = 1400 K

). Bien que les compositions du gaz à l'entrée et à la sortie de la chambre de combustion soient différentes, pour simplifier la modélisation, on suppose que celle-ci sert uniquement à réchauffer l'air et que les propriétés de l'air ne sont pas modifiées par ce changement de composition.
L'air parvient alors dans la turbine où il subit une détente adiabatique réversible jusqu'à l'état (5) :

(P_5, T_5)

. Enfin, il se détend de façon adiabatique et réversible dans la tuyère et arrive dans l'état (6) : (

P_6, T_6

On considère un avion qui vole avec une vitesse de croisière

V_a = 260 m \cdot s^(- 1)

par rapport à l'air considéré au repos. À cette altitude, l'air est à la pression de

34, 5kPa

et à la température de

- 40^\circC

L'air entre dans le compresseur avec un débit massique

D_m = 45 kg \cdot s^(- 1)

On rappelle que l'expression du premier principe pour une masse

m = 1 kg

de fluide en écoulement au travers d'une machine est :

Δh + (Δv^2)/2 + g \cdot Δz = w_u + q_e

où

Δh

représente la différence

h_s - h_e

entre les enthalpies massiques (

enkJ \cdot kg^(- 1)

) du fluide à la sortie

h_s

et à l'entrée

h_e

de la machine,

Δv^2 = v_s^2 - v_e^2

avec

v_s

v_e

les vitesses du fluide à la sortie et à l'entrée de la machine,

Δz = z_s - z_e

avec

z_s

z_e

les altitudes du fluide à la sortie et à l'entrée de la machine,

w_u

le travail massique utile, c'est-à-dire le travail massique (en

kJ \cdot kg^(- 1)

) échangé entre une masse

m = 1 kg

de fluide et les parois mobiles de la machine,

q_e

le transfert thermique massique entre le kilogramme de fluide et la machine (en

kJ \cdot kg^(- 1)

Q31. Donner l'expression de la température

T_2

en fonction de

T_1, V_a

c_p

. Effectuer l'application numérique.

Q32. Donner l'expression de la pression

P_2

en fonction de

P_1, T_1, T_2

γ

. Effectuer l'application numérique.

Q33. Établir l'expression du travail massique utile

w_(comp)

fourni à l'air par le compresseur. En prenant

T_3 = 480 K

, calculer la puissance

P_(comp)

de ce dernier.

Q34. Sachant que le travail fourni par la détente du gaz dans la turbine est intégralement reçu par le compresseur, déterminer l'expression de la température

T_5

en fonction de

T_2, T_3

T_4

. Calculer la valeur de

T_5

. En déduire la valeur de la pression

P_5

Q35. Donner l'expression de la vitesse de sortie du gaz

v_s

en sortie de tuyère en fonction de

T_5, T_6

c_p

. Calculer la valeur de

v_s

sachant que

T_6 = 680 K

Q36. Déterminer la puissance liée à la force propulsive.
Q37. Calculer le rendement

η

du turboréacteur qui correspond au rapport entre la puissance liée à la force propulsive et la puissance qui sert à chauffer le gaz dans la chambre de combustion

P_(chamb) = 45, 5MW

. Comparer avec le rendement d'autres machines thermiques.

III. 3 - Étude théorique de la tuyère

La tuyère, dernière partie du turboréacteur, a pour but d'accélérer les gaz et d'assurer ainsi la propulsion de l'avion. Dans cette sous-partie, on va détailler le fonctionnement d'une tuyère afin de montrer quelle géométrie est compatible avec l'accélération souhaitée. Cette sous-partie est toutefois indépendante de la précédente.

On considère une tuyère de révolution d'axe horizontal (

x^' x

), de section lentement variable, dans laquelle se produit une détente d'air. L'air est assimilé à un gaz parfait, évoluant de façon adiabatique réversible, en écoulement permanent unidirectionnel, de telle sorte que les paramètres physiques : pression

P

, température

T

, vitesse

v

et masse volumique

ρ

ne dépendent que de l'abscisse

x

x = 0

, à l'entrée de la tuyère de section

S_e

, la pression du gaz est notée

P_e

, sa température

T_e

, sa masse volumique

ρ_e

et la vitesse

v_e

. La capacité thermique massique à pression constante

c_p

et le rapport

γ

entre les capacités thermiques isobare et isochore sont supposés constants.

À l'abscisse

x

, au niveau de la section

S(x)

, la vitesse du gaz

v(x)

de pression

P(x)

, a pour expression :

v(x) = \sqrt(v_e^2 + 2 \cdot c_p \cdot T_e \cdot [1 - [(P(x))/(P_e)]^((γ - 1)/γ)])

Q38. On pose

v_m = \sqrt(2 \cdot c_p \cdot T_e)

. Vérifier que cette quantité est homogène à une vitesse. On évalue

v_m

à environ

1000 m \cdot s^(- 1)

Q39. Montrer que le débit massique

D_m

à l'abscisse

x

a pour expression :

D_m = ρ_e \cdot v_m \cdot S(x) \cdot G(x)

. Donner l'expression de la fonction

G(x)

en fonction de

P_e, P(x), v_e, v_m

γ

On pose

α(x) = (P(x))/(P_e)

et on se propose dans les trois questions suivantes d'étudier et d'exploiter la courbe

C_G

associée à la fonction

G(α)

pour

0 \leq α \leq 1

représentée en figure 13.

Figure 13 - Courbe

C_G

associée à la fonction

G(α)

pour

0 \leq α \leq 1

Q40. Que vaut

α

en entrée de la tuyère ? Montrer, à l'aide de la figure 13 et des relations des questions précédentes que pour que la vitesse augmente la tuyère doit d'abord être convergente.

Q41. En considérant que

v_e = 100 m \cdot s^(- 1)

, on peut négliger

v_e^2

devant

v_m^2

. Dans ces conditions, on admet que de la fonction

G(α)

est maximale pour

α_c = [2/(1 + γ)]^(γ/(γ - 1))

. Montrer qu'avec une tuyère uniquement convergente, la vitesse ne peut augmenter que jusqu'à une valeur limite

v_(lim)

qu'on exprimera en fonction de

v_m

γ

Q42. On note

S_(col)

la section minimale de la tuyère à l'abscisse

x_(col)

lorsque la vitesse est

v_(lim)

. Donner l'expression du rapport

(S_(col))/(S_e)

en fonction de

v_e, v_m

G(α_c)

. Donner une valeur numérique approchée de ce rapport à l'aide de la figure 13.

Q43. On rappelle que la théorie des ondes sonores permet d'établir que la célérité

c

du son dans un gaz supposé parfait et subissant une transformation adiabatique réversible est donnée par la relation

c = \sqrt((γ \cdot P)/ρ)

.
Montrer que la vitesse limite de l'écoulement

v_(lim a pour expression)v_(lim) = \sqrt((2 \cdot γ)/(1 + γ) \cdot R/M \cdot T_e)

. Puis, vérifier que cette vitesse est égale à la célérité

c_(col)

du son dans cette section

S_(col)

Q44. Pour les avions civils de transport de passagers, les tuyères sont convergentes afin que l'air sorte à une vitesse égale à la vitesse du son. La pression à la sortie de la tuyère est égale à la pression extérieure

P_(atm)

. Donner l'expression de la pression

P_e

à l'entrée de la tuyère en fonction de

P_(atm)

γ

. Calculer

P_e

pour

P_(atm) = 34, 5kPa

γ = 1, 35

Q45. Pour les avions militaires, on souhaite que la vitesse à la sortie de la tuyère soit supersonique (supérieure à la vitesse locale du son). Quelle forme doit-on donner à la tuyère après la partie convergente? Justifier.

FIN

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de physique CCINP PC 2020 ?

Sur l'avion : mécanique du vol et portance, instruments de mesure (tube de Pitot, capteurs de givre) et propulsion par réacteur avec bilans sur système ouvert, cycle de Brayton et tuyère.

Le sujet de physique CCINP PC 2020 était-il difficile ?

Le jury le juge assez long et difficile pour une partie importante des candidats, mais de difficulté raisonnable avec des questions proches du cours. La partie III.3 était nettement plus difficile.

Comment traiter la résolution de problème de physique CCINP PC 2020 ?

La Q16 sur le décollage d'un A380 représentait près de 8 % du barème. Il fallait poser un cadre de modélisation, définir ses notations, expliciter les hypothèses et critiquer le résultat.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en physique CCINP PC 2020 ?

Confusion entre ligne de courant et trajectoire, oubli de la composition des vitesses, théorème de Gauss mal appliqué, égalités entre scalaire et vecteur et mauvaise compréhension du premier principe industriel.

Pas de description pour le moment

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