CCINP Mathématiques 2 PC 2004Sujet, corrigé et rapport du jury

Les calculatrices sont interdites

N.B.: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

La partie II peut être traitée indépendamment des parties I et III.

On considère la série entière ∑_(n = 1)^(+ ∞)n^(− s)z^n de la variable complexe z, où s est un nombre réel donné.
I. 1 Déterminer le rayon de convergence de cette série entière.
I. 2 Dans cette question, z = e^(iθ) désigne un nombre complexe de module 1.
I.2.1 Etudier la convergence de ∑_(n = 1)^(+ ∞)n^(− s)z^n dans le cas où s > 1 ainsi que dans le cas où s ≤ 0.
I.2.2 Dans le cas où 0 < s ≤ 1, étudier la convergence de ∑_(n = 1)^(+ ∞)n^(− s)z^n pour z = 1.
I.2.3 Toujours dans le cas où 0 < s ≤ 1, on suppose que z ≠ 1. On pose S_0 = 0, et pour tout nombre entier n ∈ 𝕀ℕ^∗, S_n = ∑_(k = 1)^n z^k.

Montrer que |S_n| ≤ M(θ) pour tout n ∈ ℕ, avec M(θ) = 1/(|sinθ/2|).
En écrivant z^k sous la forme S_k − S_(k − 1) pour tout nombre entier k ∈ ℕ, montrer que :

Montrer que la série ∑_(n = 1)^(+ ∞)S_n[n^(− s) − (n + 1)^(− s)] est convergente et en déduire que la série ∑_(n = 1)^(+ ∞)n^(− s)z^n est convergente.

Nous noterons dorénavant φ(z, s) la somme ∑_(n = 1)^(+ ∞)n^(− s)z^n pour tout couple (z, s) ∈ ℂ × ℝ pour lequel cette série est convergente.
I. 3 On note I l'intervalle ouvert ] − 1, + 1[ de ℝ.
I.3.1 Montrer que pour tout (x, s) ∈ I × ℝ on a φ(x, s + 1) = ∫_0^x(φ(t, s))/tdt.
I.3.2 Calculer φ(x, 0) et φ(x, 1) pour tout x ∈ I.
I. 4 On suppose dans cette question que s > 1.
I.4.1 Soit f_n la fonction définie sur [0, + ∞[ pour tout n ∈ ℕ^∗ par f_n(t) = e^(− nt)t^(s − 1). Montrer que f_n est intégrable sur [0, + ∞[ et exprimer ∫_0^(+ ∞)f_n(t)dt à l'aide de n, s et l'intégrale Γ(s) = ∫_0^(+ ∞)e^(− t)t^(s − 1)dt = ∫_0^(+ ∞)f_1(t)dt.
I.4.2 Soit z un nombre complexe de module inférieur ou égal à 1. Montrer que la série ∑_(n = 1)^(+ ∞)z^n f_n(t) de fonctions de la variable réelle t est intégrable terme à terme sur ]0, + ∞[.
En déduire que pour tout s > 1 et tout z ∈ ℂ tel que |z| ≤ 1, on a :

Pour tout nombre réel s > 1, on pose ζ(s) = φ(1, s) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)n^(− s).
II. 1 Montrer que ζ est une fonction indéfiniment dérivable de la variable s sur ]1, + ∞[.
II. 2 Montrer que ζ est strictement décroissante sur ]1, + ∞[.
II. 3 Montrer que pour tout s ∈ ]1, + ∞[ on a :

En déduire la limite de ζ(s) lorsque s tend vers + ∞.
Déterminer un équivalent de ζ(s) lorsque s tend vers 1 par valeurs supérieures à 1 .

III. 1 Soit g la fonction de la variable réelle x définie par :
(i) g(x) = ((π − x)/2)^2 pour tout x ∈ [0, 2π[.
(ii) g est périodique de période 2π.
III.1.1 Montrer que g est paire. Développer g en série de Fourier réelle. Etudier l'égalité entre g et la somme de sa série de Fourier.
III.1.2 Calculer les valeurs de ζ(2) et ζ(4), où ζ est la fonction définie dans la partie précédente.
III. 2 Soit θ un nombre réel. On note Rφ(θ) la partie réelle de φ(e^(iθ), 2), où φ est la fonction définie à la question I.2.
III.2.1 Exprimer Rφ(θ) à l'aide de g(θ).
III.2.2 En déduire que pour tout θ ∈ ℝ on a :

III.2.3 Déduire de ce qui précède la valeur des intégrales :

III. 3 Soit s un nombre réel strictement positif.
III.3.1 Montrer que pour tout θ ∈ ℝ on a les égalités :

III.3.2 En déduire des expressions des intégrales :

en fonction des sommes S_1(s) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)(2k + 1)^(− (s + 1)), S_2(s) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)(− 1)^k(2k + 1)^(− (s + 1)) et de Γ(s + 1).