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CONCOURS ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE

Epreuve de Mathématiques B PC
durée 3 heures

L'usage de la calculatrice est interdit

Exercice 1

Soit E = ℝ[X], muni du produit scalaire défini par :
∀(P, Q) ∈ E^2, ⟨P, Q⟩ = ∫_(− 1)^0 P(t)Q(t)dt
On ne demande pas de vérifier qu'il s'agit d'un produit scalaire.
Soit Δ l'application de E dans E qui envoie un polynôme P sur :
Δ(P) = (X^2 + X)P^(′′) + (2X + 1)P^′,
où l'on note respectivement P^′ ou P^′(X), ainsi que P^(′′) ou P^(′′)(X) les dérivées premières et deuxièmes de P.
  1. Vérifier que Δ est un endomorphisme de l'espace vectoriel E.
  2. Soit P ∈ E. Montrer que le degré de Δ(P) est inférieur ou égal au degré de P.
Pour tout entier naturel non nul n, on note E_n le sous-espace vectoriel de E formé par les polynômes de degré ⩽ n. On note Δ_n l'endomorphisme induit par Δ sur E_n, c'est à dire:
∀P ∈ E_n, Δ_n(P) = Δ(P).
  1. Ecrire la matrice de Δ_n sur la base {1, X, …, X^n}.
  2. En déduire les valeurs propres de Δ_n.
  3. L'endomorphisme Δ_n est-il diagonalisable?
  4. Montrer que pour tout entier naturel n ⩾ 1, il existe un unique polynôme P_n de degré n et de coefficient dominant égal à 1 tel que Δ(P_n) = n(n + 1)P_n.
  5. Exprimer P_n en fonction du polynôme
Q_n(X) = ∑_(k = 0)^n((n + k)!)/((n − k)!(k!)^2)X^k.
  1. Montrer que, pour tous P et Q dans E, on a :
< Δ(P), Q>=<P, Δ(Q) > .
  1. En déduire < P_n, P_m > pour deux entiers naturels non nuls n ≠ m.

Exercice 2

Le but de l'exercice est de déterminer les fonctions f de classe C^2 sur ℝ, solutions de l'équation (*) :
∀x, y ∈ ℝ, f(x + y) + f(x − y) = 2f(x)f(y).
  1. Déterminer les solutions constantes.
  2. Soit f une solution non constante.
    (i) Montrer que f(0) = 1 et que f^′(0) = 0.
    (ii) Montrer que f est une fonction paire.
  3. Soit f une solution non constante. On considère la fonction F définie sur ℝ^2 par:
F(x, y) = f(x + y) + f(x − y)
(i) Justifier que F est de classe C^2 sur ℝ^2.
(ii) Calculer les dérivées partielles secondes de F.
(iii) Des expressions de (∂^2 F)/(∂^2 x) et (∂^2 F)/(∂^2 y), déduire que f vérifie une équation différentielle de la forme :
f^(′′) − αf = 0.
Donner les solutions de cette équation selon les valeurs de α.
4. Déterminer toutes les solutions de l'équation (*).

Exercice 3

Soit P un plan affine Euclidien muni d'un repère orthonormé (O, i⃗, j⃗).
Soit M un point de P distinct de O. On note M^′ l'unique point sur la droite OM tel que OM^– ⋅ OM^′^– = 1. On remarquera que M^′ est distinct de O.
  1. Exprimer OM^′^(→−) en fonction de OM^(→−) et ‖OM^(→−)‖.
  2. Exprimer les coordonnées ((x^′)/(y^′)) de M^′ en fonction des coordonnées (x/y) de M.
On note σ l'application définie ci-dessus de P∖{O} dans lui-même définie par σ(M) = M^′.
3. Montrer que σ^2 = Id. En déduire que σ est une bijection de P∖{O} sur lui-même.
4. Soit D une droite du plan P passant par le point O. Montrer que:
σ(D∖{O}) = D∖{O}
  1. On considère R la région du plan définie par :
R = {(x/y)/ − x < y < x}
Montrer que σ(R) = R.
6. On considère S et T les régions du plan définies par :
S, = {(x/y)/ − x < y < x et x ⩾ 1}; T, = {(x/y)/ − x < y < x et (x − 1/2)^2 + y^2 ⩽ 1/4}
Représenter sur un graphique les régions S et T. Montrer que σ(S) ⊂ T.
On considère la courbe H de P définie par l'équation x^2 − y^2 = 1 avec x > 0.
7. Quelle est la nature de H ? représenter H.
8. Montrer que σ(H) ⊂ T.
9. Montrer que la courbe H peut être paramétrée par
{x = 1/cosu; y = tanu; u ∈ ] − π/2, π/2[
  1. En déduire que la courbe σ(H) est paramétrée par :
{x = cosu/(1 + sin^2 u); y = sinucosu/(1 + sin^2 u); u ∈ ] − π/2, π/2[
  1. En introduisant la variable θ telle que tanθ = sinu, démontrer que la courbe σ(H) admet pour équation polaire r = √(cos2θ) avec θ ∈ ] − π/4, π/4[.
  2. Représenter σ(H).

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