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Polytechnique Physique 2 PC 2004Sujet

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE

ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2004

filière PC

DEUXIÈME COMPOSITION DE PHYSIQUE

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Lévitation magnétique

Le but de ce problème est d'interpréter certaines expériences de lévitation conduites récemment sur des substances dites diamagnétiques comme l'eau, le graphite, les matières plastiques... Ces expériences sont rendues possibles à température ordinaire grâce à l'obtention de champs magnétiques élevés, supérieurs en général à 10 T .
Dans tout le problème, le référentiel du laboratoire, noté (R), est supposé galiléen, Oxyz en étant un repère orthonormé. C'est le référentiel unique d'étude des parties II, III et IV.

Formulaire

En coordonnées cylindriques (r, φ, z), les composantes d'un vecteur A⃗ sont notées (A_r, A_φ, A_z).
divA⃗ = 1/r, (∂(rA_r))/(∂r) + 1/r(∂A_φ)/(∂φ) + (∂A_z)/(∂z); (rot^(→−)A⃗)_r, = 1/r(∂A_z)/(∂φ) − (∂A_φ)/(∂z); (rot^(→−)A⃗)_φ, = (∂A_r)/(∂z) − (∂A_z)/(∂r); (rot^(→−)A⃗)_z, = 1/r(∂(rA_φ))/(∂r) − 1/r(∂A_r)/(∂φ)
Identité vectorielle : a⃗ ∧ (b⃗ ∧ c⃗) = (a⃗ ⋅ c⃗)b⃗ − (a⃗ ⋅ b⃗)c⃗
On note A la norme de tout vecteur A⃗

Composition des accélérations

R^′ étant un référentiel en rotation par rapport au référentiel R à la vitesse angulaire Ω⃗ constante autour d'un axe fixe passant par l'origine :
a⃗_((R)) = a⃗_((R^′)) + 2Ω⃗ ∧ v⃗_((R^′)) + Ω⃗ ∧ (Ω⃗ ∧ r⃗)
Force exercée par un champ magnétique non uniforme B⃗(x, y, z) sur un moment magnétique μ⃗ :
F_x = μ⃗ ⋅ (∂B⃗)/(∂x), F_y = μ⃗ ⋅ (∂B⃗)/(∂y), F_z = μ⃗ ⋅ (∂B⃗)/(∂z)

Données numériques :

Constante d'Avogadro, : N_A, = 6, 02 × 10^(23) mol^(− 1); Champ de pesanteur, : g, = 9, 81 m ⋅ s^(− 2); Charge élémentaire, : e, = 1, 60 × 10^(− 19)C; Masse de l'électron, : m_e, = 0, 91 × 10^(− 30) kg; Masse d'un nucléon, : M_N, = 1, 66 × 10^(− 27) kg; Permittivité du vide, : ε_0, = 8, 85 × 10^(− 12) F ⋅ m^(− 1); Perméabilité du vide, : μ_0, = 4π × 10^(− 7)H ⋅ m^(− 1)

I. Champ magnétique et orbites électroniques

Un noyau fixe, de charge Ze, est placé en O. Un électron de charge − e, soumis à l'interaction électrostatique du noyau, décrit une trajectoire circulaire ( C ) de rayon r_0.
1.a) Écrire l'équation E_((R) du mouvement de l'électron dans (R) et donner sa pulsation ω_0 en fonction de Z, e, m_e, et r_0.
b) En assimilant la trajectoire ( C ) à une spire de courant, donner la relation entre le moment cinétique L⃗ de l'électron par rapport à O et le moment magnétique μ⃗ associé à (C).
c) Application numérique. Calculer ω_0 et μ pour r_0 = 1 × 10^(− 10) m et Z = 1.
2. On applique à ce système un champ magnétique B⃗, uniforme et constant.
a) Écrire dans ( R ) l'équation du mouvement de l'électron.
b) On considère un référentiel ( S ), lié au repère Ox^′ y^′ z^′, en rotation par rapport à (R), à la vitesse angulaire Ω⃗ constante. Écrire l'équation E_((S)) du mouvement de l'électron dans ce référentiel.
c) Déterminer Ω⃗, en fonction de e, m_e et B⃗, pour que E_((S)) ne contienne plus de terme linéaire en B⃗. Calculer la valeur correspondante de Ω pour B = 10 T.
d) Expliciter les termes d'ordre B^2 que contient alors E_((S)). Évaluer numériquement leur importance relative dans l'équation en utilisant les résultats numériques de 1.c). Ils seront par la suite négligés. Montrer que dans ces conditions il y a identité formelle des équations E_((S)) et E_((R)).
e) On considère le cas où B⃗ = Be⃗_z est orthogonal à ( C ). En admettant que la trajectoire (C) n'est pas modifiée par la présence du champ, déterminer la variation ΔL⃗ du moment cinétique par rapport à O et due à l'introduction du champ. Quelle est la variation associée Δμ⃗ du moment magnétique?
f) Calculer numériquement Δμ_z/μ_z pour B = 10 T et les valeurs données en 1.c).
3. L'établissement du champ magnétique, s'effectue en réalité sur une durée τ très longue devant la période du mouvement électronique. Soit B_z(t) la valeur instantanée du champ, avec B_z(0) = 0 et B_z(t) = B pour t ≥ τ. On le suppose orthogonal à ( C ) à tout instant.
a) Donner l'expression du flux de B⃗ à travers un cercle de rayon r et d'axe Oz, puis celle de la f.é.m induite le long de la circonférence de ce cercle. En déduire la composante orthoradiale E_φ du champ électrique induit.
b) Écrire l'équation d'évolution temporelle de L_z. En déduire que L_z − e/2r^2 B est une constante du mouvement.
c) Montrer que la variation ΔL_z que l'on peut en déduire est compatible avec celle obtenue en 2.e) si l'on admet que la trajectoire n'est pas modifiée.
4. Un corps solide ou liquide contient N atomes identiques par unité de volume; le noyau de chaque atome contient Z protons et A − Z neutrons.
a) On suppose que les différentes orbites électroniques de l'atome ont des orientations telles que le moment magnétique électronique total est nul en l'absence de champ magnétique. En supposant valable pour l'ensemble du cortège électronique l'équivalence de l'application du champ magnétique et de la rotation à la vitesse angulaire Ω⃗ déterminée en 2.c), montrer que l'atome acquiert sous l'effet d'un champ B⃗ un moment magnétique donné par :
μ⃗^(at) = − (Ze^2(x^2 + y^2^–))/(4m_e)B⃗
où (x^2 + y^2^–) désigne une moyenne sur les différentes orbites électroniques repérées par rapport au centre de l'atome.
b) μ_R désignant la perméabilité relative d'un matériau, on pose μ_R = 1 + χ, χ étant appelé la susceptibilité magnétique. Dans le cas où |χ|≪1,justifier que l'on puisse adopter la relation approchée M⃗ ≃ χ(B⃗/μ_0) où B⃗ est le champ magnétique externe appliqué et M⃗ le vecteur aimantation du corps.
c) Application numérique. En supposant cette hypothèse vérifiée, calculer χ pour un corps de masse volumique ρ = 1 × 10^3 kg ⋅ m^(− 3), avec Z/A = 1/2 et x^2 + y^2^– = 1 × 10^(− 20) m^2.

II. Lévitation dans un champ magnétique à symétrie de révolution

  1. Un champ magnétique statique B⃗(r⃗) possède la symétrie de révolution autour de l'axe Oz dans une région où le vecteur densité de courant est nul. On cherche à préciser analytiquement ce champ au voisinage de cet axe de symétrie, en utilisant un système de coordonnées cylindriques (r, φ, z).
    a) Écrire les équations satisfaites par B⃗ au voisinage de l'axe Oz.
    b) Compte tenu des propriétés de symétrie du champ B⃗, quelles en sont les composantes non nulles et de quels paramètres dépendent-elles?
    c) Soit M un point de l'axe Oz de cote z_M et P(r, φ, z_M + ζ) un point situé au voisinage immédiat de M. Vérifier que le développement en série de Taylor limité au deuxième ordre (inclus) en r et ζ du champ magnétique B⃗(P) :
B_r(P) = − a_1 r/2 − a_2 rζ B_z(P) = a_0 + a_1 ζ + a_2(2ζ^2 − r^2)/2,
satisfait aux équations du champ.
d) Exprimer les coefficients a_0, a_1 et a_2 en fonction de B_M = B(M), B_M^′ = (∂B)/(∂z)|_(z_M) et B_M^(′′) = (∂^2 B)/(∂z^2)|_(z_M).
e) Montrer que l'expression de B^2(P), en se limitant au deuxième ordre (inclus) en r et ζ, a pour expression
B^2(P) = B_M^2 + 2B_M B_M^′ ζ + (B_M^(′2) + B_M B_M^(′′))ζ^2 + (B_M^(′2) − 2B_M B_M^(′′))r^2/4
  1. L'axe Oz est vertical. On place au point P un corps homogène, de volume V, de masse volumique ρ et de susceptibilité magnétique χ. Il est soumis au champ magnétique précédent et au champ de pesanteur.
    a) Montrer que si |χ|≪1, la force qu'exerce le champ magnétique sur le corps « dérive » d'une énergie potentielle U_(mag) donnée par :
U_(mag) = − 1/(2μ_0)VχB^2(P)
le volume du corps étant considéré comme assez petit pour prendre la valeur de B⃗ au point P comme sa valeur moyenne sur le corps.
b) Soit U_(tot) l'énergie potentielle totale du corps; en donner l'expression à l'ordre 2 inclus en ζ et r.
c) On souhaite que M soit un point d'équilibre. Déduire de U_(tot) l'équation implicite qui permet de déterminer z_M.
d) Écrire les conditions de stabilité de cet équilibre en fonction de B_M, B_M^′, B_M^(′′) et χ.
e) Dans le cas d'un corps paramagnétique ( χ = χ_p > 0 ), montrer que l'équilibre est toujours instable.
f) Dans le cas d'un corps diamagnétique ( χ = χ_d < 0 ), préciser les conditions de stabilité. Donner les expressions donnant les pulsations ω_ζ et ω_r des petits mouvements autour de la position d'équilibre z_M en fonction de B_M, B_M^′ et B_M^(′′) et g.

III. Lévitation diamagnétique au voisinage d'une spire

  1. Le champ magnétique B⃗ est créé par une spire circulaire d'axe vertical Oz, O étant le centre de la spire, de rayon a. Elle est parcourue par un courant constant d'intensité I.
    a) Calculer le champ magnétique en tout point M de l'axe Oz.
    b) Déterminer les expressions de B_M, B_M^′ et de B_M^(′′) en fonction de B_0 = B_z(O), z et a.
    c) Montrer que la lévitation stable d'un corps diamagnétique ( χ = χ_d < 0 ) de petite taille n'est possible que si z_M se situe dans un intervalle de cotes [ z_(min), z_(max)] que l'on déterminera en fonction de a.
    d) Montrer que z_M = a/2 est une position d'équilibre stable possible. Quelle est la valeur de B_M^(′′) en ce point?
  2. Application numérique. Le corps a pour masse volumique ρ = 10^3 kg.m^(− 3) et pour susceptibilité magnétique χ_d = − 8, 8 × 10^(− 6). Le rayon de la spire vaut a = 1 × 10^(− 2) m; le fil de la spire un diamètre d de 1 × 10^(− 3) m et une résistivité de 10^(− 8)Ω ⋅ m.
    a) Calculer la valeur du champ magnétique B_0 au centre de la spire et l'intensité I du courant nécessaire pour avoir un équilibre en z_M = a/2.
    b) Calculer alors la puissance dissipée par effet Joule dans la spire. Commenter le résultat.

IV. Lévitation d'une sphère supraconductrice

Certains matériaux, refroidis à une température inférieure à une certaine température critique, deviennent supraconducteurs. En présence d'un champ magnétique, une caractéristique de cet état est l'expulsion totale du champ du sein de la matière, des courants surfaciques induits créant à l'intérieur du corps un champ magnétique exactement opposé au champ externe appliqué.
  1. Soit une sphère supraconductrice, de centre O et de rayon R, plongée dans un champ externe constant et uniforme à l'échelle de la sphère B⃗ = Be⃗_z.
    a) En utilisant les propriétés de symétrie de la situation, montrer qu'un potentiel vecteur
    pour le champ créé par les courants surfaciques est, en coordonnées cylindriques, de la forme A⃗ = A_φ e⃗_φ.
    b) Quel est le champ B⃗_(int) créé à l'intérieur de la sphère par les courants surfaciques? Calculer son flux à travers un cercle d'axe Oz, de rayon r et intérieur à la sphère. En déduire l'expression de A_φ = A_φ^(int) à l'intérieur de la sphère.
    c) Le potentiel vecteur d'un dipôle magnétique μ⃗ = μe⃗_z placé en O est donné en un point QparA⃗(Q) = A_φ e⃗_φ = (μ_0)/(4π)(μ⃗ ∧ OQ^(→−))/(|OQ|^3). Expliciter A_φ.
    d) Montrer que, en prenant pour le champ B⃗_(ext) créé par les courants surfaciques à l'extérieur de la sphère un potentiel vecteur de cette forme, la condition de continuité du potentiel avec l'intérieur peut être satisfaite à la surface de la sphère si le moment magnétique μ⃗ a pour valeur μ⃗ = − 3/(2μ_0)VB⃗, où V est le volume de la sphère.
    e) En déduire que dans un champ magnétique B⃗ non uniforme, une sphère supraconductrice, de suffisamment petites dimensions, est soumise à une force dérivant d'une énergie potentielle que l'on explicitera.
  1. Une petite sphère supraconductrice, de masse volumique ρ_s = 2, 5 × 10^3 kg ⋅ m^(− 3), est placée sur l'axe vertical d'une spire circulaire identique à celle étudiée en III.1.
    a) En transposant les résultats de III.2, quel est le champ magnétique B(0) au centre de la spire nécessaire pour que la sphère soit en lévitation à la cote z_M = a/2 ?
    b) Quelle est alors l'intensité I dans la spire et la puissance dissipée par effet Joule ?

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