CCINP Mathématiques 1 PC 2006Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Projections orthogonales, pseudo-solution et pseudo-inverse en algèbre linéaire euclidienne

Le sujet, en trois parties, étudie d'abord la composée de deux projections orthogonales qui commutent. Il propose ensuite une résolution approchée d'une équation linéaire sans solution grâce à la notion de pseudo-solution, puis généralise l'inverse d'une matrice carrée à une matrice rectangulaire par la notion de pseudo-inverse.

1Partie I : composée de deux projections orthogonales qui commutentCaractérisation du noyau, de l'image et du spectre de la composée de deux projecteurs orthogonaux qui commutent.
2Partie II : résolution approchée par pseudo-solutionIntroduction de la notion de pseudo-solution pour une équation linéaire sans solution exacte.
3Partie III : pseudo-inverse d'une matrice rectangulaireGénéralisation de la notion d'inverse d'une matrice carrée à une matrice rectangulaire.

Difficile. Le rapport indique que seuls les candidats capables d'aligner avec rigueur et rapidité de nombreux raisonnements d'algèbre linéaire et bilinéaire ont pu dépasser la moyenne, et que les parties II et III ont été trop rarement abordées faute de temps.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Oubli des carrés dans le théorème de Pythagore · Confusion entre projecteur orthogonal et endomorphisme orthogonal · Définition de la pseudo-solution mal comprise

Le jury déplore un manque de compréhension et de logique dans un grand nombre de copies, avec des confusions fréquentes entre endomorphisme orthogonal et endomorphisme symétrique. La première partie a concentré l'attention de tous les candidats sans que les points soient pour autant intégralement acquis, reléguant les parties II et III au second plan.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Oubli des carrés dans le théorème de PythagoreI.2.c
Dans la question I.2.c, de nombreux candidats oublient les carrés en appliquant le théorème de Pythagore.
2
Confusion entre projecteur orthogonal et endomorphisme orthogonalI.3.a
Le rapport signale des confusions fréquentes entre endomorphisme orthogonal et endomorphisme symétrique, ainsi qu'entre projecteur orthogonal et endomorphisme orthogonal.
3
Définition de la pseudo-solution mal compriseII.2
Beaucoup de candidats confondent pseudo-solution et solution exacte d'une équation qui n'existe pas toujours.
4
Distinction entre solution et pseudo-solutionII.3
Plusieurs questions de la partie II révèlent que les candidats ne distinguent pas solution et pseudo-solution.
5
Décomposition non utilisée dans la partie IIIIII.1.a, III.1.b
Les candidats qui n'utilisent pas les deux décompositions nécessaires proposent des solutions fausses, parfois très fantaisistes.

Ce qui a été bien réussi

La formule de projection de la question I.2.a est en général connue.
La question I.6.a, facile, a en général été bien traitée.

Conseils du jury

Vérifier systématiquement les hypothèses avant d'appliquer un théorème du cours, notamment sur la symétrie d'un endomorphisme.
Bien distinguer solution exacte et pseudo-solution avant de répondre.
Utiliser les décompositions fournies par l'énoncé plutôt que de chercher un raccourci.
Gérer son temps pour pouvoir aborder les parties II et III, souvent délaissées faute de temps.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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Les calculatrices sont interdites

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

$****$

Notations et objectifs

Dans tout le problème,

E

F

désignent deux espaces vectoriels euclidiens de dimensions au moins égales à 2. Pour chacun de ces espaces, le produit scalaire de deux vecteurs

x

y

et la norme d'un vecteur

x

sont respectivement notés (

x|y

) et

‖x‖

L(E, F)

désigne l'ensemble des applications linéaires de

E

dans

F

.
La matrice transposée d'une matrice

A

est notée

^i A

.
Les candidats pourront utiliser sans le redémontrer qu'un projecteur d'un espace euclidien est un projecteur orthogonal si et seulement si il est symétrique.

L’objet de la première partie est de caractériser la composée de deux projections orthogonales qui commutent. La seconde partie propose une résolution approchée d'une équation linéaire n'ayant pas de solution en introduisant la notion de pseudo-solution et la troisième partie généralise la notion d'inverse d'une matrice carrée à une matrice rectangulaire en introduisant la notion de pseudo-inverse.

PARTIE I

I. 1 Soit

x

y

deux vecteurs de

E, B

une base orthonormale de

E, X

Y

les matrices respectives de

x

y

dans la base

B

. Montrer que :

(x|y) = ^t XY = ^t YX

.
I. 2 Soit

H

un sous-espace vectoriel de

F

tel que

1 ⩽ dimH < dimF

. Soit

(e_1, e_2, \dots, e_k)

une base orthonormale de

H

p

le projecteur orthogonal de

F

sur

H

.
a) Pour tout

z \in F

, exprimer (sans justification)

p(z)

dans la base

(e_1, e_2, \dots, e_k)

.
b) Soit

C

une base orthonormale de

F

. Relativement à cette base

C

, on note

Z

la matrice d'un vecteur

z

F, M(p)

la matrice de

p

et pour tout

i ∈ {1, 2, …, k}, E_i

la matrice de

e_i

.
i) Montrer que pour tout

z \in F, M(p)Z = \sum_(i = 1)^k E_i^t E_i Z

.
ii) En déduire

M(p) = \sum_(i = 1)^k E_i^i E_i

.
c) Montrer que pour tout

z \in F, ‖p(z)‖ ⩽ ‖z‖

.
I. 3 Exemple : On note

M

la matrice définie par

M = 1/2(1, 0, - 1, 0; 0, 1, 0, - 1; - 1, 0, 1, 0; 0, - 1, 0, 1)

a) Montrer que

M

est la matrice dans la base canonique de

ℝ^4

, muni du produit scalaire usuel, d'un projecteur orthogonal de

ℝ^4

.
b) Donner une base orthonormale du noyau et une base orthonormale de l'image de ce projecteur.
I. 4 Soit

K

un second sous-espace vectoriel de

F, r

le projecteur orthogonal de

F

sur

K, λ

une valeur propre non nulle de

p

or et

u

un vecteur propre associé.
a) Montrer que

u

est élément de

H

et que

r(u) - λu

est élément de

H^⊥

.
b) Établir l'égalité :

λ‖u‖^2 = ‖r(u)‖^2

.
c) En déduire que toutes les valeurs propres de

p

or sont dans le segment

[0, 1]

.
I. 5 On suppose dans cette question que

p

r

commutent.
a) Montrer que

p \circ r

est un projecteur orthogonal.
b) Dans le cas où

p \circ r

est non nul, déterminer son spectre.
c) Montrer que :

Ker(p \circ r) = Kerp + Kerr

Im(p \circ r) = Imp \cap Imr

.
I. 6 On pose

m = dimF

et on choisit une base orthonormale de

F

telle que les matrices de

p

r

dans cette base soient respectivement les matrices décomposées en blocs:

P = (I_k, 0; 0, 0) et R = (A, B; C, D)

où

I_k

est la matrice unité d'ordre

k, A

une matrice carrée d'ordre

k

D

une matrice carrée d'ordre

m - k

.
a) Montrer que les matrices

A, B, C, D

vérifient les relations :

A^2 + BC = A, AB + BD = B, CB + D^2 = D, ^t A = A, ^t B = C, ^t D = D

b) Montrer que les quatre conditions suivantes sont équivalentes :
i) Le spectre de

p

or est inclus dans

{0, 1}

.
ii)

^t CC = 0

.
iii)

C = 0

.
iv)

p

r

commutent.

PARTIE II

Dans cette partie, sont donnés un élément

f

L(E, F)

et un élément

v

F

.
II. 1 En considérant la projection orthogonale de

v

sur l'image de

f

, montrer qu'il existe un élément

x_0

E

tel que :

‖f(x_0) - v‖ = min_(x \in E)‖f(x) - v‖

Dans la suite

x_0

sera appelée une pseudo-solution de l'équation :

f(x) = v

II. 2 Montrer que si

f

est injective, alors l'équation () admet une pseudo-solution unique.
II. 3 Montrer que $x_0$ est pseudo-solution de l'équation () si et seulement si pour tout

x

appartenant à

E : (f(x)|f(x_0) - v) = 0

.
II. 4 Soit

B

C

deux bases orthonormales de

E

F

respectivement. On appelle

A

la matrice de

f

dans les bases

B

C, V

la matrice de

v

dans

C

X_0

celle de

x_0

dans

B

. Ecrire sous forme matricielle l'équation

(f(x)|f(x_0) - v) = 0

et en déduire que

x_0

est pseudo-solution de l'équation (*) si et seulement si :

^†AAX_0 = ^†AV

II. 5 Exemple : Dans cette question, on prend

E = F = ℝ^3

munis du produit scalaire usuel. Relativement à la base canonique de

ℝ^3

, les matrices de

f

v

sont respectivement :

A = (1, 1, - 1; 1, 1, - 1; - 1, 2, 1) et V = (1; 0; 1)

Déterminer les pseudo-solutions de l'équation

f(x) = v

.
II. 6 Application :

n

désignant un entier supérieur ou égal à deux, on considère trois éléments

a = (a_1, a_2, \dots, a_n), b = (b_1, b_2, \dots, b_n), c = (c_1, c_2, \dots, c_n)

ℝ^n

et on souhaite trouver deux réels

λ

μ

tels que la somme

\sum_(k = 1)^n(λa_k + μb_k - c_k)^2

soit minimale.
a) Montrer que ce problème équivaut à la recherche des pseudo-solutions d'une équation

(*) : f(x) = v

où

f

est un élément de

L(ℝ^2, ℝ^n)

. Préciser le vecteur

v

et donner la matrice de

f

dans les bases canoniques de

ℝ^2

ℝ^n

.
b) Comment doit-on choisir

a

b

pour que l'application

f

soit injective?
c) Lorsque cette dernière condition est réalisée, donner la solution du problème posé en exprimant

λ

μ

à l'aide de produits scalaires dans

ℝ^n

PARTIE III

Dans cette partie,

f

désigne toujours un élément de

L(E, F)

.
III. 1 a) Soit

y

un élément de

F

. Montrer qu'il existe deux vecteurs

x

y^'

tels que :

y = f(x) + y^', (x, y^') \in (Kerf)^⊥ \times (Imf)^⊥

b) Montrer qu'un tel couple (

x, y^'

) est unique. On peut alors définir l'application

g

F

vers

E

qui à

y

fait correspondre

x

.
c) Montrer que l'application

g

est linéaire.

g

sera appelée l'application pseudo inverse de

f

.
III. 2 Déterminer le noyau et l'image de

g

.
III. 3 a) Montrer que

g \circ f

est le projecteur orthogonal de

E

sur

(Kerf)^⊥

.
b) Montrer que

f \circ g

est le projecteur orthogonal de

F

sur

Imf

.
III. 4 Premier exemple : On prend

E = ℝ^3, F = ℝ^2

munis de leur produit scalaire usuel. La matrice de

f

relativement aux bases canoniques est

A = (1, 1, 0; 0, 1, 1)

Déterminer la matrice de

g

relativement aux bases canoniques.
III. 5 Dans cette question, on suppose que

E = F

et que

f

est un endomorphisme symétrique.
a) Montrer que

Kerf = (Imf)^⊥

Imf = (Kerf)^⊥

.
b) Montrer que tout vecteur propre de

f

est vecteur propre de

g

. (On pourra discuter suivant que la valeur propre associée est nulle ou non).
c) En déduire que

g

est aussi un endomorphisme symétrique de

E

.
III. 6 Deuxième exemple : On prend

E = F = ℝ^3

muni du produit scalaire usuel. La matrice de

f

relativement à la base canonique est

A = (3, 2, 2; 2, 2, 0; 2, 0, 4)

Déterminer la matrice de

g

relativement à la base canonique.

Fin de l'énoncé

Questions fréquentes

3 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 CCINP PC 2006 ?

Le sujet porte sur les projecteurs orthogonaux dans un espace euclidien, la notion de pseudo-solution pour une équation linéaire sans solution, et la notion de pseudo-inverse d'une matrice rectangulaire.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées ?

Le jury relève des confusions entre endomorphisme orthogonal et endomorphisme symétrique, entre solution et pseudo-solution, et des raisonnements incomplets dans la partie III sur le pseudo-inverse.

Les parties II et III de ce sujet sont-elles difficiles d'accès ?

Oui, le rapport indique qu'elles ont été trop rarement abordées, la première partie ayant absorbé l'essentiel du temps des candidats.

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