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Mines Mathématiques 1 PC 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

Inégalité de Prékopa et Leindler

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Présentation du sujet

Difficile
Inégalité de Prékopa et Leindler, fonctions log-concaves et inégalité géométrique de Brunn-Minkowski
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Ce problème de mathématiques I, filière PC, démontre l'inégalité de Prékopa et Leindler, une forme inverse de l'inégalité de Hölder, d'abord dans le cas unidimensionnel pour des fonctions continues strictement positives puis par un procédé d'approximation dans le cas général. Il étudie ensuite les fonctions log-concaves avant d'en tirer une application géométrique importante, l'inégalité de Brunn-Minkowski.

  1. 1Partie I : une inégalité de Prékopa et LeindlerDémonstration de l'inégalité de Prékopa-Leindler en dimension 1, d'abord pour des fonctions continues strictement positives puis dans le cas général par approximation.
  2. 2Partie II : fonctions log-concavesÉtude des fonctions log-concaves et extension de l'inégalité de Prékopa-Leindler dans R².
  3. 3Partie III : quelques applications géométriquesDémonstration d'une version de l'inégalité géométrique de Brunn-Minkowski à partir des résultats précédents.

Difficile. Le jury indique que le bilan est assez décevant dans l'ensemble : au-delà de dernières questions délicates, des lacunes sont observées dès les premières questions classiques d'analyse, et les dernières questions du problème sont qualifiées de rarissime ou exceptionnellement abordées.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Inégalités inventées et fausses · Confusion entre fonctions et applications linéaires · Théorème de convergence dominée mal appliqué
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Le jury constate un bilan décevant, avec des lacunes sur des points élémentaires d'analyse dès les premières questions et une difficulté des candidats à prendre du recul sur la structure globale du problème. La fin du problème, plus délicate, n'a été abordée que dans très peu de copies.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Inégalités inventées et faussesQuestion 2

    Pour établir une inégalité de convexité, de nombreux candidats utilisent à tort l'inégalité du binôme, tentent une récurrence sur un paramètre réel, ou avancent des inégalités grossièrement fausses.

    « question a été la source d’une large variété d’erreurs. »
  2. 2
    Confusion entre fonctions et applications linéairesQuestion 5

    Certains candidats considèrent des fonctions u, v ou w comme des applications linéaires et tentent d'utiliser des arguments de noyau et d'image pour démontrer une injectivité, ce qui n'a pas de sens dans ce contexte.

    « ce qui ici n’a bien sûr aucun sens. »
  3. 3
    Théorème de convergence dominée mal appliquéQuestion 11

    L'introduction d'une troncature n'est pas vue, et de nombreux candidats énoncent le théorème de convergence dominée mais tentent de l'appliquer à des fonctions qui ne s'y prêtent pas.

  4. 4
    Application répétée de l'inégalité P-L mal compriseQuestion 13

    Cette question difficile demandait d'appliquer deux fois l'inégalité de Prékopa-Leindler pour des intégrales simples ; très peu de candidats en saisissent complètement le raisonnement.

  5. 5
    Existence de borne supérieure mal justifiéeQuestion 14

    L'énoncé et la vérification des hypothèses assurant l'existence d'une borne supérieure sont rarement bien écrits, et la définition de l'ensemble V(A) échappe à la plupart des candidats.

Ce qui a été bien réussi

  • La question 1 est en général traitée correctement.
  • La question 8 est réussie par les candidats qui appliquent correctement les inégalités établies, notamment celle de la question 2.
  • La question 12, facile et analogue à la question 6, n'a pas échappé aux candidats malgré quelques erreurs.

Conseils du jury

  • Répondre aux questions le plus précisément possible, avec des arguments simples et explicites.
  • Garder un regard critique sur ses propres arguments plutôt que de vouloir parvenir au résultat à tout prix.
  • Bien identifier la nature des objets manipulés (fonctions, applications linéaires) avant d'invoquer des outils d'algèbre linéaire.
  • Vérifier soigneusement les hypothèses des théorèmes utilisés, notamment pour la convergence dominée.
  • Prendre du recul sur la structure globale du problème pour mieux réutiliser les résultats des questions précédentes.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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A 2011 MATH I PC

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS 2011

PREMIÊRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l'épreuve : trois heures)

L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - PC
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Inégalité de Prékopa et Leindler.

Notations.

On notera ℝ l'ensemble des nombres réels, ℝ_+l'ensemble des nombres réels positifs et ℝ_+^∗ l'ensemble des nombres réels strictement positifs. On désignera par ℕ l'ensemble des entiers naturels et par ℕ^∗ l'ensemble des entiers naturels strictement positifs.
Soit n ∈ ℕ^∗. On notera C^0(ℝ^n, ℝ_+)(resp. C^0(ℝ^n, ℝ_+^∗) ) l'ensemble des fonctions continues de ℝ^n dans ℝ_+(resp. dans ℝ_+^∗ ).
Soient A et B deux parties non vides de ℝ^n. Pour tous réels a et b on notera aA + bB la partie de ℝ^n définie par
aA + bB = {ax + by, x ∈ A, y ∈ B}.
En particulier pour a = − 1, on écrit − A = { − x, x ∈ A}.
Si f désigne une fonction f : ℝ → ℝ bornée sur ℝ alors on pose ‖f‖_∞ = sup_(x ∈ ℝ)|f(x)|. Soit I un intervalle non vide de ℝ. On rappelle qu'une fonction g : I → ℝ est dite convexe si:
∀x, y ∈ I, ∀λ ∈ [0, 1], g(λx + (1 − λ)y) ≤ λg(x) + (1 − λ)g(y).
L'opposée d'une fonction convexe est une fonction concave.
On rappelle que si g est de classe C^1 sur I, alors g est convexe si et seulement sa dérivée g^′ est croissante (au sens large) sur I.
Pour toute fonction f : I → ℝ_+, tous x ∈ I et λ ∈ ]0, 1[, on écrira f(x)^λ pour (f(x))^λ.

Partie I. Une inégalité de Prékopa et Leindler.

  1. Soient λ un réel dans l'intervalle ]0, 1[, et a et b deux réels positifs. Montrer que
λa + (1 − λ)b ≥ a^λ b^(1 − λ)
(on pourra introduire une certaine fonction auxiliaire dont on justifiera la concavité). Montrer en outre que pour tout réel u > 1,
(λa + (1 − λ)b)^u ≤ λa^u + (1 − λ)b^u.
  1. Soient a et b deux réels positifs et λ un réel dans ]0, 1[. Montrer que
(a + b)^λ ≤ a^λ + b^λ
Dans toute cette partie λ est un réel appartenant à l'intervalle ]0, 1[ et f, g, h sont des fonctions de C^0(ℝ, ℝ_+)intégrables qui satisfont l'inégalité suivante
∀x ∈ ℝ, ∀y ∈ ℝ, h(λx + (1 − λ)y) ≥ f(x)^λ g(y)^(1 − λ)
Le but de cette partie est de montrer l'inégalité suivante, à laquelle on fera référence par "inégalité de Prékopa et Leindler", ou en abrégé "P-L":
∫_(− ∞)^(+ ∞)h(x)dx ≥ (∫_(− ∞)^(+ ∞)f(x)dx)^λ(∫_(− ∞)^(+ ∞)g(x)dx)^(1 − λ)
Dans les questions 3), 4) et 5) on supposera de plus que f et g sont strictement positives, c'est-à-dire pour tout réel x, f(x) > 0 et g(x) > 0.
3) On note F = ∫_(− ∞)^(+ ∞)f(x)dx et G = ∫_(− ∞)^(+ ∞)g(x)dx. Montrer que pour tout t dans l'intervalle ]0, 1 [ il existe un unique réel noté u(t) et un unique réel noté v(t) tels que
1/F∫_(− ∞)^(u(t))f(x)dx = t, 1/G∫_(− ∞)^(v(t))g(x)dx = t
(On pourra étudier les variations de la fonction : u ↦ 1/F∫_(− ∞)^u f(x)dx ).
4) Montrer que les applications u et v sont de classe C^1 sur l'intervalle ]0, 1[ et, calculer pour chaque t ∈ ]0, 1[ les nombres dérivés u^′(t) et v^′(t).
5) Montrer que l'ensemble image de l'application w définie sur ]0, 1[ par
∀t ∈ ]0, 1[, w(t) = λu(t) + (1 − λ)v(t)
est égal à ℝ. Puis prouver que w définit un changement de variable de ]0, 1[ sur ℝ. En utilisant ce dernier et ∫_(− ∞)^(+ ∞)h(w)dw, montrer que f, g et h satisfont l'inégalité "P-L" (1).
On pose Ψ(u) = exp(− u^2) pour tout réel u.
A partir de maintenant, on suppose que les fonctions f, g et h sont seulement à valeurs positives ou nulles.
6) Prouver que pour tous x, y ∈ ℝ,
Ψ(λx + (1 − λ)y) ≥ Ψ(x)^λ Ψ(y)^(1 − λ)
Soit M un réel strictement positif. On suppose dans les questions 7), 8) et 9) que f et g sont nulles en dehors de l'intervalle [ − M, M]. On note Λ = min(λ, 1 − λ), Θ = max(λ, 1 − λ) et, Mˆ = Mmax(λ, 1 − λ). Pour chaque réel u on pose:
Ψ_M(u) = {exp(− 1/(Θ^2)(|u| − Mˆ)^2),, si |u| > Mˆ; 1,, si |u| ≤ Mˆ
  1. Soit x, y ∈ ℝ. On pose z = λx + (1 − λ)y. Prouver que si |y| ≤ M alors Ψ(x) ≤ Ψ_M(z). De même, prouver que si |x| ≤ M alors Ψ(y) ≤ Ψ_M(z).
  2. Soit ε ∈ ]0, 1[, f_ε = f + εΨ et g_ε = g + εΨ. Montrer que
∀x, y ∈ ℝ, f_ε(x)^λ g_ε(y)^(1 − λ) ≤ h(z) + ε^Λ(‖f‖_∞^λ + ‖g‖_∞^(1 − λ))(Ψ_M(z))^Λ + εΨ(z),
où z = λx + (1 − λ)y. On commencera par appliquer l'inégalité de la question 2 , puis les deux questions précédentes. On rappelle que f(x) = 0 si |x| > M et que g(y) = 0 si |y| > M).
9) En déduire que si f et g sont nulles en dehors d'un intervalle borné alors l'inégalité "P-L" est satisfaite.
Soit n ∈ ℕ. On désigne par χ_n : ℝ → ℝ la fonction continue qui vaut 1 sur [ − n, n], qui vaut 0 sur ] − ∞, − n − 1] ∪ [n + 1, + ∞[ et qui est affine sur chacun des deux intervalles [ − n − 1, − n] et [n, n + 1].
10) Soit n ∈ ℕ^∗. Montrer que:
∀x, y ∈ ℝ, χ_n(x)^λ χ_n(y)^(1 − λ) ≤ χ_(n + 1)(λx + (1 − λ)y).
  1. Montrer que l'inégalité "P-L" (1) est satisfaite (si on choisit d'utiliser le théorème de convergence dominée alors on vérifiera soigneusement que ses conditions de validité sont remplies).

Partie II. Fonctions log-concaves.

Soit n un entier strictement positif. On dira qu'une fonction f de ℝ^n dans ℝ_+est log-concave si pour tout λ dans l'intervalle ]0, 1[
∀x ∈ ℝ^n, ∀y ∈ ℝ^n, f(λx + (1 − λ)y) ≥ f(x)^λ f(y)^(1 − λ).
  1. Soit N : ℝ^n → ℝ_+une norme sur l'espace vectoriel ℝ^n. Prouver alors que l'application définie par
∀x ∈ ℝ^n, f(x) = exp(− N(x)^2),
est continue et log-concave sur ℝ^n. (On pourra observer que la fonction u ↦ u^2 est convexe sur ℝ^+).

Partie III. Quelques applications géométriques.

Dans cette partie on admettra que l'inégalité "P-L" démontrée dans la partie I reste vraie dans l'espace des fonctions de ℝ dans ℝ_+continues par morceaux et intégrables. C'est-à-dire que pour toutes fonctions f, g, h de ℝ dans ℝ_+, continues par morceaux et intégrables sur ℝ, et pour tout λ dans l'intervalle ]0, 1[ tels que
∀x ∈ ℝ, ∀y ∈ ℝ, h(λx + (1 − λ)y) ≥ f(x)^λ g(y)^(1 − λ),
l'inégalité suivante est vérifiée
∫_(− ∞)^(+ ∞)h(x)dx ≥ (∫_(− ∞)^(+ ∞)f(x)dx)^λ(∫_(− ∞)^(+ ∞)g(x)dx)^(1 − λ)
Soit f une fonction continue de ℝ^2 dans ℝ. On dit que f est à support borné si il existe un réel M > 0 tel que f est nulle en dehors du carré [ − M, M]^2, c'est à dire que f(x, y) = 0 si |x| > M ou |y| > M.
On admettra que
∫_(− M)^M(∫_(− M)^M f(x, y)dy)dx = ∫_(− M)^M(∫_(− M)^M f(x, y)dx)dy
et que cette valeur commune ne dépend pas du choix de M. On définit alors l'intégrale double ∬_(ℝ^2)f(x, y)dxdy de f(x, y) sur ℝ^2 comme la valeur commune des deux intégrales itérées écrites dans l'égalité précédente.
13) Soit λ ∈ ]0, 1[ et f, g, h des fonctions de ℝ^2 dans ℝ_+continues à support borné et telles que
∀X ∈ ℝ^2, ∀Y ∈ ℝ^2, h(λX + (1 − λ)Y) ≥ f(X)^λ g(Y)^(1 − λ).
Montrer que
∬_(ℝ^2)h(x, y)dxdy ≥ (∬_(ℝ^2)f(x, y)dxdy)^λ(∬_(ℝ^2)g(x, y)dxdy)^(1 − λ)
Dans la suite on munit ℝ^2 de la norme euclidienne canonique.
14) Soit A une partie ouverte bornée non vide de ℝ^2. On désigne par C(A) l'ensemble des fonctions continues f de ℝ^2 dans [0, 1] telles que ∀(x, y) ∈ ℝ^2∖A, f(x, y) = 0 (en d'autres termes f est nulle hors de A ). Montrer alors que la borne supérieure
sup_(f ∈ C(A))∬_(ℝ^2)f(x, y)dxdy
existe et définit un réel noté V(A).
15) On considère un rectangle ]a, b[ × ]c, d[ du plan ℝ^2, avec a < b et c < d. Calculer le réel V(]a, b[ × ]c, d[ ). Que représente-t-il? (On pourra utiliser des fonctions du type
(x, y) ↦ f(x, y) = φ(x)φ(y)
où φ et φ sont des fonctions continues et affines par morceaux bien choisies).
16) Soient A et B deux parties ouvertes bornées non vides de ℝ^2 et λ ∈ ]0, 1[. Vérifier que λA + (1 − λ)B est un ouvert borné de ℝ^2. Puis montrer que
V(λA + (1 − λ)B) ≥ V(A)^λ V(B)^(1 − λ)
Pour démontrer cette inégalité, on utilisera le résultat admis suivant. Pour tout f ∈ C(A) et g ∈ C(B), la fonction h déterminée par:
∀Z ∈ ℝ^2, h(Z) = sup{f(X)^λ g(Y)^(1 − λ)/X, Y ∈ ℝ^2, Z = λX + (1 − λ)Y}
définit une fonction continue sur ℝ^2.
17) Soit u : ℝ^2 → ]0, + ∞[ une fonction continue et log-concave au sens de la partie II. Prouver que l'inégalité précédente reste vraie si on remplace l'application V par l'application γ définie pour toute partie ouverte bornée (non vide) A de ℝ^2 par
γ(A) = sup_(f ∈ C(A))∬_(ℝ^2)f(x, y)u(x, y)dxdy

Fin du Problème.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques I des Mines PC 2011 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques I des Mines PC 2011 ?

Elle porte sur l'inégalité de Prékopa et Leindler, les fonctions log-concaves et l'inégalité géométrique de Brunn-Minkowski, en mobilisant les inégalités de convexité et les théorèmes fondamentaux de l'intégration.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve de maths I Mines PC ?

Le jury signale des inégalités inventées et fausses, une confusion entre fonctions et applications linéaires, une mauvaise application du théorème de convergence dominée et des lacunes sur des points élémentaires d'analyse.

Ce sujet des Mines PC 2011 sur l'inégalité de Prékopa-Leindler est-il difficile ?

Oui, le jury qualifie le bilan de décevant dans l'ensemble, avec des difficultés dès les premières questions et une fin de problème très rarement abordée complètement.

Faut-il bien maîtriser les inégalités de convexité pour ce sujet des Mines PC ?

Oui, la démonstration de l'inégalité de Prékopa-Leindler repose largement sur la manipulation rigoureuse des inégalités de convexité et des théorèmes fondamentaux de l'intégration.

Pas de description pour le moment