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ENS Physique PC 2000, épreuve LCSujet

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ÉTUDE ET UTILISATION D'UN APPAREIL

Å

MESURER LES FORCES DE SURFACE

Ce problème étudie un dispositif expérimental de mesure de forces et de déplacements. Il comprend trois parties totalement indépendantes. La première partie s'intéresse au principe mécanique des capteurs de force et de déplacement de l'appareil, la seconde à leur principe électronique. Enfin, la troisième partie analyse l'une des applications de cet appareil en rhéologie.

Formulaire

Constante physique.

  • Permittivité diélectrique du vide: ε_0 = (10^(− 9))/(36π)C^2 ⋅ J^(− 1) ⋅ m^(− 1)
Opérateurs d'analyse vectorielle en coordonnées cylindriques ( r, θ, z ).
  • Divergence d'un vecteur V⃗ :
divV⃗ = 1/r(∂(rV_r))/(∂r) + 1/r(∂V_θ)/(∂θ) + (∂V_z)/(∂z)
  • Gradient d'un scalaire f :
grad^(→−)f = {(∂f)/(∂r); 1/r(∂f)/(∂θ); (∂f)/(∂z)
  • Laplacien d'un scalaire f :
Δf = 1/r∂/(∂r)(r(∂f)/(∂r)) + 1/(r^2)(∂^2 f)/(∂θ^2) + (∂^2 f)/(∂z^2)
  • Laplacien d'un vecteur V⃗ :
ΔV⃗ = {ΔV_r − 1/(r^2)(V_r + 2(∂V_θ)/(∂θ)); ΔV_θ − 1/(r^2)(V_θ − 2(∂V_r)/(∂θ)); ΔV_z

Présentation.

L'appareil que nous étudions permet de mesurer les forces d'interaction entre deux surfaces en fonction, notamment, de leur distance de séparation. Ces mesures permettent d'accéder à certaines caractéristiques physico-chimiques des surfaces et/ou des solutions placées entre ces surfaces. Elles nécessitent une très grande résolution, de l'ordre de 10^(− 10) m pour les déplacements, et de 10^(− 7) N pour les forces.
La structure de cet appareil est illustrée figure 1. Les surfaces en interaction (1) sont ici représentées par une sphère et un plan. Chacune d'elles est supportée par une platine (2) (ou (3)) liée au bâti (0) par l'intermédiaire d'un système élastique (4) (ou (5)). Chaque système élastique, que nous appellerons dans la suite un cantilever, est constitué de deux lames métalliques flexibles parallèles. Cette géométrie permet d'assurer le guidage en translation (vertical) des platines. Un dispositif de mesure de distance (7), placé entre les deux platines, donne accès à leur déplacement relatif, et donc à celui des surfaces. Un dispositif identique (8), placé entre le bâti ( 0 ) et la platine ( 3 ) permet la mesure du déplacement de cette dernière et d'accéder à la force d'interaction (par l'intermédiaire des caractéristiques élastiques du cantilever (5), ou, préférentiellement, par étalonnage). Un transducteur électromécanique (6) permet d'imposer un déplacement relatif (suivant la verticale) des deux surfaces. Ce déplacement est contrôlé par une boucle d'asservissement par l'intermédiaire du capteur (7). Les origines des déplacements sont, a priori, indéterminées. Leur connaissance nécessite quelques expériences préliminaires.
Fig. 1: Structure d'un appareil à mesurer les forces d'interaction entre deux surfaces.

Première partie

Étude mécanique.

La figure 2 représente la déformation du cantilever lorsque la platine qu'il guide est soumise à une force F⃗ = Fy⃗ qui lui impose un déplacement Y_P. Ce cantilever se comporte alors comme un ressort de rappel de raideur K ≡ F/(Y_P) que nous allons relier aux caratéristiques mécaniques et géométriques de ses lames.

I Déformation axiale d'une barre.

Considérons, au sein d'un matériau homogène et isotrope, un élément parallélépipèdique de volume dV = dx dy dz. Nous supposons que la surface dS = dy dz, de vecteur normal unitaire x⃗, est soumise à une force élémentaire dN⃗ = dNx⃗. Dans l'approximation des petites déformations, la force par unité de surface σ⃗, ou
Fig. 2: Illustration de la déformation du cantilever associée au déplacement Y_P d'une platine.
contrainte, s'exerçant sur cet élément de surface s'exprime:
σ⃗ ≡ (dN⃗)/(dS) = Eεx⃗
où ε représente l'allongement relatif de l'élément, c'est-à-dire son accroissement de longueur selon ( Ox ) rapporté à sa longueur initiale. E est une constante caractéristique du matériau, appelée module d'élasticité (longitudinal). Dans tout le problème nous ne nous intéresserons qu'à des allongements relatifs selon l'axe ( Ox ).
  1. Préciser la dimension du module d'élasticité E.
  2. Considérons une barre rectiligne de longueur L, de section uniforme S et de module d'élasticité E. À l'une de ses extrémités est appliquée une force N⃗ = Nx⃗ purement axiale.
    (a) Relier l'allongement δ de la barre à la force N qui lui est appliquée (on suppose |δ|≪L ).
    (b) Que vous rappelle le résultat obtenu?
  3. Nous notons u⃗(M) ≡ MM^′^(→−) le déplacement d'un point M(x, y, z) du matériau sous l'action des forces qui lui sont appliquées.
    En généralisant le cas particulier pour lequel u⃗(M) = u(x, y, z)x⃗ (figure 3), établir que l'allongement relatif (selon ( Ox) ) s'exprime:
ε = (∂u_x)/(∂x)
où u_x est la composante selon x⃗ du déplacement u⃗.
Fig. 3: Déplacement de deux points voisins.

II Déformation de flexion d'une lame.

Considérons une lame du cantilever modélisée par une barre, initialement rectiligne, de section S rectangulaire et uniforme (figure 4). Sa longueur est notée L (dimension selon ( Ox )), sa hauteur e ( e≪L ) (dimension selon ( Oy )), et sa largeur b (dimension selon ( Oz )). Le point G(x) ≡ G(x, y = 0, z = 0)(x ∈ [0, L]) qui est indiqué sur les figures 4 et 5 est situé sur la fibre de la barre dont l'élongation est nulle.
Dans l'hypothèse où les déformations demeurent petites, nous souhaitons relier le déplacement vertical du point G(x), noté Y(x), aux efforts qui sont appliqués à la barre, et à ses caractéristiques. Dans ce cadre, nous adoptons le modèle linéaire de déformation locale illustré figure 5 (la grandeur M(x) sera définie ultérieurement), et nous supposons que:
  • Le déplacement du point G(x) s'effectue selon y⃗, soit, GG^′^(→−) = Y(x)y⃗ (nous négligeons donc les légers déplacements horizontaux des points G_1 et G_2 nécessaires pour assurer la conservation de la longueur de la portion de fibre ( G_1 G_2 )).
  • La section droite d'abscisse x tourne d'un angle θ, mais tout en restant plane.
    − |θ|≪1 et θ ≃ (dY)/(dx).
Fig. 4: Barre (représentée non déformée) modélisant une lame du cantilever.
Fig. 5: Modèle linéaire de déformation locale associée à la flexion de la barre. Il s'agit d'un agrandissement de la région [x − dx, x] de la figure 4.
  1. Exprimer l'allongement relatif ε de la portion de fibre ( M_1 M_2 ) en fonction de y et du rayon de courbure local R(x) de la barre.
  2. En déduire que la contrainte σ⃗ = σx⃗ qu'exerce, au point M(x, y, z), la partie droite de la barre (portion [x, L] ) sur sa partie gauche (portion [0, x] ), s'exprime:
σ = − Ey/(R(x))
  1. Il s'agit maintenant de situer la fibre dont l'élongation est nulle. Sachant que la barre n'est soumise à aucune force selon l'axe ( Ox ), justifier que le point G(x) est le centre de masse de la section d'abscisse x.

III Relation courbure-moment de flexion.

Nous supposons que tous les couples et moments des forces s'appliquant sur la barre sont portés par l'axe ( Oz ), et que tous les efforts auxquels elle est soumise sont portés par l'axe ( Oy ).
Nous notons M^(→−)(x) = M(x)z⃗(x ∈ [0, L]) le moment résultant, par rapport au point G(x), de toutes les actions mécaniques extérieures s'exerçant sur la partie [x, L] de la barre. Son calcul s'effectue sur la barre non déformée. M^(→−) est appelé moment de flexion.
  1. En traduisant l'équilibre mécanique de la partie [x, L] de la barre, établir que le moment M(x) est lié à la courbure locale selon l'équation:
M(x) = (EI)/(R(x)) où I = b∫_(− e/2)^(+ e/2) dyy^2.
  1. Expliciter I en fonction de b et e.
Pour de faibles déformations, 1/(R(x)) ≃ (d^2 Y)/(dx^2) ≡ Y^(′′)(x), et par conséquent la relation 8 devient:
EIY^(′′)(x) = M(x)
C'est sous cette forme que nous retiendrons désormais la relation courbure-moment de flexion.

IV Raideur du cantilever.

Comme la figure 2 le représente, nous supposons, qu'au cours de la déformation, le bâti et la platine maintiennent les extrémités de chacune des lames élastiques orthogonales à l'axe ( Oy ) (encastrements infiniment rigides). Nous notons C⃗ = Cz⃗ le couple "d'encastrement" appliqué par la platine à l'extrémité de chacune des lames du cantilever.
  1. Donner un exemple mécanique de couple de forces.
  2. Indiquer les conditions aux limites que la déformation Y(x) doit satisfaire.
  3. Préciser pourquoi, indépendamment de la force F appliquée par l'extérieur sur la platine, il est nécessaire d'introduire le couple C.
  4. Établir que le déplacement Y_P est lié à la force F selon l'égalité:
Y_P = (FL^3)/(24EI)
  1. Déterminer e pour que chacun des cantilevers possède une raideur K = 4000 N ⋅ m^(− 1), avec E = 2 ⋅ 10^(11) N ⋅ m^(− 2), L = 10 cm, et b = 1 cm.
  2. Estimer la fréquence de résonance du système constitué d'un cantilever et de la platine, de masse m = 30 g, qu'il soutient.
    Cet appareil vous paraît-il sensible aux perturbations mécaniques?

Deuxième partie

Mesure des forces et déplacements.

La mesure des déplacements met en œuvre un oscillateur électrique dont l'un des éléments fixant sa fréquence est sensible au déplacement. La structure simplifiée d'un tel oscillateur est représentée figure 6. L'amplificateur possède un gain en tension (à vide) noté μ (supposé réel), une résistance de sortie R(R > 0), et une résistance d'entrée (non représentée) que nous supposons infinie. Sa sortie (2) est connectée à un filtre constitué par le pont d'impédances complexes ( Z_1, Z_2, Z_3 ). La sortie (4) du filtre est reliée à l'entrée (1) de l'amplificateur. Nous supposons que cet oscillateur fonctionne en régime harmonique à la pulsation Ω.
Fig. 6: Structure de l'oscillateur.

V Condition et pulsation d'oscillation.

  1. Etablir la relation liant les éléments du circuit et traduisant la condition d'oscillation du système bouclé.
  2. Les impédances Z_i sont choisies purement imaginaires et notées Z_i = jB_i ( j représente le nombre complexe de module unitaire et d'argument + π/2 ).
    (a) Montrer que de la relation précédente se déduisent deux relations, indépendantes de R, que l'on peut écrire sous la forme:
{b_2(μ) ≡ B_2/B_1; b_3(μ) ≡ B_3/B_1,
(b) Représenter, sur un même graphe, les fonctions b_2(μ) et b_3(μ).
(c) En considérant séparément les cas B_1 > 0 et B_1 < 0, représenter, en correspondance avec le graphe précédent, toutes les structures selfo-capacitives ( B_1, B_2, B_3 ) du filtre, envisageables selon les valeurs du gain μ.

VI Performances du capteur.

Nous adoptons pour le filtre la structure:
B_1 = L_1 Ω, B_2 = − 1/C_2 Ω, B_3 = L_3 Ω.
Nous choisissons comme capteur de déplacement le condensateur de capacité C_2. Ce condensateur est formé de deux plaques métalliques parallèles, placées en regard l'une de l'autre, chacune étant solidaire de l'un des éléments dont on souhaite mesurer le déplacement relatif. Leur surface est notée S, et leur distance d. Ainsi C_2 = εS/d, où ε désigne la permittivité diélectrique du milieu inter-armatures du condensateur.
  1. Exprimer la pulsation Ω_0 = 2πf_0 des oscillations, ainsi que le gain μ de l'amplificateur en fonction de L_1, C_2, et L_3.
  2. On adopte L_1 = L_3 ≡ L, f_0 = 1MHz et S = 1 cm^2. Pour mesurer la fréquence on utilise un fréquencemètre possédant une résolution de 1 Hz . Déterminer d_0 ≡ d(f_0), C_2 et L pour obtenir une résolution sur la mesure du déplacement égale à 10^(− 10) m (on suppose que le milieu inter-armatures est assimilable au vide).
  3. L'appareil est appelé à fonctionner en atmosphère humide. Quelle peut-être l'influence de l'humidité sur les mesures réalisées avec ce type de capteur?
  4. Quels autres effets peuvent être susceptibles de perturber les mesures?

Troisième partie

Application en rhéologie: Mesure de viscosité.

Nous envisageons de mesurer de la viscosité d'un liquide à l'échelle micrométrique. En situation de confinement, les coefficients de transport (ici la viscosité) peuvent présenter des propriétés particulières renseignant
sur les interactions fluide-surfaces. Pour de telles mesures, on dispose, entre la sphère et le plan (figure 1), une goutte du liquide à caractériser. A l'échelle de la goutte, nous modélisons les surfaces en regard par deux plans parallèles. Nous assimilons d'autre part cette goutte à un cylindre de rayon R et de hauteur h (figure 7). Enfin, l'effet de la pesanteur n'est jamais pris en compte et la pression extérieure est notée p_(ext).
Fig. 7: Modélisation d'une micro-goutte placée entre les surfaces de l'appareil.
Le transducteur électromécanique (6) (figure 1), via une boucle d'asservissement, impose une modulation de la distance h entre les plans de la forme:
h(t) = h_0{1 + ξ(t)} où, en représentation complexe, ξ(t) = ξ_0 expjωt(ξ_0 ∈ ℝ_+).
Les conditions expérimentales sont telles que 10 < ω < 100rad ⋅ s^(− 1).
Nous adoptons, pour le fluide, des champs de vitesse et de pression à symétrie axiale de la forme:
V⃗(M, t) = V_r(r, y, t)u⃗_r + V_y(y, t)y⃗, p(M, t) = p(r, y, t),
u⃗_r et y⃗ représentant les vecteurs unitaires du repère ( O, r, y ).

VII Ordres de grandeur et grandeurs caractéristiques.

Afin de pouvoir raisonner qualitativement sur les équations, et pouvoir les simplifier en n'en retenant que les termes dominants, nous allons associer des grandeurs caractéristiques aux variables du problème. Nous notons alors X_0 la grandeur caractéristique associée à la variable X, et nous partons des éléments suivants: h_0 ≃ 1μ m, R_0 ≃ 100μ m, ξ_0 ≃ 0, 01. Nous posons k ≡ R_0/h_0(k≫1).
Nous notons ρ la masse volumique du fluide considéré incompressible, η sa viscosité dynamique et ν ≡ η/ρ sa viscosité cinématique. Nous adoptons pour ces grandeurs celles relatives à l'eau: η ≃ 10^(− 3) kg ⋅ m^(− 1) ⋅ s^(− 1) et ρ ≃ 10^3 kg ⋅ m^(− 3).
  1. Exprimer V_(y_0) en fonction de ξ_0, h_0 et ω.
  2. A partir d'un bilan global de matière sur un cylindre de fluide, établir que V_(r0) = − 1/2kV_(y_0). Pour les calculs d'ordre de grandeur le préfacteur − 1/2 sera omis.
  3. Nous admettons que l'on accède à la grandeur caractéristique d'une dérivée ∂y/∂x par le rapport:
((∂y)/(∂x))_0 = (y_0)/(x_0).
En comparant les grandeurs caractéristiques des différents termes intervenant dans ΔV⃗, justifier qu'il est ici légitime d'écrire:
ΔV⃗ = (∂^2 V⃗)/(∂y^2)
C'est cette relation approchée que nous adoptons désormais.

VIII Mise en équation.

VIII. 1 Équation de conservation de la matière.

  1. Écrire, dans le contexte de notre étude, l'équation locale de conservation de la matière.
  2. Établir qu'elle conduit à une dépendance des composantes V_τ et V_y de la vitesse telle que:
V_τ = − r/2(∂V_y)/(∂y)
  1. Vérifier, à partir de cette relation, que l'on retrouve V_(r0) = − 1/2kV_(y_0).

VIII. 2 Équation de la dynamique.

Lorsque l'on tient compte des forces d'origine visqueuse, l'équation locale de la dynamique d'un fluide incompressible et isotrope s'écrit:
(∂V⃗)/(∂t) + (V⃗ ⋅ grad^(→−))V⃗ = f⃗ − 1/ρgrad^(→−)p + νΔV⃗
f⃗ désignant l'éventuelle force par unité de masse agissant sur le fluide.
  1. Écrire cette équation en se plaçant dans le cadre de nos hypothèses et approximations.
  2. Indiquer, sous chacun des termes (excepté celui de pression) de l'équation précédente en projection sur l'axe u⃗_r, puis sur l'axe y⃗, les grandeurs caractéristiques et ordres de grandeur correspondants (pour ces estimations, on prendra ω = 100rad ⋅ s^(− 1) ).
  3. Justifier que les termes visqueux dominent les termes inertiels.
  4. Conclure alors que:
grad^(→−)p = η(∂^2 V⃗)/(∂y^2).
(a) En déduire les expressions des grandeurs caractéristiques ((∂p)/(∂r))_0 et ((∂p)/(∂y))_0.
(b) Justifier alors que la dépendance de la pression selon y peut être négligée devant celle selon r, et donc que l'on peut écrire p = p(r).

IX Résolution des équations.

  1. Établir que:
− 2/(ηr)(dp)/(dr) = (d^3 V_y)/(dy^3) = Cte ≡ A
  1. Exprimer alors p, V_y et V_r en introduisant cinq constantes d'intégration (dont A ).
  2. En adoptant comme frontière du domaine de fluide le cylindre de rayon R_0 et de hauteur h_0, indiquer les conditions aux limites que doivent satisfaire ces grandeurs.
  3. Déterminer les cinq constantes d'intégration.
  4. Caractérisation du champ de pression.
    (a) Établir que la pression s'écrit:
p(r) = p_(ext) − 3η1/(h_0^3)(dh)/(dt)(R_0^2 − r^2)
(b) Représenter le profil radial de pression.

X Force hydrodynamique exercée sur la surface inférieure.

  1. Exprimer la force F⃗ = Fy⃗ qu'exerce le fluide et l'atmosphère sur la surface inférieure (solidaire de la platine (3)). Vérifier qu'elle s'écrit:
F = (3π)/2η(R_0^4)/(h_0^3)(dh)/(dt)
  1. Commenter la dépendance de F avec dh/dt.
  2. Calculer l'amplitude de cette force pour η = 10^(− 3) kg ⋅ m^(− 1) ⋅ s^(− 1) et ω = 100rad ⋅ s^(− 1). L'appareil est-il adapté à cette mesure?
  3. En utilisant les équations et les grandeurs caractéristiques du problème, trouver très simplement l'expression de la force caractéristique F_0 associée à la force F. Comparer ce résultat à la relation 22 .

XI Mesure de la viscosité.

Nous rappelons que l'excitation, de représentation complexe h(t) = h_0(1 + ξ_0 expjωt)(ξ_0 ∈ ℝ_+)est fixée, et que le capteur de déplacement (8) (figure 1) permet la mesure du déplacement Y_3(t) = Y_(30)expj(ωt + φ)(Y_(30) ∈ ℝ_+) de la platine (3) (figure 7). φ représente la phase de Y_3 par rapport à la modulation de h. Les déplacements sont mesurés à partir des positions d'équilibre ( ξ_0 = 0 ). Nous notons m la masse de la platine et K la raideur du cantilever (5) la supportant.
  1. Écrire le principe fondamental de la dynamique appliqué à la platine (3).
  2. En déduire l'expression de la viscosité η en fonction des paramètres du problème et notamment de Y_(30), φ et ξ_0.
  3. La mesure de la viscosité η dépend-elle de l'amplitude ξ_0 choisie pour l'expérience ?
La viscosité étant ici une grandeur réelle, quel déphasage φ l'appareil mesurera-t-il?

XII Détection synchrone: mesure d'une amplitude et d'une phase.

Certains fluides possèdent un comportement rhéologique tel que la phase φ n'est pas connue a priori. La caractérisation complète de ces fluides nécessite alors la mesure simultanée de l'amplitude Y_(30) et de la phase φ du déplacement. La technique de la "détection synchrone" permet cette mesure en assurant de plus un filtrage du bruit parasite.
Lorsque la distance inter-surface h(t) est modulée à la pulsation ω fixée, il est possible d'améliorer la précision des mesures en ne détectant que les signaux de sortie synchronisés sur cette modulation. Le dispositif de mesure de déplacement délivre idéalement un signal électrique s(t) (sensiblement) proportionnel à y_3 = Y_(30)cos(ωt + φ). En pratique, ce signal est bruité, et s'écrit:
s(t) = αY_(30)cos(ωt + φ) + b(t) (α > 0)
où b(t) représente un bruit électrique dont l'essentiel du spectre est supposé situé au delà de la pulsation d'excitation ω.
Le signal s(t) est multiplié par un signal de référence harmonique u(t) = u_0 cosωt. Le signal produit, W(t) = u(t) ⋅ s(t), traverse ensuite un filtre passe-bas, que nous supposons du premier ordre et de pulsation de coupure ω_c (figure 8).
Fig. 8: Principe d'une détection synchrone.

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  1. Indiquer comment ω_c doit être choisie pour que le signal W_f de sortie du filtre soit continu. Peut-on alors accéder à l'amplitude Y_(30) et la phase φ du déplacement?
  2. Ce dispositif permet d'accéder à la composante du signal en phase avec la référence (c'est-à-dire au terme en cosωt dans le développement de s(t) ). Indiquer le bloc fonctionnel à rajouter dans le schéma de principe de la détection (figure 8) pour accéder maintenant à la composante en quadrature de phase avec la référence. Indiquer alors comment s'effectuent les mesures de Y_(30) et de φ.
  3. Comment le bloc fonctionnel évoqué précédemment peut-il être réalisé ?
Quels sont les avantage et inconvénient de choisir ω_c trop basse?
Comment améliorer l'opération de filtrage ?

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