Sujet CCINP Mathématiques 1 PC 2013

Étude de conditions pour que deux matrices admettent un vecteur propre commun

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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites

L'objectif du problème est d'étudier des conditions pour que deux matrices admettent un vecteur propre commun et d'en déduire une forme normale pour des vecteurs propres.
Les parties I et III traitent chacune de cas particuliers en dimension 3 et n. Elles sont indépendantes l'une de l'autre. La partie II aborde la situation générale en faisant apparaître une condition nécessaire et certaines autres conditions suffisantes à l'existence d'un vecteur propre commun.
Les parties II, III et IV sont, pour une grande part, indépendantes les unes des autres.
Il est demandé, lorsqu'un raisonnement utilise un résultat obtenu précédemment dans le problème, d'indiquer précisément le numéro de la question utilisée.

Notations et définitions

Soient

n

p

deux entiers naturels non nuls,

𝕂

l'ensemble

ℝ

ℂ

.
Notons

M_(n, p)(𝕂)

l'espace vectoriel des matrices à

n

lignes et

p

colonnes à coefficients dans

𝕂

M_n(𝕂)

l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre

n

à coefficients dans

𝕂

é 0_n la matrice nulle d'ordre n; et, I_n la matrice identité d'ordre n.

Pour

M \in M_n(𝕂)

λ \in 𝕂

, on note :

Ker(M) = {X ∈ M_(n, 1)(𝕂) tel que MX = 0}; Im(M) = {MX, X ∈ M_(n, 1)(𝕂)}; Sp(M) le spectre de M,; E_λ(M) = Ker(M − λI_n); et Im_λ(M) = Im(M − λI_n)

Définitions :

Soient $(A, B) \in (M_n(𝕂))^2$ et $e \in M_(n, 1)(𝕂)$ ;
on dit que e est un vecteur propre commun à $A$ et $B$ si :
i) $e \neq 0$ ;
ii) il existe $λ \in 𝕂$ tel que $Ae = λe$ ;
iii) il existe $μ \in 𝕂$ tel que $Be = μe$ .

On définit

[A, B] \in M_n(𝕂)

par la formule :

[A, B] = AB - BA

Soient $f$ et $g$ , deux endomorphismes d'un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ et $e \in E$ ; on dit de même que e est un vecteur propre commun à $f$ et $g$ si :
i) $e \neq 0$ ;
ii) il existe $λ \in 𝕂$ tel que $f(e) = λe$ ;
iii) il existe $μ \in 𝕂$ tel que $g(e) = μe$ .

On définit l'endomorphisme

[f, g]

E

par la formule :

[f, g] = f \circ g - g \circ f

Partie I : ETUDE DANS UN CAS PARTICULIER

On considère les matrices suivantes :

A = (0, - 1, - 1; - 1, 0, - 1; - 1, - 1, 0), B = (3, - 3, - 1; 0, 2, 0; 1, - 3, 1), C = (- 5, 3, - 1; - 2, 6, 2; - 5, 3, - 1)

D = (0, 0, 0; 0, 6, 0; 0, 0, - 6)

.
On note

F = (u_1, u_2, u_3)

où

u_1 = (1; 0; - 1), u_2 = (0; 1; - 1)

u_3 = (1; 1; 1)

On note aussi

u_4 = (1; 0; 1)

u_5 = (1; 1; - 2)

.
I.1.
I.1.a. Déterminer le spectre de

A

.
I.1.b. Vérifier que la famille

F

est une base de

M_(3, 1)(ℝ)

constituée de vecteurs propres de

A

.
I.1.c.

A

est-elle diagonalisable ?
I.1.d. Montrer qu'aucun des éléments de

F

n'est un vecteur propre commun à

A

B

.
I.2.
I.2.a. Déterminer le spectre de

B

.
I.2.b. Montrer que

Im_2(B) = Vect(u_4)

et que

dim(E_2(B)) = 2

.
I.2.c.

B

est-elle diagonalisable ?
I.3.
I.3.a. Montrer que

E_1(A) \cap E_2(B) = Vect(u_5)

.
I.3.b. Déterminer tous les vecteurs propres communs à

A

B

.
I.4.
I.4.a. Vérifier que

[A, B] = C

.
I.4.b. Montrer que

C

est semblable à la matrice

D

et déterminer le rang de

C

Partie II : CONDITION NECESSAIRE ET CONDITIONS SUFFISANTES

Soit

n \in ℕ^*

et soit

(A, B) \in (M_n(𝕂))^2

.
II.1. Dans cette question, on suppose que

e

est un vecteur propre commun à

A

B

.
II.1.a. Montrer que

e \in Ker([A, B])

.
II.1.b. Vérifier que

rg([A, B]) < n

Dans toute la suite de cette partie II, on suppose que

𝕂 = ℂ

On dit que

A

B

vérifient la propriété

H

s'il existe

λ \in Sp(A)

tel que :

E_λ(A) \subset Ker([A, B]).

II.2. Montrer que si

[A, B] = 0_n

, alors

A

B

vérifient la propriété

H

.
II.3. Dans cette question, on suppose que

A

B

vérifient la propriété

H

.
II.3.a. Pour tout

X \in E_λ(A)

, on pose

ψ(X) = BX

. Montrer que

ψ

définit un endomorphisme de

E_λ(A)

.
II.3.b. En déduire l'existence d'un vecteur propre commun à

A

B

Pour

k \in ℕ^*

, on note

P_k

la propriété suivante :
pour tout

ℂ

-espace vectoriel

E

de dimension

k

et pour tout couple d'endomorphismes

(φ, ψ)

E

tels que

rg([φ, ψ]) ⩽ 1

, il existe un vecteur propre commun à

φ

ψ

.
II.4. Vérifier la propriété

P_1

.
II.5. Dans cette question, on suppose que

P_k

est vérifiée pour tout entier

k \in [ [1, n - 1] ]

et que

A

B

ne vérifient pas la propriété

H

On note

C = [A, B]

, on suppose que

rg(C) = 1

et on considère

λ \in ℂ

une valeur propre de

A

.
II.5.a. Justifier l'existence de

u \in M_(n, 1)(ℂ)

tel que

Au = λu

Cu \neq 0

.
II.5.b. Vérifier que

Im(C) = Vect(v)

où

v = Cu

.
II.5.c. Montrer que

Im(C) \subset Im_λ(A)

.
II.5.d. Etablir les inégalités suivantes :

1 ⩽ dim(Im_λ(A)) ⩽ n - 1

Pour tout

X \in Im_λ(A)

, on pose

φ(X) = AX

ψ(X) = BX

.
II.5.e. Montrer que

[A, A - λI_n] = 0_n

[B, A - λI_n] = - C

En déduire que

φ

ψ

définissent des endomorphismes de

Im_λ(A)

.
II.5.f. Montrer l'existence d'un vecteur propre commun à

φ

ψ

; en déduire qu'il en est de même pour

A

B

.
II.6. Montrer que pour tout

n \in ℕ^*, P_n

est vraie.

Partie III : ETUDE D'UN AUTRE CAS PARTICULIER

Soit

n \in ℕ^*

. On note

E = ℂ_(2n)[X]

ℂ

-espace vectoriel des polynômes à coefficients complexes de degré inférieur ou égal à

2n

.
Pour

P \in E

, on désigne par

P^'

le polynôme dérivé de

P

.
Pour tout polynôme

P

E

, on pose

f(P) = P^'

g(P) = X^(2n)P(1/X)

.
III.1. Soient

(a_0, a_1, \dots, a_(2n)) \in ℂ^(2n + 1)

P = \sum_(k = 0)^(2n)a_k X^k

. Montrer que

g(P) = \sum_(k = 0)^(2n)a_(2n - k)X^k

.
III.2. Montrer que

f

g

définissent des endomorphismes de

E

.
III.3.
III.3.a. Vérifier que si

P

est un vecteur propre de

g

, alors

deg(P) ⩾ n

.
III.3.b. Montrer que

X^n

est vecteur propre de

g

Soit

i \in [ [1, 2n] ].f^i

correspond à la composée

f \circ f \circ \dots \circ f

où

f

est prise

i

fois.
III.4.
III.4.a. Vérifier que

Ker(f^i) = ℂ_(i - 1)[X]

.
III.4.b. Montrer que

Sp(f^i) = {0}

.
III.5. Montrer que

f^i

g

possèdent un vecteur propre commun si et seulement si

i ⩾ n + 1

B_c

désigne la base canonique de

E

définie par :

B_c = (1, X, \dots, X^(2n))

.
On note

A_n

la matrice de

f

dans la base

B_c

B_n

celle de

g

dans la même base.
III.6. Déterminer

A_n

B_n

.
III.7. Dans cette question, on suppose que

n = 1

.
III.7.a. Montrer que

A_1 = (0, 1, 0; 0, 0, 2; 0, 0, 0)

B_1 = (0, 0, 1; 0, 1, 0; 1, 0, 0)

et en déduire l'expression de

(A_1)^2

(A_1)^3

.
III.7.b. Déterminer le rang de

[(A_1)^i, B_1]

pour

i = 1

i = 2

.
III.7.c. En déduire que la condition nécessaire de la question II.1.b n'est pas suffisante et que la condition suffisante de la question II. 6 n'est pas nécessaire.

Partie IV : FORME NORMALE POUR UN VECTEUR PROPRE

Soit

n \in ℕ

avec

n ⩾ 2

. On note

N = {(x_1; ⋮; x_n) ∈ M_(n, 1)(ℂ)| ∃i ∈ [ [1, n] ]

tel que

x_i = 0}

.
Soient

A \in M_n(ℂ)

X

un vecteur propre de

A

.
On dit que

X

est sous forme normale si :

$X \in N$
ou
il existe $λ^' \in Sp(A)$ et il existe $U \in N$ tel que $X = (A - λ^' I_n)U$ .
IV.1. Dans cette question, on suppose que $A$ possède une valeur propre $λ$ telle que $dim(E_λ(A)) ⩾ 2$ .
Montrer que $A$ admet un vecteur propre sous forme normale associé à la valeur propre $λ$ .
On note $A_n(ℂ)$ le $ℂ$ -espace vectoriel des matrices $M \in M_n(ℂ)$ antisymétriques, c'est-àdire telles que $^t M = - M$ .

Pour tout

M \in A_n(ℂ)

, on pose :

φ(M) = AM + M^t A

ψ(M) = AM^t A

.
IV.2.
IV.2.a. Montrer que

A_n(ℂ) ≠ {0_n}

.
IV.2.b. Montrer que les colonnes d'une matrice

M \in A_n(ℂ)

sont des éléments de

N

.
IV.2.c. Montrer que

φ

ψ

définissent des endomorphismes de

A_n(ℂ)

.
IV.2.d. Vérifier que

φ \circ ψ = ψ \circ φ

.
IV.3. Dans cette question, on suppose que

A

possède au moins deux valeurs propres distinctes, notées

λ_1

λ_2

On considère

X_1

un vecteur propre de

A

associé à la valeur propre

λ_1

X_2

un vecteur propre de

A

associé à la valeur propre

λ_2

On note

B = X_1^t X_2 - X_2^t X_1

.
IV.3.a. Montrer que

B

vérifie chacune des propriétés suivantes :
i)

B \in A_n(ℂ)

;
ii)

B \neq 0_n

;
iii)

AB + B^t A = (λ_1 + λ_2)B

;
iv)

AB^t A = (λ_1 λ_2)B

.
IV.3.b. En déduire que

(A - λ_1 I_n)(A - λ_2 I_n)B = 0_n

.
IV.3.c. Dans cette question, on suppose que

(A - λ_2 I_n)B = 0_n

. Montrer qu'au moins l'une des colonnes de

B

est un vecteur propre de

A

sous forme normale.
IV.3.d. Dans cette question, on suppose que

(A - λ_2 I_n)B \neq 0_n

. Montrer que

A

possède un vecteur propre sous forme normale.
IV.4. Dans cette question, on suppose que

A

ne possède qu'une seule valeur propre

λ

.
IV.4.a. Montrer l'existence d'une matrice

B \in A_n(ℂ)

non nulle vérifiant chacune des propriétés suivantes :
i) il existe

α \in ℂ

tel que :

AB + B^t A = αB

;
ii) il existe

β \in ℂ

tel que :

AB^t A = βB

.
IV.4.b. Vérifier que

(A^2 - αA + βI_n)B = 0_n

.
IV.4.c. Montrer qu'il existe

(γ, δ) \in ℂ^2

tel que

(A - γI_n)(A - δI_n)B = 0_n

.
IV.4.d. Dans cette question, on suppose que

(A - δI_n)B = 0_n

. Montrer que

A

possède un vecteur propre sous forme normale.
IV.4.e. Dans cette question, on suppose que

(A - δI_n)B \neq 0_n

δ = λ

. Montrer que

A

possède un vecteur propre sous forme normale.
IV.4.f. Dans cette question, on suppose que

(A - δI_n)B \neq 0_n

δ \neq λ

. Montrer que

A - δI_n

est une matrice inversible et en déduire que

(A - γI_n)B = 0

.
IV.4.g. Que conclure ?

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