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Mines Mathématiques 1 PC 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Matrices semblables à leur inverse : le résultat de Djokovic
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Le problème démontre, dans C, le résultat de Djokovic selon lequel une matrice est semblable à son inverse si et seulement si elle se factorise en produit de deux involutions. Il part de l'étude des polynômes réciproques, caractérise ensuite les matrices diagonalisables semblables à leur inverse, puis étudie des produits de matrices de symétries et les blocs de Jordan pour aboutir au résultat général, en admettant la décomposition de Jordan d'une matrice.

  1. 1Partie 1 : Polynômes réciproquesPropriétés des racines d'un polynôme réciproque ou antiréciproque dans C[X].
  2. 2Partie 2 : Le cas diagonalisableCaractérisation des matrices diagonalisables de Mn(C) semblables à leur inverse.
  3. 3Partie 3 : Produits de matrices de symétriesÉtude de produits de symétries, utilisée ensuite dans les parties IV et V.
  4. 4Partie 4 : La matrice Jn(λ)Étude des blocs de Jordan d'une matrice.
  5. 5Partie 5 : Une caractérisation des matrices semblables à leur inverseDémonstration du résultat final en admettant la décomposition de Jordan d'une matrice.

Difficulté moyenne. Le rapport indique un énoncé très progressif ayant permis aux candidats d'avancer significativement, un bon étalonnement des notes, et un problème qui a parfaitement joué son rôle pour classer les candidats, tout en révélant de grosses lacunes en algèbre linéaire sur certaines copies.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 11,63 / 20 · écart-type 4,39 · 3 733 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
11,63/ 20
Écart-type
4,39
Présents
3 733
Coefficient
4
Durée
3 h
1er quartile
8,5
Médiane
11,8
3e quartile
15,1
moyenne 11,6305101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 22 avril 2025. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Racines particulières oubliées dans les regroupements par paires (Q4) · Confusion entre (-x)^n et -x^n (Q6) · Remplacement du polynôme caractéristique sans justification (Q7)
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L'énoncé, très progressif, a permis aux candidats d'avancer assez significativement dans le sujet. Les meilleurs candidats ont bien compris l'articulation du problème et ont abordé la totalité des questions, sans toutefois toutes les traiter correctement. Certaines copies ont mis en évidence de grosses lacunes en algèbre linéaire, mais l'épreuve a permis un bon étalonnement des notes et a bien classé les candidats.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Racines particulières oubliées dans les regroupements par paires (Q4)Q4

    Beaucoup de candidats ont eu l'idée de la méthode mais peu l'ont menée correctement, certains pensant que les seules racines possibles étaient 1 et -1, d'autres oubliant de traiter ces valeurs à part.

    « Certains candidats ont pensé que les seules racines possibles étaient 1 et -1 »
  2. 2
    Confusion entre (-x)^n et -x^n (Q6)Q6

    Une proportion non négligeable de candidats confond ces deux écritures, révélant une méconnaissance du cours sur le déterminant.

    « certaines copies témoignent d’une méconnaissance du cours sur le déterminant »
  3. 3
    Remplacement du polynôme caractéristique sans justification (Q7)Q7

    Certains candidats remplacent le polynôme caractéristique de l'inverse par celui de la matrice sans justifier que deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique.

    « Certains candidats se permettent de remplacerχA−1 parχA sans justification »
  4. 4
    Confusions sur les matrices de symétrie et la similitude (Q10)Q10

    Le jury relève une confusion entre matrices de symétrie et matrices symétriques, ainsi que l'idée fausse que deux matrices ayant même déterminant seraient forcément semblables.

    « deux matrices qui ont même déterminant ne sont pas forcément semblables »
  5. 5
    Inversibilité déduite du seul caractère triangulaire (Q15)Q15

    Il ne suffisait pas d'affirmer qu'une matrice était triangulaire supérieure pour justifier son inversibilité.

    « Il ne suffisait pas de dire que la matrice était triangulaire supérieure pour justifier son inversibilité. »

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 1, 3, 6, 10, 12, 17 et 20 ont été généralement bien traitées.
  • Les meilleurs candidats ont bien compris l'articulation du problème et ont abordé la totalité des questions.

Conseils du jury

  • Travailler la rigueur de l'argumentation et ne pas se satisfaire de raisonnements confus.
  • Citer précisément les numéros des questions utilisées lorsqu'un résultat montré précédemment est réutilisé.
  • Présenter sa copie avec un minimum de soin : écrire lisiblement, séparer les arguments et éviter les copies trop raturées.
  • S'entraîner intensivement au calcul, en particulier à la manipulation des inégalités, et vérifier l'existence des objets manipulés.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES, ISAE-SUPAERO, ENSTA PARIS, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2025

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 3 heures

L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Matrices semblables à leur inverse

Notations et définitions.

On note C le corps des nombres complexes, N l'ensemble des entiers naturels. Pour n ∈ N^∗, M_n désigne l'algèbre des matrices carrées complexes de taille n et GL_n le groupe des matrices complexes inversibles de taille n.
On rappelle que deux matrices A et B de M_n sont semblables si
∃P ∈ GL_n, A = P^(− 1)BP.
Pour toute matrice A ∈ M_n le polynôme caractéristique de A est défini par
χ_A = det(XI_n − A)

Partie 1. Polynômes réciproques.

Soit p ∈ N^∗. Un polynôme P ∈ C[X] de degré p est dit réciproque lorsqu'il satisfait l'égalité
P(X) = X^p P(1/X).
1▹ Soit P ∈ C[X] de degré p. On écrit P = ∑_(k = 0)^p a_k X^k, où a_0, …a_p sont des nombres complexes, et a_p ≠ 0.
Montrer que P est réciproque si et seulement si pour tout entier k, 0 ≤ k ≤ p, on a l'égalité a_k = a_(p − k).
2▹ Soit P un polynôme de degré p écrit sous forme factorisée P = a_p∏_(i = 1)^d(X − λ_i)^(m_i), où λ_1, …, λ_d sont les racines complexes distinctes de P et m_1, …, m_d leurs multiplicités.
Ecrire sous forme factorisée le polynôme X^p P(1/X) et démontrer que si P est réciproque alors pour tout entier i, 1 ≤ i ≤ d, λ_i est non nul et 1/(λ_i) est racine de P avec la multiplicité m_i.
3▹ Soit Q un polynôme de degré p. On dit que Q est antiréciproque si
Q(X) = − X^p Q(1/X).
Montrer que si Q est antiréciproque, 1 est une racine de Q et qu'il existe un polynôme P constant ou réciproque tel que Q = (X − 1)P.
Soit R un polynôme non constant de C[X] ayant la propriété suivante :
Toute racine a de R est non nulle et 1/a est racine de R de même multiplicité que a.
4▹ Démontrer que le produit des racines de R, comptées avec multiplicités, ne peut prendre que les valeurs 1 ou -1 . On pourra remarquer que l'égalité a = 1/a n'a lieu que pour a = 1 ou -1 .
5▹ En déduire que R est réciproque ou antiréciproque.

Partie 2. Le cas diagonalisable.

Soit A une matrice appartenant à GL_n.
6▹ Soit x un nombre réel non nul. Exprimer det(xI_n − A) en fonction de x, detA et det(1/xI_n − A^(− 1)).
7▹ On suppose dans cette question que A est semblable à son inverse. Préciser les valeurs que peut prendre le déterminant de A, et en déduire que χ_A est soit réciproque, soit antiréciproque.
8▹ Soit B ∈ M_n une matrice diagonalisable. On suppose que le polynôme caractéristique de B est réciproque ou antiréciproque. Démontrer que B est inversible et semblable à son inverse.
9▹ Montrer que la matrice B = (2, 0, 0, 0; 0, 2, 0, 0; 0, 0, 1/2, 1; 0, 0, 0, 1/2) n'est pas semblable à son inverse (bien que son polynôme caractéristique (X − 2)^2(X − 1/2)^2 soit réciproque).
On pourra déterminer les espaces propres de B et B^(− 1) pour la valeur propre 2 .
Ainsi, hors du cas diagonalisable, le polynôme caractéristique ne suffit pas à caractériser les matrices semblables à leur inverse. La suite du problème se propose de caractériser ces matrices par une autre méthode.

Partie 3. Produits de matrices de symétries.

On dit qu'un endomorphisme f d'un C-espace vectoriel E est une symétrie si f ∘ f = Id_E. On dit qu'une matrice S ∈ M_n est une matrice de symétries si S^2 = I_n.
10▹ Démontrer que si S_1 et S_2 sont deux matrices de symétrie, la matrice produit A = S_1 S_2 est inversible et semblable à son inverse.
11▹ Si une matrice A est un produit de deux matrices de symétries, en est-il de même de toute matrice semblable à A ?
Soit B et C deux matrices de GL_n. Soit A ∈ M_(2n) la matrice définie par blocs suivante :
A = (B, 0_n; 0_n, C)
12▹ Soit S_1 la matrice par blocs
S_1 = (0_n, P; Q, 0_n)
où P, Q sont deux éléments de GL_n.
Déterminer les conditions reliant B, C, P, Q pour que les matrices S_1 et S_2 = S_1 A soient des matrices de symétries.
13 - En déduire que si C est semblable à B^(− 1), alors A est un produit de deux matrices de symétries.

Partie 4. La matrice J_n(λ).

14▹ Soit E un C-espace vectoriel de dimension n. Soit g un endomorphisme de E tel que g^n = 0 et g^(n − 1) ≠ 0.
Démontrer qu'il existe une base de E dans laquelle la matrice de g est la matrice N ci-après :
N = (0, 1, 0, …, 0; 0, 0, 1, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, 0; ⋮, ⋱, 1; 0, …, …, 0).
Autrement dit : N = (n_(i, j))_(1 ≤ i, j ≤ n) avec n_(i, j) = 1 si j = i + 1 et n_(i, j) = 0 sinon.
15▹ Pour tout λ ∈ C non nul, on pose J_n(λ) = λI_n + N.
Démontrer que J_n(λ) est inversible et déterminer en fonction de N et de λ la matrice N^′ telle que J_n(λ)^(− 1) = 1/λI_n + N^′
16▹ Calculer (N^′)^n et en déduire que J_n(λ)^(− 1) est semblable à J_n(1/λ).
Pour tout polynôme P = P(X) ∈ C_(n − 1)[X] on pose
{s_1(P) = P(− X),; s_2(P) = P(1 − X),; g(P) = P(X + 1) − P(X).
On définit ainsi trois endomorphismes de l'espace vectoriel C_(n − 1)[X] (il n'est pas demandé de le prouver).
17▹ Calculer s_1^2, s_2^2 et exprimer s_1 ∘ s_2 en fonction de g et Id_(C_(n − 1)[X]).
18 - Soit P un polynôme non constant. Exprimer le degré du polynôme g(P) en fonction du degré de P.
19▹ Déduire des questions précédentes que la matrice J_n(1) est un produit de deux matrices de symétries.
On pourrait démontrer par le même type de raisonnement, et on l'admet, que la matrice J_n(− 1) est un produit de deux matrices de symétries.

Partie 5. Une caractérisation des matrices semblables à leur inverse.

Soit A une matrice de GL_n semblable à son inverse. On admet le résultat suivant :
A est semblable à une matrice diagonale par blocs de la forme
A^′ = (J_(n_1)(λ_1), 0, ⋯, 0; 0, J_(n_2)(λ_2), ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0; 0, ⋯, 0, J_(n_r)(λ_r))
où les λ_i sont les valeurs propres de A (pas nécessairement distinctes) et r ainsi que les n_i, 1 ≤ i ≤ r, des entiers naturels non nuls.
De plus la matrice A^′ est unique à l'ordre près des blocs.
20▹ Démontrer que A^(− 1) est semblable à (J_(n_1)(1/(λ_1)), 0, ⋯, 0; 0, J_(n_2)(1/(λ_2)), ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 0; 0, ⋯, 0, J_(n_r)(1/(λ_r))).
21 - En utilisant les résultats établis dans les parties précédentes, démontrer que A est un produit de deux matrices de symétries.
Fin du problème
  1. Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.
    Tout autre usage est soumis à une autorisation préalable du Concours commun Mines Ponts.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 PC des Mines 2025 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 PC des Mines 2025 ?

Le sujet porte sur les matrices semblables à leur inverse, à travers les polynômes réciproques, la diagonalisation, les produits de symétries et la réduction de Jordan.

Le sujet de mathématiques 1 PC Mines 2025 est-il difficile ?

Le rapport décrit un énoncé très progressif qui a permis aux candidats d'avancer significativement, avec un bon étalonnement des notes, tout en révélant de grosses lacunes en algèbre linéaire sur certaines copies.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Le jury signale des oublis de racines particulières dans les regroupements par paires, une confusion entre (-x)^n et -x^n, un remplacement de polynôme caractéristique sans justification, des confusions sur les matrices de symétrie et une inversibilité déduite à tort du seul caractère triangulaire.

Quel est le résultat final démontré dans le sujet de mathématiques 1 PC Mines 2025 ?

Le sujet démontre le résultat de Djokovic : une matrice est semblable à son inverse si et seulement si elle se factorise en produit de deux involutions.

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