Les bulles du champagne sont constituées de dioxyde de carbone. Elles naissent à la surface du verre (partie I). Après une phase de croissance sur place, elles se détachent et montent dans le verre en poursuivant leur croissance (parties II et III). Arrivées à la surface, elles explosent en laissant derrière elles un cratère et en provoquant l'émission d'un jet vertical (partie IV). Ce jet se brise finalement en fines gouttelettes (partie V). Les cinq parties du problème sont largement indépendantes. Dans tout le problème, le champ de pesanteur g⃗ = − gu⃗_z est uniforme avec g = 9, 8 m ⋅ s^(− 2). Pour une fonction y(t) ne dépendant que du temps, on note y˙ sa dérivée dy/dt.
Partie I - Formation des bulles
Dans cette partie, on considère le système fermé, de volume V, constitué de deux sous-systèmes (cf. figure 1) :
Une unique bulle de dioxyde de carbone, supposée sphérique de rayon a et de volume V_g, formée de n_g moles de dioxyde de carbone assimilé à un gaz parfait ;
Le liquide, de volume V_l = V − V_g, assimilé à
une solution aqueuse diluée de dioxyde de carbone, contenant n_l moles de dioxyde de carbone dissous ; on note C le nombre de molécules de dioxyde de carbone dissoutes par unité de volume dans cette solution et on suppose, dans cette partie, C uniforme.
Le liquide est au contact d'une atmosphère imposant une pression extérieure p_e constante. On ne tient pas compte, dans cette partie, de la pesanteur. On note p_l la pression dans la phase liquide et p_g la pression dans la phase gazeuse; ces pressions sont supposées uniformes, a priori différentes entre elles et différentes de p_e. La température du système est maintenue uniforme, via un contact avec un thermostat de température T constante. Le nombre total de moles de dioxyde de carbone n = n_g + n_l dans le système est supposé constant.
I.A - Soit U l'énergie interne du système et S son entropie. Démontrer que la fonction G^∗ = U + p_e V − TS est un potentiel thermodynamique.
I.B - On choisit comme variables indépendantes, le rayon a de la bulle, le volume V_l de la phase liquide et le nombre de moles n_g dans la bulle. Compte
Filière PC
tenu du phénomène de tension superficielle, la différentielle de la fonction G^∗ s'écrit alors :
où Σ est la surface de la bulle de gaz de rayon a et A une constante positive appelée coefficient de tension superficielle ;
où μ_g = μ_g^0 + RTln(p_g/p^0) et μ_l = μ_l^0 + RTln(C/C^0); p^0 est une pression de référence ; C^0 est un nombre volumique de référence ; μ_g^0 et μ_l^0 ne dépendent que de T, donc sont constantes.
I.B.1) On envisage une variation dV_l de V_l, à n_g et a fixés. Montrer qu'à l'équilibre on a p_l = p_e et interpréter concrètement.
I.B.2) On envisage une variation da de a, à n_g et V_l fixés. Montrer qu'à l'équilibre on a p_g = p_e + 2A/a.
I.B.3) On envisage une variation dn_g de n_g, à a et V_l fixés. Montrer qu'à l'équilibre on a μ_g = μ_l.
I.B.4) Déduire des questions précédentes l'équation ( E ) donnant implicitement le rayon d'équilibre a_(eq) en fonction de la pression p_e, du nombre volumique C et des constantes μ_g^0, μ_l^0, R, T, A, p^0, p_e et C^0.
I.B.5) Soit p_∞ la valeur de la pression extérieure p_e telle qu'une bulle de rayon a infini soit en équilibre avec la phase liquide pour le même nombre volumique C.
Montrer que la condition d'équilibre ( E ) s'écrit aussi bien a_(eq) = 2A/(p_∞ − p_e).
I.C - On suppose dans cette question que le nombre volumique C en dioxyde de carbone dissous est fixé et que la relation p_g = p_e + 2A/a est vérifiée ; en revanche, l'égalité des potentiels chimiques n'est pas forcément réalisée. Dans ces conditions, la fonction G^∗ n'est plus fonction que de a. La figure 2 fournit l'allure du graphe de G^∗(a) pour 0 ≤ a ≤ 2a_(eq), qu'on ne demande pas de justifier.
I.C.1) Ce graphe est-il compatible avec l'étude précédente ? Quel renseignement supplémentaire en tire-t-on sur l'état d'équilibre a = a_(eq) ?
I.C.2) Justifier que seules les bulles de champagne ayant un rayon initial supérieur à une valeur critique a_c, à préciser, peuvent croître spontanément.
I.C.3) On donne A = 7 ⋅ 10^(− 2) N ⋅ m^(− 1), p_∞ = 3 bars et p_e = 1 bar. Calculer a_c. Comment expliquer la présence initiale de bulles de rayon supérieur à a_c à la surface du verre?
Partie II - Croissance et ascension des bulles
II.A - Croissance initiale des bulles
On envisage une bulle de champagne unique, sphérique de centre B fixe et de rayon variable a(t) contenant N_g(t) molécules de dioxyde de carbone assimilé à un gaz parfait; on note C_g(t) le nombre, supposé uniforme, de molécules de dioxyde de carbone par unité de volume dans cette bulle. On repère un point M par ses coordonnées sphériques (r, θ, φ) de centre B. Le champagne liquide occupe le reste de l'espace et on y note C(r, t) le nombre volumique de molécules de dioxyde de carbone, supposé indépendant de θ et φ. Dans cette partie, on néglige les phénomènes de tension superficielle et la pesanteur, de telle sorte que la pression p est uniforme dans tout le système, avec la même valeur dans la phase gazeuse et dans la phase liquide. L'équilibre chimique entre une bulle de champagne et la solution aqueuse qui l'entoure dans une bouteille fermée où la pression initiale vaut p = p_i, impose la relation C = χp_i/k_B T entre le nombre volumique de molécules C dans la phase liquide et la pression p_i dans la phase gazeuse; χ ne dépend que de la température (c'est donc une constante); k_B est la constante de Boltzmann. Lorsqu'on ouvre la bouteille de champagne, la pression chute brutalement jusqu'à la pression atmosphérique p = p_e avec p_e < p_i. La condition d'équilibre chimique n'est plus assurée qu'à l'interface entre la bulle et la solution; elle s'écrit C(r = a, t) = χp_e/k_B T. Loin de la bulle, on suppose qu'on a toujours C(r = ∞, t) = χp_i/k_B T. Ainsi C(r, t)→−^(n'est plus uni-) forme et le dioxyde de carbone diffuse dans la solution : on note j⃗ = j(r, t)u_r^(→−) le vecteur-densité de flux de particules; il satisfait à la loi de Fick avec un coefficient de diffusion D.
II.A.1) Soit une couronne de champagne liquide, comprise entre les rayons r et r + dr. Exprimer le nombre δ^2 N_e de molécules de dioxyde de carbone qui entrent dans cette couronne entre les instants t et t + dt en fonction de ∂(r^2 j)/∂r, dr et dt.
II.A.2) On se place en régime stationnaire. En déduire que C(r) est de la forme C(r) = α + β/r où α et β sont deux constantes.
II.A.3) Bien que le régime réel ne soit pas stationnaire puisque le rayon a dépend du temps, on utilise la forme de C(r) ci-dessus avec a(t). Exprimer α et β en fonction de a(t), χ, p_i, p_e k_B et T.
II.A.4) En déduire le taux de variation dN_g/dt du nombre N_g de molécules de dioxyde de carbone dans la bulle de gaz en fonction de D, a, χ, p_i, p_e k_B et T.
II.A.5) Montrer que a(t) est solution d'une équation différentielle de la forme :
a(t)a˙(t) = K
où K est une constante qu'on exprimera en fonction de p_e, p_i, χ et D. Vérifier l'homogénéité de l'équation (1).
II.A.6) En déduire l'expression de a(t). Lors de la croissance de la bulle à la surface du verre sur son site de naissance pour p_e = 1 bar et p_i = 3 bars, le rayon des bulles croît de a_0 ≈ 10^(− 6) m jusqu'à a_1 ≈ 10^(− 5) m. Vérifier que dans ces conditions on a K ≈ 4 ⋅ 10^(− 9) m^2 ⋅ s^(− 1) sachant que D ≈ 3 ⋅ 10^(− 9) m^2 ⋅ s^(− 1) et χ ≈ 0, 7. Évaluer la durée τ_1 de cette phase.
II.B - Croissance et ascension des bulles
II.B.1) On suppose tout d'abord que a(t) est une constante au cours de l'ascension. On modélise les actions du champagne liquide assimilé à de l'eau de masse volumique μ = 1, 0 ⋅ 10^3 kg ⋅ m^(− 3), par la poussée d'Archimède et une force de traînée de Stokes F⃗ = − 6πaηv⃗ où η = 1, 0 ⋅ 10^(− 3)Pl est la viscosité dynamique du champagne.
a) Justifier que le poids de la bulle est négligeable devant la poussée d'Archimède.
b) On néglige par ailleurs la variation de quantité de mouvement de la bulle. En déduire l'expression, numérotée (2), de sa vitesse d'ascension U en fonction de η, μ, g et a.
c) Calculer numériquement cette vitesse pour a = 0, 1 mm. Justifier le choix de l'expression ci-dessus de la traînée en évaluant un nombre sans dimension.
II.B.2) On admet en outre que l'expression de a(t) établie en II.A. 6 reste valable en dépit du mouvement de la bulle. En déduire le mouvement de la bulle et évaluer numériquement la durée τ_2 de son ascension dans une flûte de hauteur H = 8 cm. On adoptera les données numériques de la question II.A.6.
Partie III - Effet de masse ajoutée
Le modèle de la partie II (poussée d'Archimède et traînée de Stokes) ne tient pas bien compte de la dépendance temporelle du rayon a et de la vitesse U. On se propose ici de préciser l'effet de ces variations sur la force subie par la bulle de champagne. Le référentiel ( R_O ) = ( Oxyz ) du verre dans lequel la vitesse de la bulle est U(t)u⃗_z est galiléen. On étudie le mouvement du champagne liquide
autour de la bulle dans le référentiel (R_B) = (Bxyz) dont l'origine est placée au centre de la bulle.
On note v⃗(M, t) le champ des vitesses dans le référentiel R_B où M est repéré par ses coordonnées sphériques ( r, θ, φ ) de centre B (cf. figure 3). On adopte dans toute cette partie le modèle suivant :
l'écoulement du champagne autour de la bulle est supposé parfait et on néglige la pesanteur (on espère que l'effet dominant des variations temporelles de a et U n'est pas de modifier la poussée d'Archimède et la traînée de Stokes, mais d'ajou-
ter de nouveaux termes dépendant de a˙ et U˙);
l'écoulement du champagne autour de la bulle est incompressible ;
il existe un potentiel des vitesses φ(M, t) tel que v⃗ = grad^(→−)φ.
III.A - Recherche du potentiel des vitesses
III.A.1) De quelle équation aux dérivées partielles (qui sera numérotée (3)) est solution le potentiel des vitesses φ ?
III.A.2) On se propose d'obtenir φ par analogie avec des problèmes d'électrostatique dans le domaine r ≥ a situé à l'extérieur de la bulle.
a) Rappeler les équations de Maxwell de l'électrostatique. En déduire l'équation aux dérivées partielles dont est solution le potentiel V créé par une distribution de charges ρ connue. Vérifier qu'on obtient l'équation (3) établie en III.A. 1 dans le domaine r > a si les sources sont entièrement contenues dans la boule de rayon a.
b) Rappeler sans démonstration l'expression du potentiel électrique V_1 créé par une charge ponctuelle q placée à l'origine B en fonction de q, ε_0 et de la distance r. En déduire que la fonction φ_1 = α/r est solution de (3).
c) Opérer de manière analogue en exhibant une distribution classique de charges pour justifier que φ_2 = βcosθ/r^2 est solution de l'équation (3).
d) Chercher par ailleurs une solution φ_3(z) de l'équation (3) ne dépendant que de z en coordonnées cartésiennes.
e) Justifier que la fonction
φ = α/r + (βcosθ)/(r^2) + γrcosθ + δ
vérifie l'équation (3). On adopte cette expression avec δ = 0 dans la suite.
III.A.3) Exprimer les composantes v_r, v_θ et v_φ du champ des vitesses en fonction de α, β, γ, r et θ.
III.A.4) En exploitant le fait que loin de la bulle de gaz, le champagne est au repos dans le référentiel ( R_O ) lié au verre, exprimer γ en fonction de U.
III.A.5) Sur la bulle, la condition aux limites s'écrit v_r(r = a(t), θ) = a˙(t); en revanche il n'y a aucune condition sur la composante v_θ car l'écoulement est supposé parfait. En déduire les expressions de α et β en fonction de a(t), a˙(t) et U(t).Vérifier alors qu'à la surface de la bulle ( r = a(t) ) on a :
‖v⃗‖^2 = a˙^2(t) + 9/4U^2(t)sin^2 θ.
III.B - Recherche du champ de pression et de la force subie par la bulle
III.B.1) Quelle est l'expression de la force volumique d'inertie dans le référentiel (Bxyz) lié à la bulle? Montrer que cette force dérive d'une énergie potentielle volumique e_p = μU˙z.
III.B.2) Montrer que la grandeur :
p + μU˙rcosθ + 1/2μv^2 + μ(∂φ)/(∂t)
prend la même valeur en tout point de l'espace ; c'est donc une fonction du temps que l'on note f(t).
III.B.3) En exploitant les résultats précédents, on montre (travail non demandé) que la pression p en un point de la surface de la bulle est de la forme :
p = h(t) + (cosθ)/(a^2)d/(dt)((μa^3 U)/2) − 9/8μU^2 sin^2 θ
où h(t) est une fonction du temps qu'il n'est pas nécessaire d'expliciter. On cherche l'expression de la résultante F⃗ des forces de pression subies par la bulle.
a) Montrer sans calculs que les termes h(t) et 9μU^2 sin^2 θ/8 de la pression ne contribuent pas à F⃗.
b) Montrer sans calculs que F⃗ est portée par u⃗_z.
c) Calculer F_z = F⃗ ⋅ u⃗_z.
d) Vérifier que cette force peut s'interpréter comme la variation de quantité de mouvement par unité de temps d'un système ouvert fictif que l'on précisera. Commenter.
e) Cette force a été négligée dans la partie II. Discuter numériquement du bienfondé de cette approximation. On adoptera les résultats et les valeurs numériques des questions II.A. 6 et II.B.2.
Partie IV - Explosion des bulles
Au moment où les bulles atteignent la surface, elles y restent fixées en laissant dépasser une portion de sphère qu'on assimilera à une demi-sphère pour simplifier. La situation est alors celle de la figure 4 : une
libre
Figure 4
mince couche de liquide d'épaisseur e, limitée par les demi-sphères de centre B et de rayons a et a + e avec a»e surplombe la surface libre du champagne; la pression atmosphérique p_e règne des deux côtés de cette couche liquide.
IV.A - Étude expérimentale de l'amincissement du film
Avant que la bulle n'éclate, son épaisseur e(t) diminue car le liquide est entraîné par la pesanteur. L'étude expérimentale de cette phase est impossible dans le cas des bulles du champagne car les bulles émergent en deux lieux aléatoires et leur durée de vie est trop brève. On envisage donc ici seulement le principe d'un suivi optique de l'évolution de l'épaisseur e d'un film «contrôlé ».
On éclaire sous incidence normale par une onde plane un film supposé plan d'épaisseur e(t) uniforme et on observe la lumière réfléchie sur un écran placé parallèlement au film (cf. figure 5). En lumière monochromatique de longueur d'onde λ = 632 nm, on obtient un éclairement réfléchi ℰ(t) dont l'allure est donnée sur la figure 6 pour un film d'épaisseur initiale importante. On rappelle l'expression du coeffi-
cient de réflexion en amplitude d'une onde lumineuse sous incidence normale sur un dioptre n_1 − n_2 :
r_(n_1 → n_2) = (n_1 − n_2)/(n_1 + n_2).
On prendra n_a = 1 pour l'air et n_c = 1, 33 pour le champagne liquide du film. On considère que les coefficients de transmission sont approximativement égaux à 1 .
IV.A.1) En invoquant un phénomène d'interfé- rences à deux ondes qu'on précisera, établir l'expression de l'éclairement ℰ(t) en fonction de λ, e(t), n_a, n_c et de l'éclaire-
ment ℰ_0 du laser. Déduire du graphe de ℰ(t) l'évolution qualitative de la vitesse de variation e˙ de l'épaisseur du film.
IV.A.2) Interpréter le fait que l'éclairement est nul juste avant que le film n'éclate.
IV.A.3) Lorsqu'on observe le film en lumière blanche, on observe des franges colorées. Par analogie avec les observations sur un interféromètre de Michelson, donner une borne supérieure pour l'épaisseur initiale e_0 du film.
IV.B - Disparition du film
La pesanteur a pour effet de fragiliser le film au sommet S de la bulle, de telle sorte qu'il finit par se percer en ce point à un instant qu'on prend dans cette partie comme origine des temps. Pour étudier la phase suivante correspondant à la croissance du trou, on adopte le modèle de Culik (cf. figure 7) :
le film liquide est compris entre les plans de cotes z = ± e/2 et son épaisseur e est indépendante du temps ;
le problème est symétrique par rapport au plan x = 0 et invariant par translation selon u⃗_y; on note b la largeur du film dans cette direction;
à l'instant t > 0, le film a disparu entre les abscisses ± X(t) et il s'est formé des bourrelets centrés en M^′ et M^(′′); le bourrelet centré en M^′ (respectivement M^(′′) ) contient tout le liquide qui était contenu à t = 0 dans la partie du film initialement comprise entre les abscisses 0 et X(t)(resp.(− X)(t) et 0);
à l'instant t, le liquide est au repos dans les domaines |x| > X(t) et possède une vitesse v⃗ ≈ X˙(t)u⃗_x dans le bourrelet centré en M^′;
on ne prend en compte parmi les forces appliquées au bourrelet centré en M^′ que les deux forces de tension superficielle appliquées sur chacune des coupures liant le bourrelet aux faces planes du film ; chacune de ces forces vaut F⃗ = Abu⃗_x (cf. figure 8).
Figure 8
IV.B.1) Considérons le système fermé constitué de la masse m(t) de liquide contenue à l'instant t dans le bourrelet et de la masse δm contenue à l'instant t dans la partie plane du film et qui va entrer dans le bourrelet entre les instants t et t + dt. Exprimer la variation de quantité de mouvement par unité de temps dP⃗/dt de ce système en fonction de e, X_(x˙)b, X˙, μ et X¨. Dans la suite on néglige le terme en XX¨ devant le terme en X˙^2 dans cette expression.
IV.B.2) En déduire l'expression de X˙ en fonction de e, A et μ.
IV.B.3) En déduire un ordre de grandeur littéral de la durée τ_3 nécessaire pour faire disparaître le film.
IV.B.4) Calculer X˙ et τ_3 sachant que a = 0, 1 mm, e = 2 ⋅ 10^(− 7) m, μ = 1, 0 ⋅ 10^3 kg ⋅ m^(− 3) et A = 7 ⋅ 10^(− 2) N ⋅ m^(− 1).
Partie V - Rupture du jet ascendant
Une fois que le film liquide a disparu, il laisse derrière lui un cratère hémisphérique hors d'équilibre, qui provoque l'émission d'un fin jet de champagne liquide vertical. On constate que le jet est cylindrique, ce qui conduit à négliger la pesanteur dans toute cette partie. La pression atmosphérique p_e est uniforme autour du jet. Ce jet se brise en fines gouttelettes, ce que l'on se propose d'interpréter par deux modèles concurrents.
V.A - Premier modèle
On envisage un jet de liquide initialement cylindrique d'axe Oz et de rayon a. On adopte dans cette partie un système de coordonnées cylindriques (r, θ, z) d'axe Oz et le trièdre local associé. Pour discuter la stabilité du jet, on imagine qu'on lui impose à t = 0 une perturbation telle que sa surface libre ait pour équation r = a + bcos(2πz/λ) avec b < a et on se demande si la perturbation se résorbe ou s'amplifie.
On considère les points B et C sur la figure 9 de cotes respectives
Figure 9
λ et 3λ/2.
On admet que la pression en ces points vaut:
où A est le coefficient de tension superficielle, constant et positif introduit dans la partie I ; les dérivées secondes sont évaluées respectivement aux points B et C.
V.A.1) Exprimer p_C − p_B en fonction de A, a, b et λ en limitant les calculs à l'ordre un en b/a.
V.A.2) En déduire que le jet est instable si λ est supérieur à une valeur critique λ_c qu'on exprimera en fonction de a. Quelle est alors l'ordre de grandeur de la longueur minimale L_c de jet nécessaire pour que l'instabilité se développe?
V.B - Deuxième modèle
On se propose de retrouver le résultat précédent sachant que Rayleigh a obtenu des solutions analytiques de la forme :
r(z, t) = a + ℜe(bexp(jωt − jkz)) avec ω^2 = (k^2 a^2(k^2 a^2 − 1)A)/(2μa^3)
où ℜe désigne l'opérateur partie réelle ; k est un nombre réel et ω est un nombre a priori complexe noté ω = ω^′ + jω^(′′).
V.B.1) Expliciter r(z, t). À quelle condition sur ω^(′′) le jet cylindrique est-il instable ? Pour quel domaine de valeurs de k cette situation se produit-elle?
V.B.2) Tracer le graphe de ω^2 en fonction de la variable u = k^2 a^2 pour 0 < u < ∞. Pour un rayon a donné, quelle est la valeur particulière k_M de k donnant lieu à l'explosion la plus rapide? Comparer au résultat de V.A.2.
V.C - Validité du modèle du jet cylindrique
On se propose de tester la validité de l'approximation «pesanteur négligeable» utilisée dans la partie V , pour un jet de rayon typique a = 0, 1 mm et de vitesse typique v = 1 m ⋅ s^(− 1).
V.C.1) Former un nombre sans dimension à cet effet, l'évaluer et conclure.
V.C.2) Indiquer sans calcul pourquoi lorsqu'on prend en compte la pesanteur le rayon a du jet varie avec l'altitude z. Préciser si a croît ou décroît lorsque z croît.
-••FIN •••
Ce sujet est inspiré d'un article de Gérard Ligier-Belair paru dans le Bulletin de la Société Française de Physique (décembre 2000) rendant compte de recherches actuelles dans ce domaine. Ces recherches sont notamment motivées par l'importance du rôle joué par les bulles du champagne dans sa dégustation : lors de leur éclatement, elles libèrent, outre du dioxyde de carbone, des composés aromatiques.
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