X ENS Physique 1 PC 2002Sujet

(Durée : 4 heures)

L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

L'air qui constitue l'atmosphère terrestre est concentré dans une couche d'une dizaine de kilomètres d'épaisseur au-dessus du sol : la troposphère.

On considère cet air comme un fluide constitué de domaines élémentaires dont les dimensions horizontales sont en France de quelques dizaines de kilomètres et les dimensions verticales d'une dizaine de mètres.

La première partie de ce problème présente différents modèles d'équilibre de l'atmosphère. La deuxième partie décrit les mouvements horizontaux et verticaux de cette atmosphère à grande échelle et présente le modèle dit du vent géostrophique. Enfin, on étudie dans la troisième partie les écarts entre ce modèle et le vent réel.

Dans tout le problème, l'air sera considéré comme un gaz parfait.

On considère de l'air en équilibre dans le référentiel terrestre R. Chaque élément de ce fluide est donc en équilibre sous l'action des forces extérieures à cet élément, qui sont de deux types : les forces de pression et la force due au champ de pesanteur.

où H est une longueur nommée hauteur d'échelle de l'atmosphère que l'on explicitera en fonction de M_a, R, g et T. Calculer la hauteur d'échelle H_0 de l'atmosphère isotherme à T_0 = 273 K.
b) L'hypothèse d'une température uniforme est-elle justifiée?
4. On considère maintenant l'atmosphère en équilibre adiabatique caractérisé à toute altitude par la relation P = Kρ^γ où K est une constante et γ = (C_p)/(C_v) ≈ 1, 4 est le rapport des capacités thermiques à pression et volume constants des gaz parfaits diatomiques.
a) Montrer que dans ce modèle P(z) et T(z) vérifient les relations suivantes :

b) Calculer numériquement le gradient vertical de température en Kkm^(− 1) correspondant à ce modèle d'atmosphère en équilibre adiabatique.
c) Représenter graphiquement les allures des variations de la pression et de son gradient en fonction de l'altitude.
d) Calculer numériquement ce gradient de pression pour z = 0, 2500 et 5000 m .
e) À partir des gradients de pression trouvés, donner un ordre de grandeur de l'échelle de la dimension verticale L_z sur laquelle la pression varie de 100 Pa .
f) Exprimer le rapport des masses volumiques de l'air ρ(P, T)/ρ(P_0, T_0) en fonction de z, H_0 et γ. Calculer ρ à 2500 m d'altitude.

II - Dynamique des mouvements atmosphériques à l'échelle synoptique : le vent géostrophique

b) Sachant qu'on attribue habituellement aux domaines élémentaires des dimensions horizontales L_h telles que la pression horizontale varie en moyenne de 100 Pa , déterminer un ordre de grandeur de L_h.

Dans la suite du problème, nous nous placerons à cette échelle.
2.a) Donner l'expression du champ de gravitation terrestre g⃗^∗(r⃗) en un point repéré par r⃗ par rapport au centre de la Terre, assimilée à une sphère homogène de masse M_T. On désignera par G la constante de gravitation universelle.
b) Établir l'expression donnant la variation avec l'altitude z du module g^∗(z) = ‖g⃗^∗‖ en fonction du rapport z/(r_T) et de g^∗(0). Quelle est l'erreur relative commise à 2500 m d'altitude si l'on remplace g^∗(z) par g_0^∗ = g^∗(0).
3. Soit R_0 le référentiel barycentrique terrestre, géocentrique, que l'on considérera comme galiléen, et soit R_ℓ le référentiel terrestre local, dont l'origine O a pour latitude φ (Figure 2). On choisit Ox tangent au parallèle passant par O et dirigé vers l'Est, Oy tangent au méridien passant par O et dirigé vers le Nord.

Le référentiel R_ℓ est animé par rapport à R_0 d'un mouvement de rotation diurne uniforme de vitesse angulaire ω⃗.
a) Préciser dans R_ℓ la direction de l'accélération d'entraînement Γ⃗_E(r⃗). Pour un point d'altitude z à la verticale de O, établir l'expression de son module Γ_E(z) en fonction de ω, z, r_T et φ. Quelle est l'erreur relative commise sur Γ_E à 2500 m d'altitude si l'on remplace Γ_E(z) par Γ_(E_0) = Γ_E(0). Calculer la valeur typique de Γ_(E_0) en France.
b) Soit g⃗(r⃗) le champ de pesanteur local, dont la direction est donnée par celle d'un fil à plomb. Déduire des résultats précédents la relation entre le champ de pesanteur g⃗(r⃗), le champ de gravitation terrestre g⃗^∗(r⃗) et l'accélération d'entraînement Γ⃗_E(r⃗). Justifier l'hypothèse d'un champ de pesanteur localement uniforme g⃗ utilisée en I.
c) Une particule de masse m se déplace à la vitesse V⃗ dans R_ℓ. Donner l'expression de l'accélération de Coriolis Γ⃗_C correspondante en fonction de V⃗ et ω⃗. Exprimer la force d'inertie de Coriolis F⃗_C dans Oxyz en fonction de m, ω, de la latitude φ et des composantes ( V_x, V_y, V_z ) de V⃗.
4. Sur l'air atmosphérique en mouvement s'exercent les forces de pesanteur, d'inertie de Coriolis et de gradient de pression; écrire l'équation vectorielle du mouvement d'un domaine particulaire; en déduire les trois équations donnant les coordonnées de l'accélération locale Γ⃗ = V⃗˙ dans Oxyz.
5. On se propose tout d'abord d'étudier les mouvements verticaux de l'air dans le cadre du modèle d'atmosphère en équilibre adiabatique.
a) Évaluer les ordres de grandeur des différents termes situés dans le second membre de l'équation du mouvement vertical, en utilisant les résultats trouvés à la question I.4.d) lorsqu'on se place à 2500 m d'altitude, pour une latitude φ = 45^∘ et un vent de l'ordre de 10 m s^(− 1). Que peut-on en déduire sur l'importance de la composante verticale de la force d'inertie de Coriolis?
b) Les observations montrent qu'en dehors de très brèves périodes d'adaptation aux perturbations verticales, les ascendances ou descendances sont particulièrement stables dans le temps. Que peut-on en conclure concernant l'amplitude de l'accélération verticale? À partir des données de la Table 1, estimer l'ordre de grandeur de l'accélération verticale. En effectuant alors les simplifications légitimes, à quoi se réduit l'équation du mouvement vertical de l'air? Conclure quant aux résultats de la partie I.
6. On étudie maintenant les mouvements horizontaux de l'air en se plaçant à 2500 m d'altitude.
a) En s'appuyant sur les données de la Table 1, simplifier les équations du mouvement horizontal. On définit le paramètre de Coriolis k par k = 2ωsinφ : quelles sont ses valeurs numériques respectives à des latitudes de 45^∘ dans les hémisphères Nord et Sud.
b) On définit la vitesse relative horizontale par V⃗_h = V_x e⃗_x + V_y e⃗_y. Montrer que la force de Coriolis horizontale par unité de masse peut s'exprimer sous la forme : f⃗_(Ch) = − k(e⃗_z ∧ V⃗_h). Que peut-on en conclure sur l'orientation du vecteur f⃗_(Ch) par rapport au vecteur V⃗_h dans les hémisphères Nord et Sud?
c) Calculer le module de la force horizontale de Coriolis rapportée à l'unité de masse f⃗_(Ch) à une altitude de 2500 m pour laquelle le vent a une vitesse horizontale de 15 m/s à une latitude de 45^∘. En prenant comme gradient horizontal de pression à la même altitude celui donné par la Table 1, calculer le module de la force de pression horizontale par unité de masse f⃗_(Ph).
d) De façon générale, les observations montrent que les accélérations tangentielles subies par les domaines particulaires dans leurs mouvements horizontaux sont toujours très faibles dans les grands mouvements atmosphériques sous nos latitudes moyennes. De même les accélérations normales sont en général très petites sauf à l'avant des dépressions mobiles. En vous appuyant sur les données de la Table 1, estimer l'ordre de grandeur des modules des quantités f⃗_(Ch), f⃗_(Ph) et de l'accélération horizontale Γ⃗_h = V⃗˙_h. Que peut-on en conclure pour la valeur de la somme vectorielle f⃗_(Ph) + f⃗_(Ch) ?
7. On appelle vent géostrophique le vent fictif de vitesse horizontale V⃗_g vérifiant identiquement l'équation f⃗_(Ph) + f⃗_(Ch) ≡ 0.
a) Montrer que ce vent est entièrement déterminé par la connaissance de la distribution spatiale de pression et exprimer son champ de vitesse V⃗_g à l'aide du gradient horizontal de pression ∇⃗_h(P).
b) Quelle est la valeur de l'accélération Γ⃗_g et la nature locale de la trajectoire des particules constituant le vent géostrophique? Préciser sur un schéma les orientations respectives de V⃗_g, f⃗_(Ph) et f⃗_(Ch) dans les hémisphères Nord et Sud.
c) Compte tenu des ordres de grandeurs donnés dans la Table 1, vérifier que, pour la latitude de 45^∘, le module V_g de la vitesse géostrophique est égal à V_h. Définir à l'aide de la figure 3 la fourchette de latitude pour laquelle l'écart relatif (|V_g − V_h|)/(V_h) reste inférieur à 30%.
d) En déduire les deux conditions nécessaires pour que le vent géostrophique soit une bonne approximation V⃗_g ≈ V⃗_h du vent réel. Ces conditions sont-elles vérifiées aux latitudes équatoriales (φ < 20^∘) ?

Le vent réel est parfois en désaccord avec le vent géostrophique notamment au voisinage des dépressions. Ce désaccord provient de la présence dans l'équation du mouvement horizontal du terme d'accélération Γ⃗_h qui a été négligé dans l'hypothèse géostrophique. Malgré l'apparente complexité des cartes qui décrivent les perturbations météorologiques, les distributions de vitesse et de pression sont cependant assez simplement reliées au prix de quelques approximations.

Déterminer son ordre de grandeur avec les données de la Table 1.
c) Compte tenu du résultat précédent et en se limitant à l'hémisphère Nord, vérifier que les deux solutions ayant pour expression V_∇ = 1/2R_c k{√(1 − 4/(ρk^2 R_c)(∂P)/(∂n)) − 1} avec R_c > 0 pour l'une et R_c < 0 pour l'autre, (∂P)/(∂n) étant négatif dans les deux cas, sont physiquement admissibles. On admettra sans démonstration que ce sont les deux seules. Pour chacune des deux situations météorologiques, faire un schéma faisant apparaître les directions et les amplitudes relatives des forces, le sens de rotation du vent de gradient ainsi que les directions et les amplitudes relatives de la vitesse géostrophique et de celle du vent de gradient.
d) Montrer que dans le cas des anticyclones (hautes pressions) le gradient de pression ne peut dépasser une valeur limite fonction du rayon R_c. Que peut-on en conclure quant à la forme du profil de pression et à la force du vent au voisinage du centre d'un anticyclone par comparaison avec la région proche du centre d'une dépression? Commenter en faisant référence à la figure 1 .