X ENS Physique B PC 2014Sujet, corrigé et rapport du jury

5,0(1 vote)

Équation de d'Alembert et ondes sur une corde
Ondes stationnaires et pulsations propres
Conditions aux limites (encastrement, contact ponctuel)
Séries de Fourier
Statique et énergétique des lames vibrantes
Facteur de qualité et anharmonicité

Explorer les annales

BanqueX-ENS Année2014 FilièrePC MatièrePhysique

Annales X-ENS PC Physique X-ENS PC 2014 PC Physique Physique 2014

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé sur Discord

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Présentation du sujet

Difficile

Instruments de musique à lame et à corde : vibration d'une corde, lames vibrantes (xylophone, clarinette) et anharmonicité du piano

Le sujet étudie les principes physiques de fonctionnement de certains instruments de musique, en quatre parties de difficulté croissante et relativement indépendantes. Il traite d'abord la vibration d'une corde souple puis l'équation générale des ondes, avant d'étudier les instruments à lame vibrante (lame posée pour le xylophone, lame encastrée pour la clarinette ou le saxophone), et enfin l'anharmonicité d'une corde réelle de piano.

1Partie I : préliminaires, vibration d'une corde soupleÉtablissement de l'équation de d'Alembert et étude des ondes stationnaires et des pulsations propres.
2Partie II : équation généraleGénéralisation de l'équation d'onde et étude des conditions aux limites associées.
3Partie III : instruments à lame vibranteÉtude statique et énergétique d'une lame posée (xylophone) puis d'une lame encastrée (boîte à musique, clarinette, saxophone).
4Partie IV : un piano joue plus ou moins justeÉtude de l'anharmonicité d'une corde réelle et comparaison entre piano droit et piano à queue.

Difficile. La moyenne obtenue sur 1335 copies est de 7,87/20 avec un écart-type de 3,67, et les parties III et IV ont rencontré beaucoup moins de succès que les deux premières.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 7,87 / 20 · écart-type 3,67 · 1 335 copies · où vous situez-vous ?

Moyenne: 7,87/ 20
Écart-type: 3,67
Copies: 1 335

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Hypothèses de l'équation de d'Alembert mal maîtrisées · Confusion entre ondes stationnaires et ondes résonnantes · Dérivée seconde affirmée à tort sans dimension

Les parties I et II ont été abordées par la plupart des candidats, mais les parties III et IV, plus longues et à la continuité thématique marquée, ont découragé de nombreux candidats. Le sujet s'est révélé très classant, avec une recrudescence surprenante de copies fournies mais majoritairement fausses.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Hypothèses de l'équation de d'Alembert mal maîtriséesQ1
Le rapport relève des confusions surprenantes, certains candidats confondant la vitesse de vibration de la corde avec la célérité de la lumière.
« vitesse de vibration de la corde » quand »
2
Confusion entre ondes stationnaires et ondes résonnantesQ2
Cette différence fondamentale n'est pas comprise par de nombreux candidats.
« La différence entre les notions d’ondes stationnaires et d’ ondes résonnantes n’est »
3
Dérivée seconde affirmée à tort sans dimensionQ6
De très nombreux candidats affirment que la dérivée seconde de la grandeur étudiée est sans dimension, ce qui est faux.
« affirment que la dérivée seconde de Y est sans »
4
Nullité du couple aux extrémités non justifiéeQ11
Cette condition aux limites est rarement justifiée correctement, alors qu'il faut savoir traduire des conditions comme le contact ponctuel ou l'encastrement.
« Le fait que le couple soit nul aux deux extrémités de la lame n ’est pas souvent »
5
Fréquences supposées multiples entiers du fondamentalQ31
Cette hypothèse erronée empêche de bien répondre à la question sur l'anharmonicité.
« Les fréquences ne sont pas des multiples entiers de la fréqu ence du fondamental. »
6
Justification fantaisiste sur une masseQ22
Certaines justifications manquent totalement de rigueur physique.
« un corps sans mouvement (par exemple un mort) semble touj ours plus lourd qu’un »

Ce qui a été bien réussi

La question sur les façons d'augmenter la fréquence du fondamental a été en général abordée avec succès.
La question 5 a été généralement bien traitée.
Les questions 35 et 36 ont généralement reçu de bonnes réponses de la part des candidats qui les ont abordées.

Conseils du jury

Respecter les notations de l'énoncé même si elles diffèrent du cours suivi pendant l'année.
Réaliser avec soin les schémas explicitement demandés, sous peine de perdre une partie des points.
Justifier soigneusement tout résultat, même lorsqu'il est donné dans l'énoncé.
Bien préparer les questions sur les conditions aux limites : combien en attendre, sur quelles variables, et comment les traduire mathématiquement.
Revoir les notions de base sur les séries et transformées de Fourier avant l'épreuve.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

COMPOSITION DE PHYSIQUE - B - (XEULC)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Les résultats des applications numériques seront donnés avec un unique chiffre significatif.

Quelques propriétés des instruments de musique à lame et à corde

Présentation.

Ce sujet porte sur l'étude de quelques instruments de musique. L'analyse des vibrations d'une lame (xylophone, clarinette, boîtes à musique,

\dots

) ou d'une corde (piano, guitare, harpe,

\dots

) nous permettra de comprendre les caractéristiques musicales de quelques instruments.

Quelques éléments concernant les sons et leur perception.

Une note est identifiée par sa fréquence fondamentale. Le "la3" correspond à la fréquence de 440 Hz.
Une gamme "do-ré-mi-fa-sol-la-si" est constituée de 12 demi-tons (certaines notes successives sont séparées d'un demi-ton, d'autres de deux demi-tons).
On "monte" d'un demi-ton en multipliant la fréquence d'une note par $12\sqrt2$ . Monter de 12 demitons, c'est-à-dire d'une octave, revient donc à multiplier la fréquence de la note par 2 (par exemple, pour passer du la3 au la4).
Le timbre d'un son est ici défini par son contenu spectral (ensemble des fréquences qui le composent).
L'intensité perçue par l'oreille est reliée au logarithme de la puissance acoustique. Une échelle en décibels est ainsi adaptée à la perception des sons. Le niveau sonore de 0 dB correspond à une intensité acoustique égale à $10^(- 12) W \cdot m^(- 2)$ (seuil d'audition). Il s'élève de 10 dB lorsque l'intensité est multipliée par 10.

Le cadre de la modélisation.

L'élément vibrant est une lame (ou tige), de masse volumique

ρ

, de longueur

L

(selon

(Ox)

) et de section droite

S

(dans le plan

(O, y, z)

) (voir figure (1)). Cette lame est susceptible de se déformer dans le plan (

O, x, y

). Nous appelons fibre moyenne, l'ensemble des points de cette lame confondus avec l'axe (

Ox

) lorsque la lame n'est pas déformée (cette fibre passe donc par le centre de chaque section droite).

Le déplacement

r⃗

du point

P

de la fibre moyenne, d'abscisse

x

(en situation non déformée), à la date

t

, s'écrit (voir figure (2)) :

r⃗(x, t) = X(x, t)e⃗_x + Y(x, t)e⃗_y

Figure 1 - Schéma de la lame (non déformée) - Repère et notations associés.

Figure 2 - Tronçon élémentaire

[x - dx, x]

de lame en situation déformée. Repère local associé au point

P(x)

. Notation des composantes de l'action mécanique exercée par la partie droite de la lame, sur sa partie gauche, à travers la section

S(P)

Nous notons

α(x, t)

l'angle formé entre l'axe (

Ox

) et la tangente à la fibre moyenne.
Nous définissons la base locale directe (

P, n⃗, τ⃗, e⃗_z

) où

n⃗

est le vecteur unitaire tangent à la fibre moyenne, dans une situation a priori déformée (voir figure (2)). L'action mécanique des efforts internes, exercés à travers la section droite contenant le point

P

, par la partie droite de la lame sur sa partie gauche, se caractérise par :

Une résultante qui se décompose en :
Un effort normal à la surface, ou tension, noté $N⃗ = Nn⃗$ ;
Un effort tangentiel à la surface, ou effort tranchant, noté $T⃗ = Tτ⃗$ ;
Un moment, au point $P : M = Me⃗_z$ , appelé moment fléchissant (ou de flexion).

Nous nous plaçons dans le cadre suivant :

Les déformations considérées sont telles que $|X|$ peut être négligé devant $|Y|$ . Nous considérerons alors que $X = 0$ .
Elles nous autorisent également à limiter tous les développements à d'ordre le plus bas, non nul, relativement à $α$ .
L'effet de la pesanteur est négligé (sauf pour la question (28)).

I Préliminaires : vibration d'une corde souple.

L'équation décrivant les petits mouvements vibratoires d'une corde très souple (corde de Melde) s'écrit :

(\partial^2 Y)/(\partialt^2) - c^2(\partial^2 Y)/(\partialx^2) = 0

Rappeler les hypothèses, portant sur les propriétés de la corde et les conditions expérimentales, associées à cette équation. Définir $c$ . Représenter le dispositif expérimental correspondant.
L'extrémité gauche $(x = 0)$ de la corde est excitée par un vibreur à la pulsation $ω$ et son extémité droite ( $x = L$ ) est telle que $Y(L, t) = 0(\forallt)$ . Représenter (aucun calcul n'est attendu) l'amplitude vibratoire de la corde, en fonction de $x$ , dans deux situations; (a) la pulsation est quelconque, (b) la pulsation correspond à une résonance de la corde. Déduire de ce dernier cas la suite des pulsations propres.
Indiquer comment augmenter la fréquence du fondamental (mode de plus faible fréquence).
Proposer une réalisation d'un instrument de musique, basé sur l'équation (2), permettant de jouer les 12 demis tons du la 3 au la 4 .

II Équation générale.

Nous considérons une lame métallique, ou une corde, de masse linéique

μ = ρS

et non infiniment souple. Le fléchissement (ou courbure) d'un tel élément fait apparaître un moment de flexion

M

. Ce moment se manifeste par une raideur de flexion. Le fléchissement est toujours supposé s'effectuer dans le plan

(xOy)

.
5. Indiquer la relation entre les fonctions

Y(x, t)

α(x, t)

, dans le cadre des hypothèses adoptées.
6. Nous proposons deux expressions phénoménologiques du moment de flexion. Chacune relie ce moment à une certaine image de la déformation :

M = γ(\partial^2 Y)/(\partialx^2) ou M = γ(\partialY)/(\partialx) (γ > 0)

Indiquer, en précisant le(s) test(s) effectué(s) ou la (les) situation(s) particulière(s) envisagée(s), quelle est la relation qui peut être retenue. Préciser alors la dimension (ou l'unité) de

γ

correspondant. De quoi dépend ce paramètre?
7. Considérons un tronçon

[x, x + dx]

de lame compris entre les sections droites d'abscisses

x

x + dx

. Dans toute l'étude, nous négligerons son moment dynamique (exprimé au centre du tronçon). En appliquant le théorème du moment cinétique à cet élément, établir la relation entre effort tranchant et déformation :

T = - γ(\partial^3 Y)/(\partialx^3)

En appliquant maintenant le principe fondamental de la dynamique au tronçon $[x, x + dx]$ , établir l'équation générale d'évolution (un schéma pourra être utile) :

ù (\partial^2 Y)/(\partialt^2) - c^2(\partial^2 Y)/(\partialx^2) + A(\partial^4 Y)/(\partialx^4) = 0 où A = γ/μ

Comment transposer cette équation au cas particulier de la corde de Melde?
9. Combien de conditions aux limites convient-il d'adjoindre à l'équation (5) ? Sur quelles grandeurs physiques sont-elles susceptibles de porter?

III Instruments à lame vibrante.

Dans cette partie, nous nous plaçons dans le cas où la tension est nulle (

N = 0

III.A Solutions harmoniques.

Nous recherchons une solution de l'équation (5) sous la forme :

Y(x, t) = Re[Y_-] avec Y_- = f(x)exp(iωt) et f \in ℂ

Déterminer la fonction $f$ . Justifier qu'elle peut s'écrire:

f(x) = B_1 sin(Kx) + B_2 cos(Kx) + B_3 sinh(Kx) + B_4 cosh(Kx) (B_i \in ℂ, K \in ℝ_+)

et exprimer la constante

K

, en fonction de

A

ω

III.B Lame posée : le xylophone.

Dans le cas du xylophone, les extrémités de la lame reposent sur deux appuis situés en

x = 0

x = L

(voir figure (3)). Nous supposerons qu'elles y restent en contact.

Figure 3 - Lame (représentée non déformée) du xylophone reposant sur ses deux appuis.

Nous adoptons les conditions aux limites suivantes :

{Y(0, t), = Y(L, t) = 0, (\forallt \in ℝ); M(0, t), = M(L, t) = 0, (\forallt \in ℝ)

III.B.a Cadre général.

Justifier le choix des conditions aux limites adoptées.
Déterminer alors la solution $f$ , associée à la pulsation $ω$ , ainsi que la constante $K$ . On écrira $K$ sous la forme : $K_n = nK_1$ où $n \in ℕ^⋆$ .
Représenter les fonctions $f$ correspondant à $K_1$ et $K_2$ .
Pour une lame, caractérisée par sa longueur $L$ et le paramètre $A$ , à chaque $K_n$ correspond un mode de pulsation $ω_n$ .
Exprimer $ω_n$ sous la forme $ω_n = S(n)ω_1$ . Ce spectre (distribution des pulsations) autorise-t-il une description des oscillations par une série de Fourier?
Comparer le contenu spectral du xylophone à celui d'une corde (infiniment souple) vibrante. Le timbre d'une note dépend fortement de la présence de l'harmonique correspondant à une octave plus aiguë que son fondamental. Qu'en est-il pour le xylophone?

III.B.b Applications.

Nous considérons un xylophone pour orchestre (lames en bois de rose et de section rectangulaire) dont le la3 (fondamental à 440 Hz ) correspond à la longueur

L_(la3) = 32, 8 cm

. La gamme de ce xylophone s'étend sur deux octaves du la 2 au la 4 inclus.
16. Calculer les longueurs des lames correspondant aux notes extrêmes.

III.B.c Etude statique.

Une force extérieure constante

F⃗ = - Fe⃗_y

est appliquée sur la lame, en son milieu (

x = L/2

F

est une grandeur algébrique, a priori positive. Les réactions aux appuis sont notées

R⃗_A = R_A e⃗_y

R⃗_B = R_B e⃗_y

.
N.B. : Les équations obtenues en (II) ont été établies pour des tronçons de lame soumis à aucune force extérieure. Elles restent donc applicables sur chacun des intervalles ouverts

]0, L/2[

]L/2, L[

.
17. Exprimer les réactions aux appuis

R_A

R_B

.
18. En traduisant l'équilibre mécanique de portions de lame bien choisies (et que l'on précisera), exprimer

T(x)

M(x)

sur chacun des intervalles

]0, L/2[

]L/2, L[

.
19. Représenter l'évolution des grandeurs

T

M

en fonction de

x

.
20. Indiquer les conditions aux limites que doit satisfaire la fonction

Y

.
21. En déduire l'expression de la flèche

Y_M \equiv |Y(L/2)|

, en fonction de

γ

L

F

III.B.d Aspect énergétique.

Pour le mode fondamental, nous considérons que les effets inertiels agissant sur la lame peuvent être négligés (régime quasistatique). La déformation de la lame en oscillation (pour l'amplitude

Y_M

) est alors proche de sa déformation statique. Le résultat obtenu à la question (21) suggère alors de modéliser la lame par un système masse-ressort dont

Y_M

représenterait l'amplitude d'élongation. On attribue à ce système la masse "dynamique" équivalente

m_1 = 48m/π^4 \approx 0, 5m

(

m

étant la masse de la lame).
22. À travers ce modèle, donner un argument qui justifie que

m_1 < m

.
23. Exprimer la raideur

k_1

du ressort équivalent, puis la pulsation

ω_1

du fondamental de la lame (en fonction de

m_1

k_1

).
24. Dans le cadre de ce modèle, établir une relation entre l'amplitude

Y_M

des vibrations du fondamental et l'énergie de vibration

U

de la lame.
25. La lame émet un la 3 de niveau 60 dB , à une distance de 5 mètres, avec une durée de persistance de l'ordre de 1 seconde. Nous supposons que la puissance acoustique est rayonnée de façon isotrope et que l'énergie de la lame ne se dissipe que par ce rayonnement. Estimer

Y_M

en fonction de la fréquence fondamentale

ν_1

de la lame, de sa masse

m

et de son énergie initiale

U_0

.
26. Donner une valeur approximative de

Y_M

pour la lame du la3 ( 440 Hz ) (

m = 260 g

).
27. Estimer l'ordre de grandeur du facteur de qualité de cet oscillateur (en précisant la méthode de détermination). Le comparer à celui d'un circuit électrique (passif) courant.
28. Nous considérons ici, et ici seulement, l'action de la pesanteur.

Toujours dans le cadre de ce modèle, et avec les valeurs adoptées, déterminer si le contact entre les extrémités de la lame et les appuis reste effectivement maintenu.

III.C Lame encastrée : boîte à musique, clarinette, ou saxophone.

III.C.a Détermination des modes d'oscillation libres de la lame.

Pour ces instruments, la lame est encastrée à une extrémité et libre à l'autre (figure (4)).
Nous adoptons les conditions aux limites suivantes :

(∀t ∈ ℝ){Pour x = 0, Y = 0 et (∂Y)/(∂x) = 0; Pour x = L, (∂^2 Y)/(∂x^2) = 0 et (∂^3 Y)/(∂x^3) = 0

Figure 4 - Lame encastrée à une extrémité et libre à l'autre.

Justifier ce choix de conditions aux limites.
Les conditions aux limites imposent que le produit $KL$ vérifie la relation :

cos(KL) = - 1/(cosh(KL))

Donner une forme asymptotique (

KL≫1

) des solutions.
31. Les premières solutions de l'équation précédente conduisent à :

(K_2/K_1)^2 = 6, 250; (K_3/K_1)^2 = 17, 556; (K_4/K_1)^2 = 34, 340

Le spectre des pulsations peut-il être représenté par une série de Fourier?

IV Un piano joue plus ou moins juste ...

Nous étudions les vibrations d'une corde métallique, cylindrique, tendue entre deux points fixes. Cette corde est caractérisée par :

Sa longueur $L$ et son rayon $r$ ;
Sa masse volumique $ρ$ (ou sa masse linéique $μ = πr^2 ρ$ ) et son module d'Young $E$ ;
Sa tension $N$

La corde d'un piano est initialement fortement tendue. Nous pouvons alors considérer que l'élongation due aux vibrations ne modifie pas sa tension. Dans ce cadre, rappelons que l'équation d'évolution s'écrit :

ù (\partial^2 Y)/(\partialt^2) - c^2(\partial^2 Y)/(\partialx^2) + A(\partial^4 Y)/(\partialx^4) = 0 où, dans ce cas, A = (r^2 E)/(4ρ)

Tous les termes de cette équation interviennent dans le comportement de cette corde.

IV.A Anharmonicité d'une corde réelle.

Nous recherchons les solutions de cette équation sous la forme :

Y(x, t) = Re[Y_-] avec Y_- = f(x)exp(iωt) et f \in ℂ

Établir l'équation différentielle vérifiée par la fonction $f$ . On posera $D = A/c^2$ et $k = ω/c$ .
La fonction $f$ est de la forme :

f(x) = F_1 sin(K_I x) + F_2 cos(K_I x) + F_3 sinh(K_R x) + F_4 cosh(K_R x)

où les constantes

F_i

sont complexes et les constantes

K_I

K_R

réelles positives.
Expliciter

K_I

K_R

en fonction des paramètres

D

k

.
34. Le système de fixation des cordes permet d'imposer les conditions aux limites:

f(0) = f(L) = 0 et f^('')(0) = f^('')(L) = 0

Schématiser un dispositif de fixation susceptible d'imposer de telles conditions aux limites.
35. Préciser la fonction

f

ainsi que la série des paramètres

K_I

autorisés.
36. À chaque valeur de

K_I

correspond un mode de fréquence

ν_n

(

n = 1

pour le mode de fréquence la plus faible). Établir que :

ν_n = nν_0\sqrt(1 + Bn^2)

où

ν_0

est la fréquence du fondamental pour

B = 0

(corde vibrante "classique").
Préciser l'expression du terme d'anharmonicité

B

, d'abord en fonction de

r, E, N

L

, puis en fonction de

r, E, L, ρ

ν_0

.
37. Comment réduire l'anharmonicité du son? Vers quel système la corde de piano tend-elle alors, et pourquoi?

IV.B Piano droit, piano à queue.

Les deux exemples de piano que nous allons considérer sont des cas extrêmes et simplifiés. La structure réelle des cordes de piano de concert est plus complexe (âme en cuivre, entourée d'acier torsadé).
38. La corde du la2

(220 Hz)

d'un piano droit mesure

67, 7 cm

et son diamètre est égal à

0, 96 mm(B = 3, 5 \times 10^(- 4))

.
Calculer la fréquence de la dixième harmonique (encore très présente dans le timbre d'un piano). Placer ce résultat entre la fréquence de l'harmonique parfaite et le demi-ton supérieur (

12\sqrt2 =

1,059). Commenter ce résultat.
39. La corde du la2 d'un piano à queue, réalisée dans le même acier, mesure

170, 1 cm

, pour un diamètre de

0, 79 mm

. Dans quel rapport

B

est-il réduit? Quelle en est la conséquence?
40. Un piano dispose de 88 notes. Pour estimer la force totale exercée sur le cadre, nous considérons que pour chaque note il y a trois cordes et que toutes les cordes subissent la tension correspondant au la2.
Avec les données précédentes, estimer la force totale exercée par les cordes dans un piano droit et dans un piano à queue (

ρ = 8000 kg \cdot m^(- 3)

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de Physique B X-ENS PC 2014 ?

Le sujet porte sur les instruments de musique à lame et à corde : vibration d'une corde, lames vibrantes du xylophone et de la clarinette, et anharmonicité du piano.

Ce sujet de Physique B X-ENS PC 2014 est-il difficile ?

Oui, la moyenne obtenue est faible (7,87/20) et les parties III et IV, plus longues, ont rencontré beaucoup moins de succès que les deux premières.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet X-ENS Physique B PC 2014 ?

Le jury relève une mauvaise maîtrise des hypothèses de l'équation de d'Alembert, une confusion entre ondes stationnaires et résonnantes, et des conditions aux limites souvent mal justifiées.

Faut-il bien maîtriser les séries de Fourier pour ce sujet X-ENS Physique B PC 2014 ?

Oui, le rapport signale des difficultés importantes sur les questions de séries de Fourier, pourtant plus simples dans une épreuve de mathématiques.

Pas de description pour le moment

Commentaires• X ENS Physique B PC 2014

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...