Centrale Mathématiques 1 PC 2006Sujet et rapport du jury

On note I le segment [ − 1, 1] de ℝ et E l'espace préhilbertien complexe des fonctions continues sur I à valeurs complexes muni du produit scalaire :

Pour tout nombre complexe z n'appartenant pas à l'intervalle ] − ∞, 0], on note Arg(z) l'unique nombre réel appartenant à l'intervalle ] − π, π[ tel que z = |z|e^(iArg(z)).
Pour (n, p) ∈ ℕ^2 et p ≤ n, C_n^p = (n/p) = (n!)/(p!(n − p)!)

a) Déterminer le développement en série entière au point 0 de la fonction :

et préciser le rayon de convergence de la série entière obtenue.
b) Pour n ∈ ℕ, on pose

Montrer que la fonction :

c) Montrer que φ est une racine carrée de la fonction

d) Montrer que :

On pourra dorénavant noter

e) Cette question est indépendante des précédentes.

Pour tout entier naturel n, prouver l'existence d'une fonction polynomiale H_n telle que, pour tout réel θ, on a H_n(cosθ) = cosnθ.

I.A - Montrer que, pour tout t ∈ I, la fonction

est l'unique solution sur ] − 1, 1[ d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients polynomiaux prenant la valeur 1 en 0 . On donnera cette équation différentielle :

I.B.1) Vérifier que pour x ∈ ] − 1, 1[ et θ ∈ ℝ on a

où G_n est une combinaison linéaire à coefficients positifs d'applications de la forme θ ↦ e^(ikθ) où k ∈ ℤ. Préciser la valeur de G_n(0).
I.B.2) Montrer que pour n ∈ ℕ et θ ∈ ℝ, on a G_n(θ) = P_n(cosθ) où P_n est un polynôme à coefficients réels.
I.B.3) Montrer que pour n ∈ ℕ et θ ∈ ℝ, on a |G_n(θ)| ≤ G_n(0), puis que pour

avec convergence normale sur [ − 1, 1] × [ − a, a] où a ∈ ]0, 1[.
I.B.4) Montrer que la suite (P_n)_(n ≥ 0) vérifie P_0(t) = 1, P_1(t) = t et pour

I.B.5) Déterminer pour tout n ∈ ℕ le degré et la parité de P_n. Déterminer le coefficient dominant de P_n, ainsi que P_n(1) et P_n(− 1).

I.C.1) Soit a et b deux éléments distincts de ]1, + ∞[. Calculer et simplifier la dérivée de la fonction définie sur [ − 1, 1] par:

après avoir vérifié qu'elle est bien définie.
En déduire la valeur de l'intégrale :

I.C.2) Montrer que:

On admettra sans démonstration l'identité suivante :

I.C.3)
a) Pour tout couple (x, y) d'éléments de ]0, 1[ établir que :

b) On fixe y dans l'intervalle ]0, 1 [ . Montrer que, pour tout couple ( t, x ) appartenant à I × ]0, 1[ :

la série convergeant normalement sur tout l'ensemble de la forme I × ]0, a] avec a ∈ ]0, 1[. Conclure que :

c) En écrivant que, pour tout (t, y) ∈ I × ]0, 1[, f(t, y) = ∑_(m = 0)^∞P_m(t)y^m, prouver
que, pour tout n ∈ ℕ : que, pour tout n ∈ ℕ :

d) Conclure que

où δ_(n, m) est le symbole de Kronecker : δ_(n, m) = 1 si m = n et δ_(n, m) = 0 sinon. Interpréter le résultat obtenu.
I.D - Soit n un entier supérieur ou égal à 1 et z un zéro de P_n (a priori dans ℂ). On note R_n la fonction polynôme telle que, pour t ≠ z, R_n(t) = (P_n(t))/(t − z).
I.D.1) Calculer ( R_n|_P_n ) .
I.D.2) En déduire que z est réel et que |z| < 1.
I.D.3) Montrer que z est une racine simple de P_n.

I.E.1) En utilisant (2), établir que, pour tout entier naturel n et tout couple (x, y) de nombres complexes distincts :

I.E.2) En déduire que, pour tout x ∈ ℂ :

I.E.3) Déduire de cette dernière formule que tout zéro de P_n est strictement compris entre deux zéros consécutifs de P_(n + 1).
I.F - Pour toute fonction f de classe 𝒞^2 sur I, on note Af la fonction de I dans ℂ définie par :

Prouver que, pour tout couple (f, g) de fonctions de classe 𝒞^2 sur I, (Af|g) = (f|Ag).
En déduire que, pour tout n ≥ 1 et tout entier k, 0 ≤ k ≤ n − 1, (P_k|AP_n) = 0.
En déduire que P_n est solution de l'équation différentielle :

II.A.1) On associe à n ∈ ℕ et à f ∈ E le coefficient c_n(f) = (P_n|f). Montrer que la série de terme général

II.A.2) Montrer, à l'aide de I.F - que si f ∈ E est de classe 𝒞^2 sur I, alors la série ∑n^5|c_n(f)|^2 est convergente.
En déduire que la série ∑n|c_n(f)| est convergente.

II.B.1) Pour tout n ∈ ℕ, on définit f_n dans E par f_n : t ↦ t^n.

Montrer que si f ∈ E est telle que, pour tout n ∈ ℕ, (f_n|f) = 0 alors f est nulle.
II.B.2) Supposant f ∈ E de classe 𝒞^2 sur I, montrer que l'expression :

II.B.3) Montrer que g est nulle.
II.B.4) Déduire de ce qui précède une condition suffisante pour que la série de fonctions

II.C - Pour tout n ∈ ℕ et tout x ∈ ℝ, vérifier que la fonction t ↦ (P_n(t) − P_n(x))/(t − x) est intégrable sur le segment I.
Établir que, pour tout n ∈ ℕ, la fonction x ↦ Q_n(x) définie par:

est une fonction polynôme de degré (n − 1) et que la suite (Q_n)_(n ∈ ℕ) vérifie les conditions initiales Q_0 = 0, Q_1 = 2 et la même relation de récurrence que la suite (P_n)_(n ∈ ℕ) à partir du rang n = 1.
II.D - Soit n ∈ ℕ^∗ fixé. On note a_1, …, a_n les zéros de P_n écrits dans l'ordre croissant, i.e. − 1 < a_1 < … < a_n < 1.
II.D.1) Montrer que ℬ = (L_1, …, L_n) où

II.D.2) Soit 𝒞 = (φ_1, …, φ_n) où φ_i : R_(n − 1)[X] → ℝ, P ↦ P(a_i). Montrer que 𝒞 est une base de l'espace vectoriel des formes linéaires sur R_(n − 1)[X].
II.D.3) En déduire qu'il existe une suite ( λ_1, …, λ_n ) de nombres réels et une seule telle que :

II.D.4) Montrer, en utilisant éventuellement une division euclidienne par P_n :

II.D.5) Montrer que les λ_i sont éléments de ℝ_+^∗ et que ∑_(i = 1)^n λ_i = 2

II.E.1) Montrer que si Q_n est le polynôme défini en II.C alors, avec les notations de II.D, on a :

On pourra commencer par examiner le cas où x > 1.
II.E.2) En déduire que les ( n − 1 ) zéros de Q_n sont situés strictement entre les zéros de P_n.

II.F.1) Montrer, pour x > 1, que:

II.F.2) En déduire que, pour tout α > 0, la suite de fonctions

approche uniformément la fonction