E3A Mathématiques 3 PC 2000Sujet et corrigé

L'épreuve est constituée de trois parties, et propose l'étude de quelques propriétés de la fonction J_0 de Bessel (utilisée notamment en physique).

Étude de la fonction J = J_0 de Bessel. Développement en série entière
∅1 Pour tout x ∈ ^∘, on pose : J(x) = [1/(π)]∫_0 πcos(x ⋅ sin(θ))dθ.
(a) Montrer que pour tout x ∈ ^∘, on a :

(b) Montrer que la fonction J : ^∘ → ^∘ ainsi définie est continue, paire et de classe C^2 sur ^∘.
(c) Justifier que J est bornée sur ^∘.
(d) Justifier l'encadrement :

\end{tabular} ∖mathrel6sin(θ) ≤ θ.

En déduire un encadrement de J(x) pour x ∈ ]0, 2].
(e) Préciser les valeurs de J(0), J^′(0). Montrer que J est strictement
décroissante sur [0, π].
∅2 Pour tout n ∈ ⋅, on pose : I_n = ∫_0^([(π)/2])sin^2 n(θ)dθ.
(a) Justifier que pour tout n ∈ ⋅ : (2n + 1)I_n = 2(n + 1)I_(n + 1) ⋅
(b) En déduire que pour tout n ∈ ⋅ : I_n = [((2n)!π)/((n!)^2 2^(2n + 1))]∖cdotp
ø3 (a) Rappeler le développement en série entière de la fonction cos et son rayon de convergence. En déduire que pour tout θ ∈ ^∘ fixé, l'application x → cos(x ⋅ sin(θ)) est développable en série entière sur ^∘, et préciser ce développement.
(b) En déduire que J est développable en série entière sur ^∘, avec :

(on précisera le théorème du cours utilisé pour l'intégration terme à terme).

Étude d'une équation différentielle
ø4 Vérifier que :

ø5 Montrer que l'ensemble des applications de ^∘ vers ^∘, développables en série entière sur ^∘ et solutions sur ^∘ de l'équation différentielle : xy^(′′) + y^′ + xy = 0, est un espace vectoriel réel de dimension 1 , engendré par J.
ø6 Soit K ∈ C^2(^∘_+^∗^∘), solution sur ^∘_+^∗ de l'équation différentielle : xy^(′′) + y^′ + xy = 0.
Pour tout x > 0 on pose: W(x) = J^′(x)K(x) − J(x)K^′(x).
Montrer que W ∈ C^1(^∘_+^∗, ^∘), et est telle que pour tout x > 0, on ait : W^′(x) = − 1/xW(x).
En déduire la forme de W.
ø7 Pour tout n ∈ ∙^∗, on pose : H_n = ∑_(k = 1)^(n1/k)∖ cdotp
(a) Montrer que lim_(n → + ∞)([(H_(n + 1))/(H_n)]) = 1.
(b) Pour tout x ∈ ^∘, on pose : φ(x) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)[((− 1)^(n + 1)H_n)/(4^n(n!)^2)]x^(2n).

Vérifier que le rayon de convergence de cette série entière est bien égal à + ∞. Pour tout réel x, expliciter (sous forme d'une série entière simple) la valeur de l'expression xφ^(′′)(x) + φ^′(x) + xφ(x) et la comparer avec − 2 J^′(x).
(c) Pour tout x > 0, on pose: K(x) = ln(x)J(x) + φ(x).

Vérifier que K est solution sur ^∘_+^∗ de l'équation différentielle : xy^(′′) + y^′ + xy = 0, et expliciter la fonction W associée définie au ø6

Que peut-on en déduire?

Usage de la transformation de Laplace
ø8 (a) Justifier que pour tout n ∈ ⋅, et tout y > 0 :

(on pourra commencer par justifier l'existence de cette intégrale en utilisant par exemple le ∅1 (c), puis le développement en série entière de J vu en ∅3 (b) en précisant le théorème du cours utilisé pour l'intégration terme à terme).
ø9 (a) Justifier pour y > 0 l'existence de L(y) = ∫_0^(+ ∞)e^(− xyJ)(x)dx.
(b) Montrer que la fonction L ainsi définie est une application continue sur ]0, + ∞[ vérifiant lim_(y → + ∞)L(y) = 0.
ø10 (a) Déterminer et justifier le développement en série entière sur ]-1,1[ de la fonction h : u → [1/(√{1 + u^2})]∖cdotp
(b) Utiliser le développement en série entière de J vu au ∅3 (b) afin de montrer que, pour tout y ∈ ]1, + ∞[, L(y) = [1/(√{1 + y^2})]∖cdotp ø11 Soit y > 0 fixé.
(a) Pour tout n ∈ ∙^∗, on pose: L_n(y) = ∫_0 n^(e − xyJ)(x)dx. Montrer que :

(b) En remarquant que [(π)/2]L_n(y) =
ℜe(∫_0[(π)/2](∫_0^n e^(x(− y + isin(θ)))dx)dθ), montrer que :

(c) Montrer que :

(d) Par un passage à la limite, en déduire que, pour tout y > 0, on a :

(on pourra utiliser le changement de variable défini par " u = tan(θ) ").