E3A Mathématiques 3 PC 2001Sujet et corrigé

Les trois parties du problème ne sont pas indépendantes.

La fonction f étudiée tout au long du problème est introduite dans la partie II.
On rappelle que ch t = 1/2(e^t + e^(− t)) et que sh t = 1/2(e^t − e^(− t)) pour tout réel t.

1^∘. Soit k un entier ⩾ 1. Montrer que la fonction t ↦ (e^(− kt))/(√t) est intégrable sur ]0, + ∞[.

On note J_k = ∫_0^(+ ∞)(e^(− kt))/(√t) dt.
2^∘. Donner la valeur de J_k (on pourra utiliser l'égalité ∫_0^(+ ∞)e^(− t^2) dt = (√π)/2 ).
3^∘. Montrer que la fonction t ↦ 1/(√tcht) est intégrable sur ]0, + ∞[.

On note K = 1/(2√π)∫_0^(+ ∞)(dt)/(√tcht).
4^∘. (a) Montrer que K = 1/(√π)∫_0^(+ ∞)(e^(− t))/(√t(1 + e^(− 2t)))dt.
(b) En déduire que K = ∑_(k = 0)^(+ ∞)((− 1)^k)/(√(2k + 1)).
5^∘. Montrer que 1/2 < K < 1.

Soit n un entier ⩾ 1. Pour tout réel x dans ]0, π[, on pose :

6^o. (a) Pour tout x dans ]0, π[, montrer que A_n(x) = (sin((nx)/2)sin(((n + 1)x)/2))/(sin(x/2)).
(b) Si n ⩾ 2, montrer que f_n(x) = ∑_(k = 1)^(n − 1)A_k(x)(1/(√k) − 1/(√(k + 1))) + ε_n(x), où (ε_n(x))_(n ⩾ 2) est une suite tendant vers 0 .
7^∘. En déduire la convergence de la série de terme général u_n(x).

On note f(x) la somme de la série de terme général u_n(x).
8^∘. (a) Montrer l'existence d'une constante C > 0 telle que f_(2n)(π/(4n)) − f_n(π/(4n)) ⩾ C√n. Expliciter une telle constante.
(b) La suite de fonctions (f_n)_(n ⩾ 1) converge-t-elle uniformément sur ]0, π[ ?

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument π/2 ⋅ Si z = a + ib est un nombre complexe avec a et b réels, on désigne par Im(z) sa partie imaginaire, c'est-à-dire b.
9^∘. (a) Soit x ∈ ]0, π[. Déterminer le tableau de variations de la fonction t ↦ |e^(ix − t) − 1| définie pour t ∈ [0, + ∞[.
(b) Montrer que la fonction t ↦ (e^(− t))/(√t(1 − e^(ix − t))) est intégrable sur ]0, + ∞[.
(c) Établir alors que f_n(x) = 1/(√π)Im∫_0^(+ ∞)(e^(ix − t) − (e^(ix − t))^(n + 1))/(√t(1 − e^(ix − t)))dt.
(d) En déduire que f(x) = (sinx)/(2√π)∫_0^(+ ∞)(dt)/(√t(cht − cosx)).
(e) Montrer que f(x) > 0.
(f) En comparant les valeurs de ch t et e^t sur ]0, + ∞[, montrer que 1/2 < f(π/2) < 1.

Dans cette partie, x ∈ ]0, π/2[.
10^∘. (a) Établir que la fonction u ↦ 1/(√u(sh^2 u + sin^2 x)) est intégrable sur ]0, + ∞[.
(b) Montrer que f(2x) = (sin2x)/(2√(2π))∫_0^(+ ∞)(du)/(√u(sh^2 u + sin^2 x)).
11^∘. Montrer que f est de classe C^0 sur ]0, π[.
12^∘. Montrer que f est de classe C^1 sur ]0, π[.