E3A Mathématiques 2 PC 2001Sujet

Soient deux nombres complexes a et b tels que a ≠ b et a ≠ 0.
Pour tout entier n supérieur ou égal à 2 , on considère la matrice A(a, b) de M_n(ℂ) définie par :

dont le terme général α_(i, j) est égal à 0 si i = j, à a si i < j et à b si i > j.
1^∘. Soit λ ∈ ℂ une valeur propre de la matrice A(a, b). Déterminer la dimension du sousespace propre associé à λ.
2^∘. Déterminer les valeurs propres de la matrice A(a, b). Que peut-on en déduire ?
3^∘. On n'utilisera pas dans cette question les résultats des questions précédentes.
Soit F l'application de ℂ^2 dans ℂ définie par:

où U est la matrice de M_n(ℂ) dont le terme général est u_(i, j) = 1.
(a) Montrer que pour tout complexe x l'application de ℂ dans ℂ définie par y ↦ F(x, y) est une fonction polynôme en y de degré inférieur ou égal à 1 .
(b) Calculer F(x, − a) et F(x, − b) et en déduire F(x, 0) ainsi que le polynôme caractéristique de la matrice A(a, b).
(c) Retrouver le résultat de la question 2^∘.

Soit f l'application de ℝ dans ℝ définie par :

Partie A. Changement de variable.

On pose z = e^(ix).
1^∘. (a) Montrer qu'il existe une unique fonction rationnelle F telle que f(x) = F(z) pour tout réel x (on confondra dans la suite la fonction F et l'unique fraction rationnelle qui lui est associée).
(b) Décomposer F en éléments simples dans le corps C(X) des fractions rationnelles.
(c) Décomposer F en une somme de deux fonctions développables en série entière, l'une de la variable z, l'autre de la variable u = 1/z.
2^∘. (a) Déterminer des coefficients a_n vérifiant l'égalité f(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n cosnx pour tout réel x.
(b) Expliciter un développement en série de Fourier de f.

Pour tout entier naturel n on note :

1^∘. Calculer a_0 et a_1.
2^∘. Calculer a_(n + 2) + a_n et en déduire une relation de récurrence entre a_(n + 2), a_(n + 1) et a_n.
3^∘. Calculer a_n en fonction de n et comparer au résultat de la partie précédente.

Soit F une fonction de classe C^2 de ℝ dans ℝ et z la fonction de ℝ^2 dans ℝ définie par :

où ch représente la fonction cosinus hyperbolique t ↦ 1/2(e^t + e^(− t)).
1^∘. (a) Calculer (∂z)/(∂x) et (∂z)/(∂y) en fonction de x, y et F^′.
(b) Calculer (∂^2 z)/(∂x^2) et (∂^2 z)/(∂y^2) en fonction de x, y, F^′ et F^(′′).
2^∘. Expliciter sous une forme simple les fonctions A et B telles que :

3^∘. On pose u = (cos2x)/(ch2y).
(a) Vérifier que la relation (∂^2 z)/(∂x^2) + (∂^2 z)/(∂y^2) = 0 se réduit à une équation différentielle du second ordre vérifiée par la fonction F de la seule variable u.
(b) Intégrer cette équation différentielle et donner les solutions de l'équation aux dérivées partielles (∂^2 z)/(∂x^2) + (∂^2 z)/(∂y^2) = 0 en précisant le domaine de définition de ces solutions.