E3A Mathématiques 2 PC 2002Sujet et corrigé

CONCOURS ENSAM - ESTP - ECRIN - ARCHIMEDE

durée 3 heures

Soit a un réel positif ou nul. On considère la suite u = (u_n)_(n ⩾ 1) telle que u_1 = a et définie par la relation de récurrence u_(n + 1) = u_n^2/√n.
1^∘. Montrer qu'il existe une unique valeur de a pour laquelle la suite u est constante. Déterminer cette valeur.
2^∘. On suppose que la suite u converge vers une limite finie l. Montrer que l = 0.
3^∘. On suppose que la suite u vérifie la propriété : ∀n ⩾ 1, u_n ⩾ √n. Montrer que u est. une suite croissante qui tend vers + ∞.
4^∘. On suppose que la suite u vérifie la propriété

(a) Montrer que u_n < √n, ∀n ⩾ k.
(b) Montrer que la suite (u_n)_(n ⩾ k) est décroissante.
(c) Que peut-on en déduire pour la suite u ?
5^∘. Exprimer u_n en fonction de a et de n, pour tout entier naturel n.
6^∘. Dans cette question, on considère de plus la série de terme général w_n = 1/(2^(n + 1))ln(n + 1).
(a) Montrer que cette série est convergente.
(b) Montrer que la suite u est convergente si et seulement si il existe un entier k > 2 tel que u_k < 1.
(c) En déduire que la suite u est convergente si et seulement si a < expW/2, où W désigne la somme de la série de terme général w_n.

On considère la fonction f définie sur ℝ^2 à valeurs dans ℝ par :

1^∘. Montrer que la fonction f est de classe C^∞ sur ℝ^2.
2^∘. Déterminez les points z = (x, y) dans le carré [ − π, π] × [ − π, π] tels que (∂f)/(∂x)(z) = 0 et (∂f)/(∂y)(z) = 0.
3^∘. Montrer que f(x, y) = 4sinx/2siny/2sin((x + y))/2.
4^∘. Représenter graphiquement les ensembles

On considère dans le plan affine euclidien ℝ^2 la courbe Γ définie paramétriquement dans le repère orthonormé ( O, x, y ) par :

1^∘. Etudier les variations de t → x(t) et t → y(t).
2^∘. En déduire que la courbe Γ est contenue dans un carré que l'on déterminera.
3^∘. Dans cette question, on étudic la courbe Γ au voisinage du point O = (0, 0).
(a). Montrer qu'on peut prolonger par continuité la courbe Γ en ajoutant le point O.
(b). Soit M(t) le point de coordonnées (x(t), y(t)). Calculer les limites du vecteur tOM^(→−)(t) lorsque t tend vers − ∞ et lorsque t tend vers + ∞.
(c). Montrer que la droite passant par O de vecteur directeur tOM⃗(t) admet une position limite lorsque t tend vers − ∞ et lorsque t tend vers − ∞; en déduire que la courbe Γ admet une tangente verticale en ce point.

Désormais, on note Γ^′ la courbe Γ à laquelle on a ajouté le point O = (0, 0).
4^∘. Etablir une équation cartésienne de Γ^′.
5^∘. En déduire que Γ^′ est une ellipse.
6^∘. Montrer que Γ^′ admet une tangente verticale en un unique point A autre que le point O. Montrer que le milieu du segment [O, A] est le centre G de Γ^′.
7^∘. Une question indépendante des précédentes.
(a) Montrer que la matrice (1, 1/2; 1/2, 1) est diagonalisable sur une base orthonormée directe. Expliciter ses valeurs propres et une telle base de diagonalisation.
(b) En déduire les axes de Γ^′.
(c) Déterminer les sommets de Γ^′.
8^∘. Représenter Γ^′.