E3A Mathématiques 1 PC 2000Sujet et corrigé

On considère la suite de fonctions (f_n)_(n ∈). définies sur [0, + ∞[ par :

ø1 (a) Montrer que pour tout x ∈ [0, + ∞[ :

(b) Prouver que pour tous n ∈ ^∙, x ∈ [0, + ∞[ : 0 ≤ f_n(x) ≤ e^(− x). En déduire que la suite (f_n) est croissante et convergente. Préciser sa limite.
∅2 Soit a ∈ ]0, + ∞[.
(a) Montrer qu'il existe k_a ∈ ]0, 1[ tel que :
∀x ∈ [0, a], e^(− x) − f_(n + 1)(x) ≤ k_a e^(− x) − f_n(x).
(b) En déduire la convergence uniforme de la suite (f_n) sur [ 0, a ] pour tout a ∈ ^∘_+^∗.
∅3 On pose u_n = 1 − f_n(0).
(a) Montrer que, pour tout n ∈ ⋅, u_n = 2^(1 − 2_n).
(b) Étudier la convergence de la série de terme général u_n.

On désigne par F l'espace vectoriel des fonctions définies sur [0, + ∞[, de classe C^∞ sur [0, + ∞[.

On appelle E l'ensemble des fonctions f ∈ F vérifiant les deux propriétés suivantes :

On note φ l'application définie sur E par :
∀f ∈ E, ∀x ∈ [0, + ∞[, φ(f)(x) = f^′(x) − f^′(0).
ø1 Montrer que E est un espace vectoriel sur ^∘.
ø2 (a) Montrer que φ est un endomorphisme de E.
(b) Prouver que φ est injective.
ø3 On définit sur [0, + ∞[ l'application g par :

(a) Calculer g^′(x). Montrer que, pour tout n ∈ ∙∖{0, 1}, il existe deux fonctions polynomiales P_n et Q_n telles que :

En déduire que g' ∈ E.
(b) Déterminer l'ensemble des fonctions f de F vérifiant :
∀x ∈ [0, + ∞[, f^′(x) − f^′(0) = g^′(x).
En déduire que φ n'est pas surjective.
ø4 Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de φ.

On considère la fonction f définie de^∘^2 dans ^∘ par :
f(x, y) = (x^2 + y^2)^x si (x, y) ≠ (0, 0) et f(0, 0) = 1.
ø1 (a) Étudier la continuité de f.
(b) Étudier l'existence des dérivées partielles de f au point (0, 0).
(c) Déterminer et tracer la ligne de niveau 1 de f.
ø2 On définit la fonction g sur R par :
g : x → f(x, 0) − 1 pour x ≠ 0 et g(0) = 1.
(a) Dresser avec précision le tableau de variations de la fonction g.
(b) En déduire que la fonction f n'admet pas d'extremum en (0, 0)
(justifier soigneusement la réponse).
ø3 Déterminer les points critiques de la fonction f.
∅4 (a) Vérifier que, pour tout x ≥ 0, f(x, y) ≥ g(x).

En déduire que f admet un minimum en ( 1/e, 0 ).
(b) La fonction f admet-elle un extremum en ( 1/e, 0 ) ?
ø5 Montrer que, pour tout x ∈ ^(∘ ∗), les deux expressions :

sont du signe de x.

Que peut-on en conclure?