E3A Mathématiques 1 PC 2015Sujet et corrigé

Durée 4 h
Si , au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Les quatre exercices sont indépendants

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Pour tout n ∈ ℕ tel que n ⩾ 2, on désigne par A_n = (0, 1, 0, …, 0; n − 1, 0, 2, …, 0; …, …, …, …, …; 0, …, 2, 0, n − 1; 0, …, 0, 1, 0) la matrice de M_n(ℝ) de coefficients a_(i, j) tous nuls exceptés ceux tels que :

1 1.a) On prend n = 2.A_2 est- elle diagonalisable? A_2 est-elle inversible?
1.b) On prend n = 3.A_3 est -elle diagonalisable? A_3 est- elle inversible?

2 Dans cette question seulement on prend n = 4. Soit A_4 = (0, 1, 0, 0; 3, 0, 2, 0; 0, 2, 0, 3; 0, 0, 1, 0) notée simplement A et soit le polynôme Q(X) = (X^2 − 1)(X^2 − 9).
2.a) Calculer les matrices A^2 et Q(A).
2.b) Justifier que A est diagonalisable.
2.c) Déterminer une matrice Δ ∈ M_4(ℝ), à coefficients entiers, inversible et telle que Δ^(− 1)AΔ = D soit une matrice diagonale notée diag(a, b, c, d) avec a > b > c > d.
2.d) Montrer que Φ : M ↦ ΔMΔ^(− 1) est un endomorphisme de l'espace vectoriel réel M_4(ℝ) et justifier que Φ est bijectif.
2.e) Montrer qu'une matrice N ∈ M_4(ℝ) commute avec D si et seulement si N est une matrice diagonale.
2.f) Montrer que l'ensemble C_A = {M ∈ M_4(ℝ)/ AM = MA} est un sous-espace vectoriel de M_4(ℝ) et, en utilisant les questions précédentes, déterminer sa dimension.
2.g) Justifier que la famille ( I_4, A, A^2, A^3 ) est une base de C_A (où I_4 = diag(1, 1, 1, 1) ).

3 On note ici E = ℝ_(n − 1)[X] l'espace vectoriel réel des polynômes réels de degré ⩽ n − 1, et B = (1, X, …, X^(n = 1)) la base canonique de E.

Si P(X) ∈ E, P^′(X) désigne le polynôme dérivé de P(X).
3.a) Justifier que l'application φ : P(X) ↦ (n − 1)XP(X) + (1 − X^2)P^′(X) est un endomorphisme de l'espace vectoriel E et calculer φ(X^h) pour tout h ∈ [ [0, n − 1] ].
3.b) Comparer la matrice de φ dans la base B et la matrice A_n définie en préliminaire.
3.c) Pour tout h ∈ [ [0, n − 1] ], on définit le polynôme P_h = (X − 1)^h(X + 1)^(n − 1 − h). Déterminer le réel λ_h tel que φ(P_h) = λ_h P_h, Que peut-on déduire de ce calcul ?
3.d) Justifier que la matrice A_n est diagonalisable dans M_n(ℝ).
3.e) Préciser selon n dans quel cas A_n est inversible.
3.f) Montrer l'existence d'une matrice U_n ∈ M_n(ℝ) telle que (U_n)^3 = A_n.

1 1.a) Rappeler la définition de la fonction Arctan, ainsi que son tableau de variation et sa dérivée. Justifier que pour tout réel x, on a : |Arctan(x)| ⩽ |x|.
1.b) Étudier et représenter la fonction g : ] − π/2, π/2[ ∪ ]π/2, (3π)/2[ → ℝ définie par :

1.c) Pour x > 0, soit ψ(x) = Arctan(x) + Arctan(1/x). Calculer la dérivée ψ^′(x).

En déduire une relation entre Arctan(x) et Arctan(1/x) pour x > 0.
1.d) Déterminer le développement en série entière de la fonction Arctan sur ] - 1,1 [.

2 On considère la fonction h définie par h(0) = 1 et pour tout réel x ≠ 0,

2.a) Justifier que pour tout x ∈ [ − 1, 1], on a : h(x) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)((− 1)^k x^(2k))/((2k + 1)).

On traitera le cas |x| < 1 et on étendra le résultat au cas |x| = 1, en utilisant un argument à préciser sur la continuité sur [ − 1, 1] de la somme de la série de fonctions.
2.b) Justifier que h est de classe C^∞ sur ℝ (on raisonnera sur ] − 1, 1 [ puis sur ℝ.)

3 Soit H(x) = ∫_0^x(Arctan(t))/tdt pour x ∈ ℝ,
3.a) Montrer que H est bien définie et est de classe C^1 sur ℝ; préciser H^′.
3.b) Trouver une relation entre H(x) et G(x) = H(1/x) pour x > 0.

Pour cela, on pourra utiliser G^′.
3.c) Soit f(x) = (H(x))/x pour x ≠ 0 et f(0) = 1.

Montrer que f est développable en série entière sur [ − 1, 1], et f de classe C^∞ sur ℝ.
3.d) Donner une relation entre f(x) et f(1/x) pour x > 0.

4 Pour x ∈ ℝ, on pose : φ(x) = ∫_0^(+ ∞)(Arctan(tx))/(t(t^2 + 1))dt.
4.a) Montrer que φ est définie sur ℝ et impaire.
4.b) Montrer que φ est de classe C^1 sur ℝ. On précisera bien le théorème utilisé.
4.c) Déterminer φ^′(x) pour x ∈ ℝ_+(avec une expression sans intégrale), si x ≠ 1 puis x = 1. Pour cela on pourra utiliser la relation :

4.d) En déduire la valeur de φ(x) pour tout réel x.
4.e) Si x ∈ ℝ, justifier l'existence et calculer K(x) = ∫_0^(π/2)(Arctan(xtan(θ)))/(tan(θ))dθ.
4.f) En déduire la valeur de J = ∫_0^(π/2)ln(sin(θ))dθ.

On considère l'espace vectoriel euclidien orienté E = M_(3, 1)(ℝ) muni de son produit scalaire canonique, la base canonique B étant orthonormale et directe. On notera ⟨.,. ⟩le produit scalaire tel que si X, Y ∈ E, ⟨X, Y⟩ = ^t XY.
L(E) désigne l'espace vectoriel des endomorphismes de E.
1 On considére les deux sous-espaces vectoriels de L(E) définis par :

1.a) Justifier que S(E) est bien un sous-espace vectoriel de L(E) (on l'admettra pour A(E) ) et montrer que S(E) ∩ A(E) est réduit à l'endomorphisme nul.
1.b) Soit u ∈ L(E) et M = Mat_B(u) la matrice de u dans la base B, avec u : X ↦ MX.

Montrer que :
(i) u ∈ S(E) ⟺ ^t M = M,
(ii) u ∈ A(E) ⟺ ^t M = − M.
1.c) Soit u ∈ L(E) et M = Mat_B(u). On lui associe u^ ∈ L(E) tel que Mat_B(u^) = ^t M. Montrer que (u + u^) ∈ S(E) et que (u − u^) ∈ A(E)
1.d) Conclure que S(E) et A(E) sont deux sous-espaces supplémentaires de L(E).

2 2.a) Soit σ ∈ S(E). Justifier l'existence de ( e_1, e_2, e_3 ) base orthonormale de E et de trois réels λ_1, λ_2, λ_3 tels que:

2.b) Préciser dans quel cas σ est une projection orthogonale, ou alors une symétrie orthogonale.
2.c) Exemple 1. Soit σ tel que Mat_B(σ) = (1, 2, 2; 2, 1, − 2; 2, − 2, 1),

Déterminer ( e_1, e_2, e_3 ) base orthonormale de E et λ_1, λ_2, λ_3 pour σ comme en 2.a).
3 Soit α ∈ A(E) non nul.
3.a) Montrer que Ker(α) et Im(α) sont orthogonaux, puis que E = Ker(α) ⊕ Im(α).
3.b) Montrer que Im(α) est stable par α et que l'endomorphisme α~ induit par α sur Im(α) ne peut pas avoir de valeur propre (réelle). En déduire que α est de rang 2 .
3.c) Justifier l'existence de (e_1, e_2, e_3) base orthonormale directe de E et d'un réel k ≠ 0 tels que :

3.d) Exemple 2. Soit α tel que Mat_B(α) = (0, − 1, 1; 1, 0, − 1; − 1, 1, 0)

Déterminer ( e_1, e_2, e_3 ) base orthonormale directe de E et k ≠ 0 associés à α (cf. 3.c)).
4 Soit θ ∈ ℝ et la rotation r ∈ SO(E) telle que Mat_B(r) = (cos(θ), − sin(θ), 0; sin(θ), cos(θ), 0; 0, 0, 1), On considère aussi r^ tel que Mat_B(r^) = ^t(Mat_B(r)).

Donner la décomposition de σ = (r + r^)/2 comme en 2.a), ainsi que de α = (r − r^)/2 comme en 3.c) lorsque α ≠ 0.

On s'intéresse aux nombres de Fibonacci définis par récurrence par F_0 = 0, F_1 = 1 et:

1 1.a) Écrire en langage Python une fonction " fib(n) " permettant le calcul de F_n.
1.b) On peut démontrer et on l'admettra, que ces nombres vérifient les relations suivantes pour tout n ∈ ℕ^∗ :

Vérifier cette propriété en calculant ainsi F_6.
Compléter l'écriture de la fonction "fibb (n) " ci-dessous permettant de calculer F_n, on commencera au dernier "else" sur la copie en rajoutant les instructions manquantes.

def $f i b b(n)$ :
    if $n<=1$ :
        return $n$
    else :
        if $n \% 2==0$ :
            $a=f i b b(n / / 2)$
            $b=f i b b(n / / 2-1)$
            return $a *(2 * b+a)$
        else : ...

2 2.a) Soit A = (1, 1; 1, 0). Pour tout n ∈ ℕ^∗, exprimer les coefficients de A^n au moyen des nombres de Fibonacci F_(n + 1), F_n et F_(n − 1).
2.b) Écrire en langage Python une fonction "fibbb (n) " permettant le calcul de F_n en utilisant le calcul de A^n (dont le calcul doit intervenir dans le programme).
2.c) Montrer que pour tout n ∈ ℕ^∗, on a : F_(n + 1)F_(n − 1) − (F_n)^2 = (− 1)^n.

3 3.a) Montrer la convergence de la série de terme général ((− 1)^n)/(F_(n + 1)F_n)(n ∈ ℕ^∗) et exprimer S = ∑_(n = 1)^∞((− 1)^n)/(F_(n + 1)F_n) au moyen de L = lim_(p → + ∞)(F_p)/(F_(p + 1)) (dont l'existence résulte de la convergence de la série).
3.b) Grâce à une propriété concernant les séries alternées et que l'on rappellera, étant donné ε > 0, écrire un algorithme (en français ou alors en langage Python) permettant de calculer une valeur approchée de L au moyen d'une somme partielle de cette série, avec une précision inférieure à ε.

4 On note Φ = (1 + √5)/2 et φ = (1 − √5)/2, On peut montrer et on l'admettra, que l'on a:

4.a) Calculer L de 3.a) au moyen de Φ.
4.b) Pour tout x ∈ |φ, − φ|, montrer la convergence de la série ainsi que l'égalité :