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Présentation du sujet

Difficile
Spectre des matrices tridiagonales et loi du demi-cercle de Wigner pour les matrices aléatoires
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Le sujet étudie la répartition des valeurs propres de grandes matrices. Il calcule d'abord le spectre de matrices tridiagonales déterministes et montre la convergence de leur mesure empirique spectrale vers une loi portée par [−2, 2]. Il démontre ensuite le théorème d'approximation de Weierstrass, puis l'utilise avec la méthode des moments pour établir la loi du demi-cercle de Wigner pour une matrice aléatoire symétrique.

  1. 1PréliminaireExpression du terme général d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2 selon la valeur du paramètre.
  2. 2Première partie : sommes de Riemann et intégrales de WallisConvergence de sommes de Riemann, calcul de l'intégrale I(f) et de ses moments, convergence en loi de 2cos(πUn/(n+1)).
  3. 3Deuxième partie : spectre des matrices tridiagonalesPolynômes caractéristiques de Tn par récurrence, valeurs propres 2cos(kπ/(n+1)), mesure empirique spectrale, extension aux matrices tridiagonales générales Tn(a, b, c).
  4. 4Troisième partie : théorème d'approximation de WeierstrassConvergence uniforme d'une suite de polynômes vers une fonction échelon, approximation par des fonctions en escalier, puis par des polynômes.
  5. 5Quatrième partie : théorème de WignerMatrice aléatoire symétrique, moments de la mesure empirique spectrale, inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev, convergence vers la loi du demi-cercle.

Difficile. Le jury juge le sujet assez classique, mais les taux de réussite qu'il publie tombent sous 25 % dès la fin de la première partie et ne dépassent pas 25 % dans la quatrième partie.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Sommes de Riemann mal justifiées · Hypothèses du changement de variable non vérifiées · Coefficient oublié dans les intégrales de Wallis
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Le sujet, en difficulté croissante, mobilisait algèbre linéaire, analyse et probabilités. Le niveau des résultats est stable par rapport aux années précédentes, mais le jury note des manques de méthode et de rigueur dans la rédaction, ainsi qu'une présentation en dégradation. Les questions de la quatrième partie ont été très rarement réussies.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Sommes de Riemann mal justifiéesQ2

    Il fallait expliciter la subdivision et les points utilisés, ou se ramener au cas standard par continuité uniforme. Le théorème pour une subdivision quelconque, le plus rapide, a été rarement utilisé.

  2. 2
    Hypothèses du changement de variable non vérifiéesQ3a

    La convergence d'une intégrale se prouve en majorant l'intégrale de la valeur absolue, pas la valeur absolue de l'intégrale. Le changement de variable doit être justifié.

    « un changement de variables dans une intégrale généralisée doit être bijectif, strictement monotone et de classe C1. »
  3. 3
    Coefficient oublié dans les intégrales de WallisQ3c

    Le calcul se ramenait aux intégrales de Wallis à un coefficient près, régulièrement oublié (41 % de réussite).

  4. 4
    Passage des fonctions polynomiales aux polynômesQ5d, Q8a

    L'argument pour passer d'une égalité de fonctions polynomiales à une égalité de polynômes a souvent manqué, tout comme la conservation de la multiplicité par translation.

  5. 5
    Valeurs propres non toutes justifiéesQ6

    Pour appliquer 5c, il fallait vérifier que |2cos(kπ/(n+1))| < 2, puis montrer que les valeurs obtenues sont deux à deux distinctes.

  6. 6
    Convergence uniforme sans méthodeQ10a

    Il faut majorer l'écart indépendamment de la variable, puis montrer que ce majorant tend vers 0. Quelques lignes suffisaient.

    « Cette question, pourtant très classique, a révélé un manque de méthode chez la plupart des candidates et candidats. »

Ce qui a été bien réussi

  • Les calculs simples d'intégrales (Q3b, 89 % de réussite) et le développement d'un déterminant (Q5b, 94 %) sont bien réussis.
  • La formule de transfert combinée au préliminaire (Q4a, 85 %) et son application à la question 7 (81 %) sont bien maîtrisées.
  • Un bon nombre de copies montrent un savoir-faire et des connaissances solides.

Conseils du jury

  • Traiter correctement plusieurs questions consécutives plutôt que grappiller des points sur les questions faciles.
  • Il est permis d'admettre une question pour utiliser son résultat, en vérifiant les hypothèses requises.
  • Écrire « tend vers » tant que l'existence de la limite n'est pas démontrée.
  • Utiliser un brouillon pour ne présenter que les étapes essentielles.
  • Mentionner et mettre en avant les résultats des questions et les théorèmes du cours utilisés.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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CONCOURS D'ADMISSION 2026
MARDI 14 AVRIL 2026
08h00-12h00
FILIERES MP-MPI - Epreuve n° 3
MATHEMATIQUES B
Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Notations

Si n est un entier naturel non nul, on note ℳ_n(ℝ) l'ensemble des matrices à n lignes et n colonnes et à coefficients réels.
Si M ∈ ℳ_n(ℝ) et si i et j sont deux entiers compris entre 1 et n, on note M_(i, j) le coefficient de M se trouvant à la ligne i et à la colonne j.
Si M ∈ ℳ_n(ℝ), on note Sp(M) le spectre réel de la matrice M, c'est-à-dire l'ensemble de ses valeurs propres réelles avec leur multiplicité. Plus précisément Sp(M) est la partie de ℝ × ℕ dont les éléments sont les paires (λ, m_λ) où λ est une valeur propre réelle de M et m_λ sa multiplicité comme racine du polynôme caractéristique de M. On note également Tr(M) la trace de M.
Si i et j sont deux entiers relatifs, on note δ_(i, j) l'entier 1 si i = j et 0 si i ≠ j.
Si A est une partie de ℝ, on note 1_A la fonction de ℝ dans ℝ qui vaut 1 sur A et 0 sur le complémentaire de A.
Dans tout le sujet, (Ω, 𝒜, ℙ) désigne un espace probabilisé sur lequel seront définies les différentes variables aléatoires du sujet. On admettra que toutes les variables aléatoires introduites peuvent bien être construites sur cet espace. On note ℙ(A) la probabilité d'un événement A ∈ 𝒜 et 𝔼(Z) l'espérance d'une variable aléatoire Z sur (Ω, 𝒜, ℙ) à valeurs réelles.
Dans le sujet, pour résoudre une question, on pourra admettre le résultat des questions précédentes. La partie III est indépendante des parties I et II et la partie IV est essentiellement indépendante des parties I et II.

Préliminaire

  1. Soit α ∈ ℝ. On considère la suite réelle (u_n)_(n ⩾ 0) définie par les conditions
u_0 = 0, u_1 = 1, ∀n ⩾ 2 u_n = αu_(n − 1) − u_(n − 2).
Exprimer, pour tout entier n ⩾ 0, le terme u_n en fonction de n et de α. On distinguera soigneusement les cas suivants : |α| > 2, |α| < 2, α = 2 et α = − 2.

Première Partie

  1. Soit f une fonction à valeurs réelles définie et continue sur [0, 1]. On considère les suites réelles (v_n)_(n ⩾ 1) et (w_n)_(n ⩾ 1) définies par
∀n ⩾ 1, v_n = 1/n∑_(k = 1)^n f(k/(n + 1)), w_n = 1/n∑_(k = 1)^n f((2k)/(2n + 1)).
Montrer que les suites (v_n)_(n ⩾ 1) et (w_n)_(n ⩾ 1) convergent et ont la même limite.
3a. Soit f une fonction à valeurs réelles définie et continue sur [-2, 2]. Prouver que l'intégrale
I(f) = 1/π∫_(− 2)^2(f(x))/(√(4 − x^2)) dx
est convergente, et que
I(f) = 1/π∫_0^π f(2cos(θ))dθ
3b. Pour un entier naturel n, on note f_n la fonction de ℝ dans ℝ définie par f_n(x) = x^n. Calculer la valeur de l'intégrale I(f_n) pour lorsque n vaut 0, 1 et 2.
3c. Pour tout entier naturel n ⩾ 0, calculer la valeur de l'intégrale I(f_n) en fonction de n.
Dans les questions qui suivent, pour tout entier n ⩾ 1 on considère U_n une variable aléatoire discrète uniforme à valeurs dans les entiers naturels compris entre 1 et n, c'est à dire que
∀k ∈ [ [1, n] ], ℙ(U_n = k) = 1/n.
4a. Si f est une fonction à valeurs réelles définie et continue sur [-2, 2], prouver que
𝔼(f(2cos((πU_n)/(n + 1)))) ⟶ _(n → ∞)1/π∫_(− 2)^2(f(x))/(√(4 − x^2)) dx.
4b. Prouver que, pour tout y ∈ [ − 2, 2],
ℙ(2cos((πU_n)/(n + 1)) < y) ⟶ _(n → ∞)1/π∫_(− 2)^y 1/(√(4 − x^2)) dx.

Deuxième partie

Soit un entier n ⩾ 2. On note T_n la matrice définie par la formule (T_n)_(j, k) = δ_(j, k + 1) + δ_(j + 1, k), pour tous 1 ⩽ j, k ⩽ n. Autrement dit
T_n = (0, 1, 0, …, 0; 1, 0, 1, ⋱, ⋮; 0, 1, 0, ⋱, 0; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, 1; 0, …, 0, 1, 0)
et on note χ_n(X) = det(XI_n − T_n) le polynôme caractéristique de T_n.
5a. Pour n = 2 et n = 3, calculer le polynôme χ_n et déterminer le spectre de T_n.
5b. Pour tout entier n ⩾ 4, exprimer χ_n en fonction de χ_(n − 1) et χ_(n − 2).
5c. Soit α un nombre complexe tel que |α| < 2. Établir la formule générale suivante pour χ_n(α), lorsque n ⩾ 2,
χ_n(α) = 1/(i√(4 − α^2))(((α + i√(4 − α^2))/2)^(n + 1) − ((α − i√(4 − α^2))/2)^(n + 1)).
5d. En déduire une expression exacte des coefficients du polynôme χ_n (on pourra donner les coefficients comme somme de produits de coefficients binomiaux).
6. Pour un entier n ⩾ 2, montrer que les valeurs propres de T_n sont données par la formule
2cos((kπ)/(n + 1)), k = 1, …, n.
Si f est une fonction sur ℝ à valeurs réelles et M ∈ ℳ_n(ℝ), on définit
S_f(M) = 1/n∑_((λ, m_λ) ∈ Sp(M))m_λ f(λ).
  1. Prouver que si f est définie et continue sur [-2, 2], on a
lim_(n → + ∞)S_f(T_n) = 1/π∫_(− 2)^2(f(x))/(√(4 − x^2)) dx
Soit un entier n ⩾ 2 et soient a, b, c trois nombres réels. On note T_n(a, b, c) la matrice de ℳ_n(ℝ) telle que, pour 1 ⩽ i, j ⩽ n,
(T_n(a, b, c))_(ij) = aδ_(i, j) + bδ_(i + 1, j) + cδ_(i, j + 1),
c'est-à-dire :
T_n(a, b, c) = (a, b, 0, …, 0; c, a, b, ⋱, ⋮; 0, c, a, ⋱, 0; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, b; 0, …, 0, c, a).
8a. Exprimer le spectre de T_n(a, b, c) en fonction de a et du spectre de T_n(0, b, c).
8b. Exprimer le spectre de T_n(a, b, c) en fonction de a et du spectre de T_n(0, bc, 1).
8c. On suppose que bc > 0. Exprimer toutes les valeurs propres complexes de T_n(a, b, c) en fonction de a, b, c et n.
Indication : on pourra dans un premier temps se ramener au cas b = c.
On suppose désormais que a, b, c sont trois nombres réels avec bc > 0.
9a. Prouver que pour toute fonction f à valeurs réelles continue sur ℝ, on a
lim_(n → ∞)S_f(T_n(a, b, c)) = 1/π∫_(− 2)^2(f(a + √(bc)x))/(√(4 − x^2)) dx.
9b. Soit y ∈ ℝ, et q_n(y) le nombre de valeurs propres de T_n(a, b, c) dans l'intervalle ] − ∞, y]. Donner un équivalent de q_n(y) quand n → ∞.

Troisième partie

Le but de cette partie est de donner une démonstration du théorème d'approximation de Weierstrass. L'utilisation de ce théorème n'est donc pas autorisée dans les questions 10 à 12.
Soit un entier n ⩾ 0. On note Q_n le polynôme Q_n = (1 − X^n)^(2^n) ∈ ℝ[X] et P_n le polynôme P_n = Q_n((1 − X)/2). On note également H la fonction de [ − 1, 1] dans ℝ définie par
∀x ∈ [ − 1, 1], H(x) = {0, si x < 0; 1, si x ⩾ 0.
10a. Montrer que pour tout réel 0 ⩽ κ < 1/2, la suite (Q_n)_(n ⩾ 0) converge uniformément vers 1 sur l'intervalle [0, κ] et vers 0 sur l'intervalle [1 − κ, 1].
10b. En déduire que pour tout réel 0 < η ⩽ 1, la suite (P_n)_(n ⩾ 0) converge uniformément vers H sur [ − 1, 1]∖[ − η, η].
Soit f une fonction continue de [-1, 1] dans ℝ et soit un réel ε > 0.
11. On suppose, dans cette question uniquement, que f(− 1) = 0. Montrer qu'il existe un entier N ⩾ 1, des réels − 1 < c_1 < c_2 < ⋯ < c_N < 1 et (a_1, …, a_N) ∈ [ − ε, ε]^N tels que
∀x ∈ [ − 1, 1], |f(x) − ∑_(i = 1)^N a_i H(x − c_i)| ⩽ ε.
  1. En déduire qu'il existe un polynôme P ∈ ℝ[X] tel que
∀x ∈ [ − 1, 1], |f(x) − P(x)| ⩽ ε.
Indication : on pourra considérer un polynôme de la forme F_(ε, n) = ∑_(i = 1)^N a_i P_n(X − c_i) et choisir un réel η > 0 tel que les intervalles [c_i − η, c_i + η] sont deux à deux disjoints.

Quatrième partie

On se donne une famille (W_(i, j))_(1 ⩽ i ⩽ j) de variables aléatoires à valeurs dans ℤ indépendantes identiquement distribuées telles que 𝔼(W_(1, 1)) = 0, 𝔼(W_(1, 1)^2) = 1 et |W_(1, 1)|^k est d'espérance finie pour tout entier k ⩾ 0.
Pour tout entier n ⩾ 1, et tout ω ∈ Ω, on note X_n(ω) ∈ ℳ_n(ℝ) définie par
∀1 ⩽ i, j ⩽ n, (X_n(ω))_(i, j) = {(W_(i, j)(ω))/(√n), si i ⩽ j; (W_(j, i)(ω))/(√n), si j ⩽ i.
Si f est une fonction de ℝ dans ℝ, on note S_n(f) la variable aléatoire définie par
∀ω ∈ Ω, S_n(f)(ω) = S_f(X_n(ω)),
la notation S_f(M) pour M ∈ ℳ_n(ℝ) étant définie avant la question 7. On note également, lorsque f est continue,
Σ(f) = 1/(2π)∫_(− 2)^2 f(x)√(4 − x^2) dx
Pour tout entier naturel k ⩾ 0, on note (H_k) l'hypothèse suivante.
lim_(n → + ∞)1/n𝔼(Tr((X_n)^k)) = Σ(f_k) et lim_(n → + ∞)1/(n^2)𝔼(Tr((X_n)^k)^2) = Σ(f_k)^2,
où l'on rappelle que f_k désigne la fonction x ↦ x^k de ℝ dans ℝ.
13a. Pour tout entier k ⩾ 0, et tout entier n ⩾ 1, montrer qu'on a une égalité de variables aléatoires S_n(f_k) = 1/nTr(X_n^k).
13b. Calculer Σ(f_k) en fonction de k pour tout entier k ⩾ 0.
13c. Démontrer ( H_k ) pour 0 ⩽ k ⩽ 2.
Dans la suite du sujet, on suppose désormais que ( H_k ) est vérifiée pour tout entier k ⩾ 0.
14. Pour tout entier k ⩾ 0 et tout nombre réel B > 0, on note g_(k, B) la fonction définie sur ℝ par
∀x ∈ ℝ, g_(k, B)(x) = |x|^k 1_(|x| > B).
Montrer que, pour ε > 0,
ℙ(S_n(g_(k, B)) ⩾ ε) ⩽ (𝔼(S_n(f_(2k))))/(εB^k).
  1. En déduire que pour tout réels B > 4 et ε > 0, on a
lim_(n → + ∞)ℙ(S_n(g_(k, B)) ⩾ ε) = 0.
Indication : on pourra observer que pour k ⩽ k^′ et B > 4, on a g_(k, B) ⩽ g_(k^′, B).
On fixe désormais un réel B > 4.
16. Montrer que pour tout entier k ⩾ 0 et tout réel ε > 0, on a
lim_(n → + ∞)ℙ(|S_n(f_k) − 𝔼(S_n(f_k))| ⩾ ε) = 0.
Soit f une fonction continue de ℝ dans ℝ nulle en dehors de [ − B, B]. On fixe un réel ε > 0.
17a. Montrer qu'il existe un polynôme P ∈ ℝ[X] et un entier N ⩾ 0 tels que pour tout n ⩾ N,
ℙ(|S_n(f) − Σ(f)| ⩾ ε) ⩽ ℙ(|S_n(P1_(|x| > B))| ⩾ ε/4) + ℙ(|S_n(P) − 𝔼(S_n(P))| ⩾ ε/4).
17b. Conclure que
lim_(n → + ∞)ℙ(|S_n(f) − Σ(f)| ⩾ ε) = 0.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de maths B X MP MPI 2026 ?
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Sur quoi porte le sujet de maths B X MP MPI 2026 ?

Sur le spectre des matrices tridiagonales et la convergence de la mesure empirique spectrale d'une matrice aléatoire vers la loi du demi-cercle de Wigner, avec une preuve du théorème de Weierstrass en chemin.

Quelles questions du sujet de maths B X 2026 ont été les mieux réussies ?

D'après le rapport, Q5b (94 %), Q3b (89 %), Q4a (85 %) et Q7 (81 %). À l'inverse, Q17a n'a été réussie par aucun candidat et la quatrième partie reste sous 25 %.

Quelles erreurs le jury de maths B X 2026 a-t-il le plus relevées ?

Des sommes de Riemann mal justifiées, des changements de variable sans vérification des hypothèses, des coefficients oubliés, des multiplicités non justifiées et un manque de méthode pour les convergences uniformes.

Le sujet de maths B X MP 2026 était-il plus difficile que les années précédentes ?

Non selon le jury : il le juge assez classique et pas plus difficile que les sujets antérieurs, avec un niveau de résultats maintenu.

Pas de description pour le moment