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Inégalités variationnelles, projection sur un convexe, itérations de Krasnoselskii-Mann et théorème de Baillon-Haddad
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Ce sujet d'algèbre et d'analyse construit progressivement les outils de l'optimisation convexe en dimension finie. Il part des inégalités variationnelles et de la projection sur un convexe fermé, démontre un théorème d'existence de solution qui redonne le théorème du minimax de von Neumann, étudie la convergence des itérations de Krasnoselskii-Mann pour une fonction 1-lipschitzienne, puis établit le théorème de Baillon-Haddad pour analyser la convergence de la descente de gradient.

  1. 1I. Inégalités variationnelles et projection sur un convexe ferméComparer solutions faibles et fortes d'une inégalité variationnelle pour un opérateur monotone et établir les propriétés de la projection orthogonale sur un convexe fermé.
  2. 2II. Un cas d'existence de solution et théorème du minimax de von NeumannDémontrer l'existence d'une solution forte pour un opérateur monotone continu sur un convexe compact et en déduire le théorème du minimax de von Neumann.
  3. 3III. Itérations de Krasnoselskii-MannÉtudier la convergence d'une suite construite par itérations pondérées d'une fonction 1-lipschitzienne vers un point fixe.
  4. 4IV. Théorème de Baillon-Haddad et descente de gradientCaractériser les fonctions convexes à gradient lipschitzien, établir le théorème de Baillon-Haddad et l'appliquer à la convergence de la descente de gradient à pas fixe.

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ECOLES NORMALES SUPERIEURES
CONCOURS D'ADMISSION 2026
VENDREDI 17 AVRIL 2026
08h00-12h00
FILIERES MP et MPI
Epreuve n° 9
MATHEMATIQUES C
Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
Le sujet comporte sept pages, numérotées de 1 à 7, et quatre parties nommées I, II, III et IV. Le diagramme suivant représente les dépendances entre celles-ci.
I ⟶ II III ⟶ IV
Il est possible d'utiliser le résultat d'une question même si elle n'a pas été traitée, à condition d'indiquer clairement son numéro. La clarté, la concision et la précision de la rédaction seront prises en compte dans la notation.

Notations et rappels

Dans tout le sujet, n ⩾ 1 est un entier. On note ℝ l'ensemble des nombre réels et ℝ_+l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls. Dans ℝ^n, ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ désigne le produit scalaire canonique, et ‖ ⋅ ‖ la norme euclidienne associée : si x = (x_1, …, x_n) et y = (y_1, …, y_n) sont deux points de ℝ^n,
⟨x, y⟩ = ∑_(i = 1)^n x_i y_i et ‖x‖^2 = ∑_(i = 1)^n x_i^2
On note A^⊤ la transposée d'une matrice A. Une fonction f : ℝ^n → ℝ est convexe si
∀x, x^′ ∈ ℝ^n, ∀λ ∈ [0, 1], f(λx + (1 − λ)x^′) ⩽ λf(x) + (1 − λ)f(x^′).
Pour L > 0, une fonction F : ℝ^n → ℝ^n est L -lipschitzienne si
∀x, x^′ ∈ ℝ^n, ‖ F(x^′) − F(x)‖ ⩽ L‖x^′ − x‖.
Un point x_∗ ∈ ℝ^n est un point fixe d'une fonction F : ℝ^n → ℝ^n si F(x_∗) = x_∗.

Partie I. - Inégalités variationnelles et projection sur un convexe fermé

A. - Inégalités variationnelles

Cette partie introduit les notions de solution faible et forte d'une inégalité variationnelle, ainsi que les opérateurs monotones.
Soit G : ℝ^n → ℝ^n une fonction et C ⊂ ℝ^n un ensemble convexe fermé nonvide.
On dit qu'un point x_∗ ∈ ℝ^n est une solution forte de G sur C si x_∗ ∈ C et si
∀x ∈ C, ⟨G(x_∗), x − x_∗⟩ ⩾ 0.
On dit qu'un point x_∗ ∈ ℝ^n est une solution faible de G sur C si x_∗ ∈ C et si
∀x ∈ C, ⟨G(x), x − x_∗⟩ ⩾ 0.
On dit que G est un opérateur monotone si
∀x, x^′ ∈ ℝ^n, ⟨G(x^′) − G(x), x^′ − x⟩ ⩾ 0.
  • 1)Montrer que si G est un opérateur monotone et si x_∗ ∈ C est une solution forte de G sur C, alors x_∗ est une solution faible de G sur C.
  • 2)On suppose dans cette question que G est un opérateur monotone continu et qu'il existe x_∗ ∈ C une solution faible de G sur C . Soient x ∈ C et λ ∈ ]0, 1]. On pose x_λ = x_∗ + λ(x − x_∗).
    • a)Montrer que ⟨G(x_λ), x − x_∗⟩ ⩾ 0.
    • b)En déduire que x_∗ est une solution forte de G sur C.
  • 3)On suppose dans cette question que n = 1.
    • a)Soit G : ℝ → ℝ une fonction continue et C ⊂ ℝ un ensemble convexe compact non-vide. Montrer qu'il existe une solution forte de G sur C.
    • b)Montrer qu'il existe un ensemble convexe compact non-vide C ⊂ ℝ et une fonction G : ℝ → ℝ continue tels qu'il n'existe pas de solution faible de G sur C.
  • 4)a) On suppose dans cette question que n = 1 et que G est un opérateur monotone. Soit C ⊂ ℝ un ensemble convexe compact non-vide. Montrer qu'il existe une solution faible de G sur C.
  • b)Montrer que pour tout n ⩾ 1, il existe un ensemble convexe compact non-vide C ⊂ ℝ^n et un opérateur monotone G : ℝ^n → ℝ^n tels qu'il n'existe pas de solution forte de G sur C.

B. - Projection sur un convexe fermé

Cette partie introduit la notion de projection sur un convexe fermé et établit quelques propriétés.
Soit C ⊂ ℝ^n un ensemble convexe fermé non-vide. On note d_C : ℝ^n → ℝ la fonction définie par
d_C(y) = inf_(x ∈ C)‖x − y‖
pour y ∈ ℝ^n.
5) Soit y ∈ ℝ^n. Montrer qu'il existe un point x ∈ C tel que
d_C(y) = ‖y − x‖.
On admet que les deux propriétés suivantes sont vraies :
  • (i)pour tout y ∈ ℝ^n, le point x ∈ C vérifiant (★) est unique, il est appelé projeté orthogonal de y sur C et noté Π_C(y);
  • (ii) Π_C(y) est l'unique point de C vérifiant
    ∀x^′ ∈ C, ⟨x^′ − Π_C(y), y − Π_C(y)⟩ ⩽ 0;
  1. Soient y, y^′ ∈ ℝ^n. On pose x = Π_C(y) et x^′ = Π_C(y^′). Montrer que
0 ⩽ ‖x‖^2 − ‖x^′‖^2 − 2⟨y^′, x − x^′⟩ ⩽ ‖y^′ − y‖^2.

Partie II. - Un cas d'existence de solution et théorème du minimax de von Neumann

Cette partie démontre l'existence d'une solution forte dans le cas d'un opérateur monotone et continu sur un ensemble convexe, compact et non-vide et en déduit le théorème du minimax de von Neumann.
Soient C ⊂ ℝ^n un ensemble convexe, compact et non-vide, G : ℝ^n → ℝ^n un opérateur monotone continu et η > 0.
On définit deux suites (y_j)_(j ⩾ 1) et (x_j)_(j ⩾ 1) d'éléments de ℝ^n en posant y_1 = 0, x_1 = Π_C(y_1), puis en définissant par récurrence pour tout entier j ⩾ 2 :
y_j = − η∑_(i = 1)^(j − 1)G(x_i) et x_j = Π_C(y_j).
Pour tout entier j ⩾ 1 on pose
B_j = ‖x_j‖^2 − ‖x_(j + 1)‖^2 − 2⟨y_(j + 1), x_j − x_(j + 1)⟩.
Enfin, on fixe x ∈ C et pour tout entier j ⩾ 1 on pose
D_j(x) = ‖x‖^2 − ‖x_j‖^2 − 2⟨y_j, x − x_j⟩.
  • 7)Montrer que pour tout entier j ⩾ 1,
    2η⟨G(x), x_j − x⟩ ⩽ 2η⟨G(x_j), x_j − x⟩ = D_j(x) − D_(j + 1)(x) + B_j.
  • 8)En déduire que pour tout ε > 0, il existe x~_ε ∈ C tel que
    ∀x ∈ C, ⟨G(x), x~_ε − x⟩ ⩽ ε.
    Indication. - On pourra considérer un point de la forme 1/NΣ_(j = 1)^N x_j, avec N ⩾ 1 et η > 0 judicieusement choisis.
  • 9)En déduire qu'il existe une solution forte de G sur C.
Pour tout entier p ⩾ 1, on note Δ_p = {x = (x_1, …, x_p) ∈ (ℝ_+)^p : Σ_(i = 1)^p x_i = 1}.
  • 10)Soient m, n ⩾ 1 deux entiers, A une matrice réelle de taille m × n. Soit G : ℝ^m × ℝ^n → ℝ^m × ℝ^n la fonction définie par
    ∀(a, b) ∈ ℝ^m × ℝ^n, G(a, b) = (− Ab, A^⊤a).
    On identifie ℝ^m × ℝ^n avec ℝ^(m + n).
    • a)Montrer G est un opérateur monotone continu.
    • b)En déduire que
      sup_(a ∈ Δ_m)inf_(b ∈ Δ_n)⟨a, Ab⟩ = inf_(b ∈ Δ_n)sup_(a ∈ Δ_m)⟨a, Ab⟩.

Partie III. - Itérations de Krasnoselskii-Mann

Cette partie introduit les itérations de point fixe de Krasnoselskii-Mann et établit leur convergence.
  • 11)Montrer qu'il existe un entier m ⩾ 1 et une fonction F : ℝ^m → ℝ^m 1 - lipschitzienne telle que pour tout x ∈ ℝ^m, F(x) ≠ x.
  • 12)Montrer qu'il existe un entier m ⩾ 1, un point x_∗ ∈ ℝ^m, une suite (x_k)_(k ⩾ 1) dans ℝ^m et une fonction F : ℝ^m → ℝ^m 1-lipschitzienne tels que les trois propriétés suivantes sont vérifiées :
    • (i) F(x_∗) = x_∗,
    • (ii) ∀k ⩾ 1, x_(k + 1) = F(x_k),
    • (iii)la suite (x_k)_(k ⩾ 1) ne converge pas.
Soit n ⩾ 1 un entier et F : ℝ^n → ℝ^n une fonction 1 -lipschitzienne admettant un point fixe x_∗ ∈ ℝ^n. Soit θ ∈ ]0, 1[, x_1 ∈ ℝ^n et pour k ⩾ 1, on pose
x_(k + 1) = x_k + θ(F(x_k) − x_k).
  • 13)Montrer que la suite (‖x_k − x_∗‖)_(k ⩾ 1) est décroissante.
  • 14)Soit k ⩾ 1. Montrer que
    ‖x_(k + 1) − x_∗‖^2 + θ(1 − θ)‖F(x_k) −, x_k‖^2; = (1 − θ)‖x_k − x_∗‖^2 + θ‖F(x_k) − x_∗‖^2
  • 15)Montrer que la suite (‖x_(k + 1) − x_k‖)_(k ⩾ 1) converge vers 0.
  • 16)Montrer que la suite (x_k)_(k ⩾ 1) converge vers un point fixe de F.

Partie IV. - Théorème de Baillon-Haddad et descente de gradient

Cette partie porte sur les fonctions convexes dont les gradients sont lipschitziens, établit le théorème de Baillon-Haddad à la question 21), lequel permet enfin d'étudier la convergence de la descente de gradient en l'interprétant comme une itération de Krasnoselskii-Mann.
Soit f : ℝ^n → ℝ une fonction de classe 𝒞^1. On note ∇f : ℝ^n → ℝ^n la fonction gradient qui à x ∈ ℝ^n associe le vecteur
∇f(x) = ((∂f)/(∂x_i)(x))_(1 ⩽ i ⩽ n)
Pour x ∈ ℝ^n, si elle existe, on note ∇^2 f(x) la matrice hessienned de f en x :
∇^2 f(x) = ((∂^2 f)/(∂x_i∂x_j)(x))_(1 ⩽ i, j ⩽ n)
On suppose dans toute cette partie que f est convexe et qu'il existe x_∗ ∈ ℝ^n tel que ∇f(x_∗) = 0. On note I la fonction identité sur ℝ^n et on considère L un réel strictement positif.
  • 17)Montrer que f admet un minimum en x_∗.
    Indication. - Pour un point x ∈ ℝ^n donné, on pourra considérer la fonction φ_x : ℝ → ℝ définie par φ_x(t) = f(x_∗ + t(x − x_∗)) pour t ∈ ℝ.
  • 18)Montrer que si f est de classe 𝒞^2, alors pour tout x ∈ ℝ^n, ∇^2 f(x) est une matrice symétrique positive.
  • 19)Le but de cette question est de montrer que ∇f est L-lipschitzienne si, et seulement si,
    ∀x, x^′ ∈ ℝ^n, f(x^′) − f(x) − ⟨∇f(x), x^′ − x⟩ ⩽ L/2‖x^′ − x‖^2.
    • a)Montrer que si ∇f est L-lipschitzienne, alors la propriété (P) est vraie.
    • b)Montrer que si la propriété (P) est vraie, alors
      ∀x ∈ ℝ^n, ‖∇f(x)‖^2 ⩽ 2 L(f(x) − f(x_∗)).
    • c)Montrer que si la propriété ( P ) est vraie, alors
      ∀x, x^′ ∈ ℝ^n, f(x^′) ⩾ f(x) + ⟨∇f(x), x^′ − x⟩ + 1/(2 L)‖∇f(x^′) − ∇f(x)‖^2.
    • d)Conclure.
  • 20)On suppose dans cette question que f est de classe 𝒞^2. Montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes.
      • (i) ∇f est L-lipschitzienne.
      • (ii)Pour tout x ∈ ℝ^n, la matrice LI_n − ∇^2 f(x) est symétrique positive, où I_n désigne la matrice identité de taille n × n.
    • (iii)Pour tout x ∈ ℝ^n, les valeurs propres de ∇^2 f(x) appartiennent à [0, L].
On ne suppose plus que f est de classe 𝒞^2 et on suppose dorénavant que ∇f est L-lipschitzienne.
  • 21)Montrer que I − 2/L∇f est 1 -lipschitzienne.
    Indication. - On pourra utiliser l'inégalité de la question 19c).
  • 22)Soit x_1 ∈ ℝ^n. Pour k ⩾ 1, on définit par récurrence
    x_(k + 1) = x_k − 1/L∇f(x_k).
    Montrer que la suite (x_k)_(k ⩾ 1) converge et que
    f(x_k) ⟶ _(k → + ∞)inf_(x ∈ ℝ^n)f(x).

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de Mathématiques C des ENS filières MP et MPI 2026 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de Mathématiques C des ENS filières MP et MPI 2026 ?

Il porte sur la convexité, les espaces euclidiens, les suites récurrentes, la différentiabilité et le gradient, dans une perspective d'optimisation convexe.

Le sujet démontre-t-il le théorème du minimax de von Neumann ?

Oui, la partie II en déduit ce théorème à partir d'un résultat d'existence de solution forte pour un opérateur monotone continu.

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

L'énoncé fournit un diagramme de dépendances entre les quatre parties I, II, III et IV, qui ne sont donc pas toutes indépendantes.

Faut-il connaître la descente de gradient pour ce sujet ?

Oui, la partie IV utilise le théorème de Baillon-Haddad et les itérations de Krasnoselskii-Mann pour démontrer la convergence de la descente de gradient à pas fixe.

Pas de description pour le moment