Polytechnique Mathématiques 2 MP 2010Sujet, corrigé et rapport du jury

Sur les sous-groupes finis de Gn(C)

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Présentation du sujet

Difficile

Sous-groupes finis de GL2(C) sans homothétie autre que l'identité

Le problème caractérise les sous-groupes finis de GL2(C) qui ne contiennent aucune homothétie autre que l'identité. Il montre d'abord que les éléments d'un groupe fini d'automorphismes sont diagonalisables, étudie le groupe des isométries du triangle équilatéral, établit le lemme de Schur et le fait que la dimension d'une représentation irréductible divise l'ordre du groupe, puis conclut par une caractérisation des groupes diédraux D_n pour n impair.

1Partie I : sous-groupes finis de GL(E)Diagonalisabilité des éléments d'un groupe fini et codiagonalisation dans le cas commutatif (question 1).
2Partie II : isométries du triangleInventaire des six isométries d'un triangle équilatéral et isomorphisme avec le groupe D3 (questions 2a à 2c).
3Partie III : lemme de SchurMorphisme de conjugaison, matrices fixées par le groupe, projecteur moyenne, traces et divisibilité de |G| par n (questions 3 à 10d).
4Partie IV : une caractérisation de D_n, n impairProduit scalaire hermitien invariant, éléments d'ordre 2 de SL2(C), étude de G ∩ SL2(C) et isomorphisme avec D_n (questions 11a à 18).

Difficile. Le jury indique que l'épreuve a désarçonné de nombreux candidats par sa longueur et sa relative difficulté ; la moyenne est de 8,25.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,25 / 20 · écart-type 4,12 · 1 564 copies · où vous situez-vous ?

Moyenne: 8,25/ 20
Écart-type: 4,12
Copies: 1 564

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Polynôme annulateur scindé à racines simples non justifié · Stabilité par commutation mal énoncée · Résultats du cours utilisés sans preuve quand elle est demandée

L'épreuve, longue et relativement difficile, a désarçonné de nombreux candidats ; la plupart n'ont pas dépassé la question 11, ce qui suffisait pourtant largement pour obtenir la moyenne. Beaucoup ont perdu du temps sur les questions 1 et 2. Le jury déplore une rédaction désinvolte : quantificateurs absents, fins de démonstration négligées et justifications manquantes.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Polynôme annulateur scindé à racines simples non justifiéQuestion 1
Beaucoup affirment sans explication que X^{|G|} − 1 est scindé à racines simples, et la codiagonalisation de deux endomorphismes ne se généralise pas directement à un groupe.
« Beaucoup traitent partiellement cette question qui appara ît comme classique »
2
Stabilité par commutation mal énoncéeQuestions 1, 3 et 4
Deux endomorphismes qui commutent ne stabilisent pas les mêmes sous-espaces en général ; seuls les sous-espaces propres (et noyau, image) sont stables.
« Si f et g commutent, tout sous-espace stable par f est stable par g ce qui est manifestement faux lorsque f est l’identité »
3
Résultats du cours utilisés sans preuve quand elle est demandéeQuestions 3, 4 et 9a
Le commutant de Mn(C) ou la stabilité de ker M sont affirmés alors que l'énoncé demandait de les démontrer.
« sans le démontrer, le résultat (au programme) que tout sous-espace propre de f est stable par g lorsque f et g commutent »
4
Calculs formels sans notations ni justificationQuestions 6 et 10b
Aligner des sommes qui aboutissent au résultat donné ne suffit pas : il faut définir les notations et justifier chaque étape.
« Peu de candidats ont fourni une réponse convaincante »
5
Existence affirmée sans exemple expliciteQuestion 14c
Dire qu'une construction est possible sans la donner laisse au correcteur la vérification.
« c’est possible, laissant au correcteur le soin de le »

Ce qui a été bien réussi

La question 2a est traitée correctement par la plupart des candidats.
La question 10a est relativement bien traitée.
Les questions 13a, 13c, 14b et 16a sont en général bien résolues par ceux qui les abordent.
Une dizaine de candidats a obtenu la note 20.

Conseils du jury

Ne pas s'enliser dans les premières questions et savoir sauter une question difficile, sans se limiter aux questions faciles.
Écrire les quantificateurs et terminer proprement les démonstrations.
Justifier chaque passage d'une ligne de calcul à la suivante, en citant la question ou l'hypothèse utilisée.
Expliquer pourquoi un projecteur est diagonalisable plutôt que de l'affirmer.
Utiliser la translation g ↦ g0 g, qui est une bijection du groupe, dans les calculs de moyennes.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

Sur les sous-groupes finis de $GL_2(C)$

Le but de ce problème est de caractériser les sous-groupes finis de

GL_2(C)

ne contenant pas d'homothétie autre que l'identité.

Notations et conventions

Soit

G

un groupe fini (noté multiplicativement) de cardinal

|G|

. On note

1_G

l'unité de

G

. On rappelle que tout élément

g

G

vérifie

g^(|G|) = 1_G

et on admet que si

p

est un nombre premier qui divise

|G|

, alors il existe

g ∈ G∖{1_G}

tel que

g^p = 1_G

E

est un

C

-espace vectoriel de dimension finie, on note

GL(E)

le groupe des endomorphismes inversibles de

E

Id_E

l'identité de

E

. Si

φ

un endomorphisme de

E

, on note

Tr(φ)

la trace de

φ

det(φ)

son déterminant.

G

est un sous-groupe fini de

GL(E)

, et

V

un sous-espace vectoriel de

E

, on note

V^G

l'ensemble des vecteurs fixés par

G : V^G = {v ∈ V|∀g ∈ G, g(v) = v}

. On dit que

V

est stable par

G

si quels que soient

g \in G, v \in V

, on a

g(v) \in V

et on dit que

E

est irréductible pour

G

si ses seuls sous-espaces stables par

G

sont

E

{0}

On note

M_n(C)

l'espace des matrices carrées de taille

n

à coefficients complexes et

GL_n(C)

le groupe des matrices inversibles dans

M_n(C)

On note

D_n

le sous-groupe de

GL_2(C)

2n

éléments formé des matrices

(c^k, 0; 0, c^(- k))

(0, - c^k; - c^(- k), 0)

, où

k

est un entier compris entre 0 et

n - 1

c = e^(2iπ/n)

(on ne demande pas de vérifier que

D_n

est un groupe).

I - Sous-groupes finis de GL(E)

Soit $E$ un $C$ -espace vectoriel de dimension finie et soit $G$ un sous-groupe fini de $GL(E)$ . Démontrer que, pour tout $g \in G, g$ est diagonalisable et que, si $G$ est commutatif, tous les éléments de $G$ sont diagonalisables dans une même base.

II - Isométries du triangle

On se place dans le plan euclidien, muni d'un repère orthonormé centré en $O$ . On s'intéresse au sous-groupe $D˜_3$ des isométries du plan qui préservent un triangle équilatéral $ABC$ de centre $O$ .

2a. Faire l'inventaire des éléments de

D˜_3

et démontrer que

D˜_3

est de cardinal 6 .
2b. En se plaçant dans la base (non orthonormée)

(OA^(\to-), OB^(\to-))

, démontrer que le groupe

D˜_3

est isomorphe à un sous-groupe de

GL_2(C)

formé de matrices

(a, b; c, d)

où

a, b, c, d

sont dans

{ - 1, 0, 1}

2c. Diagonaliser dans

C

la matrice

(0, - 1; 1, - 1)

. En déduire que le groupe

D˜_3

est isomorphe au groupe

D_3

III - Lemme de Schur

Notons

A = M_n(C)

E = C^n

. Notons

I_n

la matrice identité de

M_n(C)

. On appelle homothétie une matrice de la forme

λI_n, λ \in C

. Soit

G

un sous-groupe fini de

GL_n(C)

. Pour tout

B \in G

, on note

i(B)

l'application :

i(B) : {A ⟶ A; M ↦ BMB^(− 1)

Montrer que $i : B \mapsto i(B)$ est un morphisme de groupes de $G$ dans $GL(A)$ , et que $i$ est injectif si et seulement si $G$ ne contient pas d'homothéties autres que l'identité.

On note

G˜

l'image par

i

G

A^(G˜)

l'ensemble des matrices

M \in A

telles que

i(B)(M) = M

pour tout

B

dans

G˜

.
4. Soit

M \in A^(G˜)

. Démontrer que

Ker(M)

Im(M)

sont des sous-espaces stables par

G

.
5. On suppose que

E

est irréductible pour

G

. Soit

M \in A^(G˜)

, démontrer que

M

est soit nulle, soit inversible. En déduire que

A^(G˜)

est de dimension 1 .
6. Soient

M, N \in A

. On considère l'endomorphisme de

A

suivant,

Φ : X \mapsto MXN

Démontrer que

Tr(Φ) = Tr(M)Tr(N)

.
7. Soit

P = 1/(|G|)\sum_(B \in G)B

7a. Démontrer que

P^2 = P

. En déduire que

P

est diagonalisable.
7b. Démontrer que

Im(P) = E^G

et en déduire que

dim(E^G) = 1/(|G|)\sum_(B \in G)Tr(B)

.
8. Démontrer que

dim(A^(G˜)) = 1/(|G|)\sum_(B \in G)Tr(B^(- 1))Tr(B)

.
(On pourra considérer d'abord le cas où

i

est injectif.)

On suppose, jusqu'à la fin de cette partie, que

E

est irréductible pour

G

.
9a. Soit

X

dans

A

une matrice qui commute avec toutes les matrices de

G

. Démontrer que

X = 1/nTr(X)I_n

。

9b. Soit

Y = \sum_(B \in G)Tr(B^(- 1))B

. Démontrer que

Y = (|G|)/nI_n

.
10. On garde la notation

Y

jusqu'à la fin de cette partie. Soit

ζ = e^(2iπ/|G|)

. On note

Z_G = {a_0 ζ^0 + a_1 ζ^1 + ⋯ + a_(|G| − 1)ζ^(|G| − 1), a_i ∈ Z}

Z_G[G]

les combinaisons linéaires, à coefficients dans

Z_G

, de matrices de

G

.
10a. Démontrer que pour tout

B \in G, Tr(B)

est dans

Z_G

, puis que

Y

est dans

Z_G[G]

.
10b. On note

(C_k)_(1 \leq k \leq |G|^2)

les

|G|^2

matrices

ζ^i B

(où

1 \leq i \leq |G|

B \in G

) de

Z_G[G]

. Démontrer que pour tous

1 \leq k \leq |G|^2

, on peut trouver des coefficients

(a_(ij))_(1 \leq i, j \leq |G|^2)

dans

Z

tels que

YC_k = \sum_(1 \leq ℓ \leq |G|^2)a_(ℓk)C_ℓ

10c. On pose

A = (a_(ij))_(1 \leq i, j \leq |G|^2)

R = (|G|)/nI_(|G|^2) - A

. Démontrer que

det(R) = 0

.
10d. Démontrer que

(|G|)/n

est racine d'un polynôme à coefficients dans

Z

de degré

|G|^2

et de terme dominant égal à 1 . En déduire que

n

divise

|G|

IV - Une caractérisation de $D_n, n$ impair

Soit

G

un sous-groupe fini de

GL_2(C)

. Notons

⟨.,

⟩leproduitscalairehermitienusuelsurC^2

, et posons pour tout

v, w \in C^2

⟨v, w⟩_0 = 1/(|G|)\sum_(B \in G)⟨B(v), B(w)⟩

11a. Montrer que

⟨., .⟩_0

est un produit scalaire hermitien sur

C^2

, vérifiant quels que soient

v, w \in C^2

B \in G, ⟨B(v), B(w)⟩_0 = ⟨v, w⟩_0

11b. Démontrer que si

C^2

n'est pas irréductible pour

G

, il existe une base orthogonale de

C^2

pour le produit scalaire hermitien

⟨., .⟩_0

qui diagonalise les matrices de

G

. En déduire que

G

est commutatif.

12a. On note

SL_2(C)

le sous-groupe de

GL_2(C)

des matrices de déterminant 1. Quels sont les matrices

B \in SL_2(C)

telles que

B^2 = I_2

12b. Démontrer que si

G \subset SL_2(C)

est non commutatif, alors

|G|

est pair. En déduire que

- I_2 \in G

. (Utiliser les rappels du préambule.)

On suppose par la suite que

G

est un sous groupe fini de

GL_2(C)

ne contenant aucune homothétie autre que l'identité. On note

G_0 = G \cap SL_2(C)

13a. Démontrer que

G_0

est commutatif. En déduire qu'il existe

P

dans

GL_2(C)

et un sous-
groupe

Γ_0

GL_2(C)

formé de matrices diagonales de la forme

(λ, 0; 0, λ^(- 1))

tels que

B \mapsto PBP^(- 1)

soit un isomorphisme de

G_0

sur

Γ_0

13b. Démontrer qu'il existe un entier

m

tel que

Γ_0

soit le groupe

Z_m

des matrices

(c^k, 0; 0, c^(- k))

où

c = e^(2iπ/m)

k

prend les valeurs de 0 à

m - 1

13c. Si

G_0 = {I_2}

démontrer qu'alors

G

est commutatif (considérer le morphisme de groupe

det : G \to C^*)

On suppose dans les questions 14 et 15 que

G

n'est pas commutatif et que

G_0

est exactement le groupe

Z_m

.
14. Soit

B_0

une matrice dans

G

qui n'est pas diagonale.

14a. Démontrer que pour tout

C \in Z_m

on a

B_0 CB_0^(- 1) \in Z_m

. En déduire que

B_0

est de la forme

B_0 = (0, b; b^', 0)

avec

b, b^' \in C

14b. Calculer

B_0^2

et en déduire que

b^' = b^(- 1)

.
14c. Montrer qu'il existe

Q \in GL_2(C)

diagonale telle que

QB_0 Q^(- 1) = (0, - 1; - 1, 0)

.
15a. Soit

B

une matrice diagonale dans

G

. Montrer que

B \in Z_m

.
15b. Montrer que

B \mapsto QBQ^(- 1)

est un isomorphisme de

G

sur le groupe

D_m

.
16. Soit

G

un sous-groupe fini commutatif de

GL_2(C)

qui ne contient pas d'homothétie autre que l'identité.

16a. Montrer qu'il existe une matrice

P \in GL_2(C)

et deux morphismes de groupes

χ_1, χ_2 : G \to C^*

tels que toute matrice de

G

s'écrive

B = P(χ_1(B), 0; 0, χ_2(B))P^(- 1)

16b. Montrer que

B \mapsto χ_1(B)χ_2(B)^(- 1)

est un isomorphisme de

G

dans le groupe des racines

|G|

-ièmes de l'unité.

16c. Montrer que

G

est le groupe des matrices de la forme

P(c^k, 0; 0, d^k)P^(- 1), k

variant de 0 à

|G| - 1

, où l'on a posé

c = e^(2iπp/|G|)

d = e^(2iπq/|G|), p

q

étant deux entiers tels que

p - q

est premier avec

|G|

.
17. Décrire à partir des questions précédentes tous les sous-groupes finis de

GL_2(C)

ne contenant pas d'homothétie autre que l'identité.
18. Montrer que le groupe fini commutatif

Z/2Z \times Z/2Z \times Z/2Z

ne peut pas être isomorphe à un sous-groupe de

GL_2(C)

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet X Maths 2 MP 2010 ?

Sur les sous-groupes finis de GL2(C) sans homothétie autre que l'identité : diagonalisation, lemme de Schur, traces et caractérisation des groupes diédraux D_n pour n impair.

Quelle est la moyenne en Maths 2 X MP 2010 ?

Le rapport indique une moyenne de 8,25 avec un écart-type de 4,12 sur 1564 copies.

Le sujet de Maths 2 Polytechnique MP 2010 est-il long ?

Oui. Le jury le juge long et relativement difficile ; la plupart des candidats n'ont pas dépassé la question 11, ce qui suffisait pourtant pour obtenir largement la moyenne.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en Maths 2 X MP 2010 ?

Justifications absentes sur les polynômes annulateurs, confusion sur la stabilité des sous-espaces par des endomorphismes qui commutent, résultats affirmés sans preuve et calculs formels non justifiés.

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DEUXIÈME COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

Sur les sous-groupes finis de GL_2(C)

Notations et conventions

I - Sous-groupes finis de GL(E)

II - Isométries du triangle

III - Lemme de Schur

IV - Une caractérisation de D_n, n impair

Questions fréquentes

Sur quoi porte le sujet X Maths 2 MP 2010 ?

Quelle est la moyenne en Maths 2 X MP 2010 ?

Le sujet de Maths 2 Polytechnique MP 2010 est-il long ?

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en Maths 2 X MP 2010 ?

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Sur les sous-groupes finis de $GL_2(C)$

IV - Une caractérisation de $D_n, n$ impair