WikiPrépaLivrets

Polytechnique Informatique Commune MP PC 2009Sujet, corrigé et rapport du jury

Chiffrement par blocs

Pas encore noté
Logo concours X

Explorer les annales

BanqueX-ENSAnnée2009FilièreMP/PCMatièreInformatique
Annales X-ENS MP/PC InformatiqueX-ENS MP/PC 2009MP/PC InformatiqueInformatique 2009

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé (Maple)
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2009

Filière MP - option physique et sciences de lingénieur filière PC

COMPOSITION D'INFORMATIQUE

(Durée : 2 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Le langage de programmation choisi par le candidat doit être spécifié en tête de la copie.

Chiffrement par blocs

Notation. Dans tout l'énoncé, [ [a, b[ [ désigne l'ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à a et strictement inférieurs à b.
Lorsque l'on souhaite communiquer des données confidentielles, il convient de chiffrer ces données, c'est-à-dire de les rendre inintelligibles. Les algorithmes étudiés ici relèvent du chiffrement symétrique : une transformation de chiffrement donnée est identifiée par une clé (un entier), qui la désigne et permet également le déchiffrement.
Dans une approche simplifiée du chiffrement par blocs, le chiffrement d'un message de taille arbitraire est effectué d'abord en découpant le message en blocs de taille fixée puis en chiffrant chaque bloc. Nous nous limitons ici au chiffrement d'un bloc considéré indépendamment des autres. Dans ce modèle, on se donne un entier N > 0, dit taille (en pratique N est une puissance de deux). Un bloc (clair ou chiffré) est un entier de [ [0, N[ [, et un algorithme de chiffrement est une application de [ [0, N[ [ dans [ [0, N] ]. Pour permettre le déchiffrement, cette application doit être une permutation de [ [0, N[ [ (autrement dit une bijection).
Important. Dans tout le problème, on suppose que le langage de programmation utilisé possède certaines propriétés.
  1. Les programmes agissent sur des entiers (naturels) «de taille arbitraire» c'est-à-dire que l'on ignore toutes les questions liées à la taille finie des entiers machine. Autrement dit, on considère que les opérations usuelles (, + ∗ etc.) sont celles des entiers naturels.
  2. Il existe deux fonctions rem (a, b) et quo (a, b) calculant respectivement le reste r et le quotient q de la division euclidienne de a par b > 0. Il est rappelé que l'égalité a = bq + r et la condition r < b définissent q et r. Autrement dit, si a = bq + r, alors il existe un unique quotient q et un unique reste r < b, dont les valeurs sont données précisément par les fonctions quo et rem.
  3. Certaines des fonctions demandées sont spécifiées comme renvoyant un tableau ou une liste. Tableau ou liste sont au choix du candidat. En cas de doute, le candidat est invité à définir les primitives dont il juge avoir besoin et à les employer de façon cohérente dans tout le problème.

I. Approche naïve

On cherche à désigner (dans un premier temps) une application arbitraire de [ [0, N[ [ (ensemble à N éléments) dans lui-même. Le nombre total de telles applications est N^N.
Considérons un entier k (une clé) pris dans [ [0, N^N[ [. L'entier k s'écrit de manière unique sous la forme :
k = a_(N − 1)N^(N − 1) + ⋯ + a_i N^i + ⋯ + a_1 N^1 + a_0
où chaque coefficient vérifie a_i ∈ [ [0, N[ [ (c'est l'écriture de k en base N ). On considère que k représente l'application f_k de [ [0, N[ [ dans lui-même définie par f_k(0) = a_0, f_k(1) = a_1, etc.
Question 1 Écrire la fonction DecomposerBase( N, k ) qui prend en arguments la taille N, une clé k de [ [0, N^N[ [, et qui renvoie la décomposition de k en base N. En pratique, DecomposerBase renvoie donc le tableau ou la liste des a_i, dans l'ordre des i croissants.
En réalité nous nous intéressons aux permutations de [ [0, N] ]. On sait qu'il existe N! permutations d'un ensemble de N éléments. Dans la suite logique de la question précédente, considérons donc une clé k prise dans [ [0, N![ [. On admet que k s'écrit de manière unique sous la forme :
k = a_(N − 1)(N − 1)! + a_(N − 2)(N − 2)! + ⋯ + a_i i! + ⋯ + a_2 2! + a_1 1! + a_0,
où les coefficients vérifient a_i ∈ [ [0, i + 1[ [. L'écriture ci-dessus est dite décomposition sur la base factorielle. Par exemple, pour N = 4 et k = 17, on a k = 2 ⋅ 3! + 2 ⋅ 2! + 1 ⋅ 1! + 0.
Question 2 Écrire la fonction DecomposerFact (N, k) qui prend en argument la taille N et une clé k de [ [0, N![ [, et qui renvoie la décomposition de k sur la base factorielle.
Une fois k décomposée sur la base factorielle, la permutation σ_k de [ [0, N[ [ représentée par k se calcule comme suit. En premier lieu, on considère la séquence L = (0, 1, …, N − 1) à N éléments. Cette séquence est modifiée au fur et à mesure que les valeurs prises par la permutation σ_k sont calculées.
La première valeur calculée est σ_k(0), égal au 1 + a_(N − 1)-ième élément de L (c'est-à-dire à a_(N − 1)). Une fois σ_k(0) calculé, cet entier est retiré de L, qui ne contient plus que N − 1 entiers.
La seconde valeur calculée est σ_k(1), égal au 1 + a_(N − 2)-ième élément de L. Une fois σ_k(1) calculé, cet entier est retiré de L. Le procédé est répété jusqu'au calcul de σ_k(N − 1), égal à l'unique élément de L restant.
Par exemple, dans le cas N = 4, k = 17 on a : σ_(17)(0) = 2(a_3 = 2), et L devient (0, 1, 3). Ensuite σ_(17)(1) = 3(a_2 = 2), et L devient (0, 1). Ensuite σ_(17)(2) = 1(a_1 = 1), et pour finir σ_(17)(3) = 0.
Question 3 Écrire la fonction Retirer (L, ℓ, j) qui prend en argument un tableau L à ℓ éléments, et qui renvoie un tableau de taille ℓ − 1. Le tableau renvoyé est une copie du tableau L dans laquelle le j-ème élément a été retiré.
Question 4 Écrire la fonction EcrirePermutation (N, k) qui prend en arguments la taille N, la clé k de [ [0, N![ [, et qui renvoie la permutation σ_k. La permutation sera représentée par le tableau ou la liste des σ_k(i), dans l'ordre des i croissants.
Question 5 Écrire les fonctions Chiffrer(N, k, b) et Dechiffrer(N, k, b), qui prennent en arguments la taille N, la clé k et un bloc b. La fonction Chiffrer renvoie σ_k(b), tandis que la fonction Dechiffrer renvoie l'unique bloc b^′ tel que σ_k(b^′) = b.

II. Réseau de Feistel

Nous prenons ici le parti de fabriquer des permutations particulières. Notre motivation ici est double : (1) réduire la taille des clés (un entier de [ [0, N![ [ dans la partie précédente) et (2) effectuer des calculs peu coûteux lors du chiffrement et du déchiffrement.
On commence par fixer la taille à la valeur N = 2^(64). Un bloc b est donc un entier de [ [0, 2^(64)[ [. L'ingrédient essentiel du chiffrement est le réseau de Feistel. Un réseau de Feistel est une suite de plusieurs opérations, appelées tours. Un tour est décrit par la figure 1. Sur la figure, l'entrée est le bloc b_i = 2^(32)q_i + r_i, la sortie est b_(i + 1) = 2^(32)q_(i + 1) + r_(i + 1).
Fig. 1: Un tour de réseau de Feistel
La figure peut aussi se lire comme définisssant q_(i + 1) égal à r_i, et r_(i + 1) égal à q_i ⊕ F_(k_i)(r_i). Le symbole ⊕ désigne ici une opération appelée xor. Cette fonction est associative, commutative, et vérifie xor(xor(x, y), y) = x pour tout couple d'entiers ( x, y ). On suppose que la fonction xor est disponible dans le langage de programmation utilisé, accessible sous le nom xor. Le symbole F_(k_i) désigne une application sur [ [0, 2^(32)[ [, paramétrée par une clé k_i. Par la suite, on suppose donnée une fonction F(k_i, r) qui calcule F_(k_i)(r).
Question 6 Écrire la fonction FeistelTour (k, b) qui prend en argument une clé k et un bloc b ( k est un certain k_i, et b est un certain b_i ), et renvoie la sortie (notée b_(i + 1) ci-dessus) du tour qui utilise la clé k.
Question 7 Écrire la fonction FeistellnverseTour (k, b) qui réalise l'application inverse de la fonction précédente, c'est-à-dire qui calcule et renvoie b_i en fonction de b_(i + 1).
Question 8 Écrire la fonction Feistel ( K, ℓ, b ) qui prend en entrée le bloc b, et renvoie la sortie d'un réseau de Feistel à ℓ tours. Plus précisément, l'entrée b_0 du premier tour est b, puis l'entrée b_i(i > 0) d'un tour est la sortie du tour précédent. Enfin, la sortie du réseau est la sortie b_ℓ du dernier tour. Chaque tour utilise une clé différente. Les clés sont fournies (dans l'ordre) par le tableau K de taille ℓ. Indépendamment du langage de programmation considéré, on supposera qu'un tableau est un argument standard et que ses indices sont les entiers de [ [0, ℓ[ [.
Question 9 Écrire la fonction Feistellnverse (K, ℓ, b) qui effectue l'opération inverse de la fonction précédente. Cette opération inverse est le déchiffrement, et l'identité suivante doit être vérifiée pour tout bloc b : Feistellnverse(K, ℓ, Feistel(K, ℓ, b)) = b.

III. Vérification de propriétés statistiques

Dans cette partie la taille N est fixée à la valeur N = 2^(64), comme dans la partie précédente. On explore la mise en œuvre de critères de qualité du chiffrement. Certains tests couramment employés sont des tests statistiques effectués sur les message chiffrés. Ces tests servent à mettre en évidence des biais indésirables.
On considère le message clair (infini) formé de la séquence des blocs 0, 1, …. Pour une permutation de chiffrement des blocs σ, le message chiffré est donc la séquence des blocs σ(0), σ(1), …
Les tests portent sur le message chiffré vu comme une séquence de bits, un bit étant un chiffre en base 2, soit 0 ou 1 . En fonction d'une longueur paramétrable n, nécessairement multiple de 64, la séquence étudiée est la séquence
S_n = 1010⋯1101_()_(σ(0)(64 bits))1001⋯1110_()_(σ(1)(64 bits))⋯1101⋯0010_()_(σ(n/(64) − 1)(64 bits))
où par convention, l'écriture binaire (complète) d'un entier x de [ [0, 2^(64)[ [, x = ∑_(i = 0)^(63)b_i 2^i, est la séquence b_(63)b_(62)⋯b_1 b_0 (le bit «le plus significatif» apparaît en premier).
Dans tout ce qui suit, on considère que la permutation étudiée σ est fixée, et calculée par une fonction Sigma(x), qui prend en entrée un entier x de [ [0, 2^(64)[ [ et renvoie un entier de [ [0, 2^(64)[ [.
Question 10 Écrire la fonction Sequence(n) qui construit la séquence S_n ci-dessus, sous la forme d'un tableau de taille n ou d'une liste (on rappelle que n est un multiple de 64). L'ordre des éléments du tableau ou de la liste sera évidemment l'ordre des bits de S_n défini précédemment.
Un premier critère consiste à tester dans quelle mesure les bits 0 et 1 apparaissent avec une fréquence suffisamment proche. Sur un total de n bits ( n ≥ 1 ), on calcule pour cela la valeur V_1 = 1/n(n_0 − n_1)^2, où n_0 et n_1 représentent respectivement le nombre de bits 0 et 1 dans la séquence de n bits considérée. En fonction de cette valeur V_1, des tables permettent de dire si un biais statistique est visible.
Question 11 Écrire la fonction CalculerV1(n) qui détermine la valeur V_1 correspondant à la séquence S_n. Attention, on observera que V_1 n'est pas un entier, il sera représenté en machine par un nombre flottant.
Un second critère généralise le précédent en considérant les séquences de deux bits. Pour n bits ( n ≥ 2 ), on calcule la valeur V_2 donnée par :
V_2 = 4/(n − 1)(n_(00)^2 + n_(01)^2 + n_(10)^2 + n_(11)^2) − 2/n(n_0^2 + n_1^2) + 1,
où n_(00), n_(01), n_(10), n_(11) désignent respectivement le nombre d'occurrences des séquences 00, 01, 10, 11. On notera qu'on autorise les séquences de deux bits à se recouper. Ainsi la séquence de cinq bits 01100 contient exactement une fois chacune des quatre séquences de deux bits possibles.
Question 12 Écrire la fonction CalculerV2(n) qui détermine la valeur V_2 correspondant à S_n.

Pas de description pour le moment