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Mines Mathématiques 1 MP 2012Sujet, corrigé et rapport du jury

Réduction de certaines matrices de coefficients binomiaux

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Polynômes réciproques, dénombrement par coefficients binomiaux et réduction de matrices symétriques
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La première épreuve de mathématiques MP du concours Mines-Ponts 2012 étudie les équations algébriques réciproques et la réduction de matrices dont les coefficients sont des coefficients binomiaux. Trois parties indépendantes (polynômes réciproques, dénombrement, polynôme caractéristique d'un produit AB) préparent une dernière partie d'étude spectrale utilisant un produit scalaire intégral et les polynômes de Laguerre.

  1. 1Partie A : équations algébriques réciproquesSymétrie P ↦ XⁿP(1/X), polynômes réciproques de première et deuxième espèce, factorisations et changement de variable x + 1/x (questions 1 à 8).
  2. 2Partie B : un problème de dénombrementDénombrement de familles d'entiers par une bijection et une relation de type triangle de Pascal, aboutissant à des coefficients binomiaux (questions 9 à 11).
  3. 3Partie C : polynôme caractéristique d'un produit de matricesÉgalité des polynômes caractéristiques de AB et BA, d'abord pour A inversible puis par un argument de densité (questions 12 et 13).
  4. 4Partie D : étude spectrale de certaines matricesDiagonalisation de la matrice S, produit scalaire intégral sur les polynômes, base orthonormale de polynômes, calcul de déterminants et caractère réciproque du polynôme caractéristique de S (questions 14 à 21).

Accessible. Le jury indique que l'énoncé comporte quelques questions intéressantes et un grand nombre de questions faciles, assez nombreuses pour occuper toute la durée de l'épreuve.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Justifications élémentaires omises · Affirmations fausses sur les polynômes · Erreurs de dénombrement
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Le problème couvre une grande partie de l'algèbre linéaire de première année et mobilise aussi les matrices symétriques réelles et le polynôme caractéristique. Les candidats ont surtout traité les nombreuses questions faciles. Le jury liste surtout des justifications manquantes ou imprécises.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Justifications élémentaires omisesQuestions 1, 5 et 6

    Il fallait préciser la linéarité de l'application en question 1 et énoncer clairement pourquoi une racine 1 ou -1 donne un facteur X - 1 ou X + 1.

  2. 2
    Affirmations fausses sur les polynômesQuestion 7

    Affirmer que X + 1/X est un polynôme a permis au jury d'identifier de mauvaises copies.

  3. 3
    Erreurs de dénombrementQuestions 9, 10 et 11

    L'ensemble {0, 1, ..., j} a j + 1 éléments et non j ; il fallait aussi citer l'additivité du cardinal pour une réunion disjointe et expliquer l'usage du triangle de Pascal.

  4. 4
    Inversibilité non justifiéeQuestion 13

    Il fallait préciser et justifier que A - (1/k)I n'est inversible que pour k assez grand.

  5. 5
    Polynôme caractéristique d'une matrice 2x2Question 14

    Des erreurs dans ce calcul élémentaire ont révélé les copies très faibles.

  6. 6
    Argument de positivité et continuité oubliéQuestions 15 et 16

    Pour déduire qu'un polynôme est nul d'une intégrale nulle, il fallait justifier la positivité de l'intégrande puis invoquer la continuité ; le rang de S a aussi souvent été oublié.

Ce qui a été bien réussi

  • Montrer que la matrice S est définie positive en question 16 était très facile et a été fait par certains candidats.

Conseils du jury

  • Lire tout le sujet au calme avant de commencer pour assimiler les notations.
  • Écrire lisiblement et encadrer les résultats.
  • Quand le résultat est donné, fournir une démonstration claire et concise citant précisément les théorèmes et les numéros des questions utilisées, sans sauter d'étape.
  • Construire chaque démonstration au brouillon avant de la recopier.
  • Indiquer nettement qu'on admet le résultat d'une question non traitée.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).

CONCOURS 2012

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière MP

(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES I - MP.

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Le but du problème est d'étudier la réduction de matrices définies à partir d'un résultat sur les dénombrements de certaines familles entières, en utilisant les propriétés des polynômes réciproques.

Les parties A, B et C sont indépendantes.

A. Équations algébriques réciproques

On note ℝ[X] l'algèbre des polynômes à coefficients réels. Si P ∈ ℝ[X], on note deg(P) son degré. Si n ∈ ℕ, ℝ_n[X] désigne le ℝ-espace vectoriel des polynômes P ∈ ℝ[X] tels que deg(P) ⩽ n.
  1. Montrer que si n ∈ ℕ, l'application u_n : ℝ_n[X] → ℝ_n[X] donnée par la formule u_n(P)(X) = X^n P(1/X) est bien définie, et que c'est une symétrie.
Un polynôme R de ℝ[X] est dit réciproque de première espèce s'il est non nul et invariant par u_(deg(R)); il est dit réciproque de deuxième espèce s'il est non nul et transformé en son opposé par u_(deg(R)). On note 𝒫 (respectivement 𝒟 ) l'ensemble des polynômes de ℝ[X] réciproques de première (respectivement de deuxième) espèce.
2) Donner une condition nécessaire et suffisante sur ses coefficients pour qu'un polynôme non nul de ℝ[X] appartienne à 𝒫 (respectivement à 𝒟 ).
3) Établir que si R ∈ ℝ[X] est réciproque (c'est-à-dire R ∈ 𝒫 ∪ 𝒟 ) et x est une racine de R, alors x est non nul et 1/x est aussi une racine de R. Montrer par ailleurs que tout polynôme de 𝒟 admet 1 pour racine, et que tout polynôme de 𝒫 de degré impair admet -1 pour racine.
4) Étant donné trois polynômes P, Q, R de ℝ[X] tels que P = QR, montrer que si deux d'entre eux sont réciproques, alors le troisième l'est aussi. Établir un lien entre les espèces de ces trois polynômes réciproques.
5) Vérifier que P ∈ 𝒫 implique (X − 1)P ∈ 𝒟. Réciproquement, montrer que si D ∈ 𝒟, il existe un unique P ∈ 𝒫 tel que D = (X − 1)P.
6) Établir un résultat analogue caractérisant les polynômes de 𝒫 de degré impair dans ℝ[X].
7) Montrer que si p ∈ ℕ, alors il existe un unique P ∈ ℝ[X] tel que
X^p + 1/(X^p) = P(X + 1/X)
Quel est le degré de P ?
Soit R un élément de ℝ[X] réciproque n'admettant ni 1ni − 1 comme racine.
8) Montrer que R est réciproque de première espèce et de degré pair. En déduire qu'il existe P ∈ ℝ[X] tel que pour tout x ∈ ℝ^∗, on ait l'équivalence R(x) = 0 ⟺ P(x + 1/x) = 0. Ya-t-il unicité du polynôme P ? dedeg(P) ?

B. Un problème de dénombrement

Si i et j sont des entiers strictement positifs, on note S_(i, j) (respectivement S_(i, j)^′ ) l'ensemble des familles u = (u_k)_(k ∈ {0, 1, …, i}) à valeurs dans ℕ telles que u_0 = 1 et u_0 + u_1 + ⋯ + u_i = j (respectivement u_0 = 1 et u_0 + u_1 + ⋯ + u_i ⩽ j ).
La notation f|_E désigne la restriction d'une application f à une partie E de son ensemble de départ.
9) Vérifier que S_(i, j) et S_(i, j)^′ sont des ensembles finis et montrer que l'application
S_(i + 1, j), ⟶ S_(i, j)^′; u, ⟼ u|_({0, 1, …, i})
est bien définie et bijective.
Dans toute la suite du problème, on note s_(i, j) et s_(i, j)^′ les cardinaux respectifs de S_(i, j) et S_(i, j)^′.
10) Montrer que s_(i, j + 1)^′ = s_(i, j + 1) + s_(i, j)^′ et en déduire que s_(i + 1, j + 1)^′ = s_(i, j + 1)^′ + s_(i + 1, j)^′.
Si p, q ∈ ℕ, on note (p/q) le nombre de parties à q éléments d'un ensemble à p éléments.
11) Prouver que s_(i, j)^′ = ((i + j − 1)/i) et en déduire la valeur de s_(i, j).

C. Polynôme caractéristique d'un produit de matrices

Si n ∈ ℕ^∗, M_n(ℝ) désigne la ℝ-algèbre des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels, d'élément neutre I_n pour la multiplication. On note GL_n(ℝ) l'ensemble des matrices inversibles de M_n(ℝ). Si M ∈ M_n(ℝ), on note det(M) son déterminant et Φ_M son polynôme caractéristique.
Dans cette partie, on démontre que pour tous A, B dans M_n(ℝ), on a l'égalité Φ_(AB) = Φ_(BA).
12) Établir le résultat lorsque A est inversible.
13) Conclure en considérant la suite (A − 1/kI_n)_(k ∈ ℕ^∗).

D. Etude spectrale de certaines matrices

Soit n ∈ ℕ. On considère désormais les matrices S = (s_(i, j))_(i, j ∈ {1, 2, …, n + 1}) et S^′ = (s_(i, j)^′)_(i, j ∈ {1, 2, …, n + 1}) de M_(n + 1)(ℝ), où s_(i, j) et s_(i, j)^′ ont été définis dans la partie B.
14) Montrer que S est diagonalisable. La diagonaliser pour n = 0 et 1 , et calculer Φ_S pour n = 0, 1 et 2 .
15) Montrer que l'application ψ : (ℝ_n[X])^2 ⟶ ℝ définie par la formule
ψ(P, Q) = ∫_0^(+ ∞)P(t)Q(t)e^(− t) dt
est un produit scalaire. On suppose désormais ℝ_n[X] muni de celui-ci.
16) Vérifier que la famille ℬ = (B_0, B_1, …, B_n) définie par B_i = (X^i)/(i!), est une base de ℝ_n[X] et évaluer ψ(B_i, B_j) pour i, j ∈ {0, 1, …, n}. En déduire que S est définie positive. Que peut-on en conclure sur les rangs de S et de S^′ ?
Pour i ∈ {0, 1, …, n}, on note f_i : ℝ → ℝ l'application définie par la formule f_i(t) = t^i e^(− t). La notation f^((k)) désigne la dérivée k-ième d'une fonction f : ℝ → ℝ.
17) Pour i ∈ {0, 1, …, n} fixé, vérifier que pour tous j, k ∈ ℕ, f_i^((j))(t) = o(t^(− k)) quand t → + ∞. Montrer que la formule suivante :
L_i(t) = (− 1)^i(f_i^((i))(t))/(i!)e^t (t ∈ ℝ)
définit un polynôme L_i ∈ ℝ[X] dont on déterminera les coefficients.
18) Montrer que ℒ = (L_0, L_1, …, L_n) est une base orthonormale de ℝ_n[X]. (On pourra au préalable calculer ψ(L_i, B_j) pour j ⩽ i.)
On considère l'endomorphisme τ de ℝ_n[X] défini par τ(P)(X) = P(X − 1). On note T sa matrice dans la base canonique (1, X, X^2, …, X^n) et U = T^(− 1) son inverse.
19) Expliciter T et U et les comparer à la matrice de passage de ℬ à ℒ. En déduire S en fonction de U, puis les valeurs de det(S) et det(S^′).
On considère la matrice D = (d_(i, j))_(i, j ∈ {1, 2, …, n + 1}) de M_(n + 1)(ℝ) définie par
d_(i, j) = {(− 1)^(i + 1), si i = j; 0, si i ≠ j
  1. Calculer (DU)^2 et en déduire que S^(− 1) est semblable à UU^t, où U^t désigne la transposée de U.
  2. En conclure que Φ_S est un polynôme réciproque et préciser de quelle espèce.

FIN DU PROBLÈME

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de maths 1 MP des Mines 2012 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de maths 1 MP des Mines 2012 ?

Sur les polynômes réciproques, le dénombrement avec les coefficients binomiaux, le polynôme caractéristique et la réduction de matrices symétriques réelles, avec un produit scalaire défini par une intégrale.

Le sujet de maths 1 Mines MP 2012 est-il faisable en première année ?

En grande partie : le jury indique qu'il porte sur une large part de l'algèbre linéaire de première année. Il utilise toutefois les matrices symétriques réelles et le polynôme caractéristique, vus en deuxième année.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 1 Mines MP 2012 ?

Des justifications élémentaires absentes (linéarité, factorisation par X - 1), des erreurs de cardinal, des calculs faux de polynôme caractéristique 2x2 et l'oubli de l'argument de positivité et de continuité en question 15.

Le sujet de maths 1 Mines MP 2012 est-il difficile ?

Le jury le décrit comme composé de quelques questions intéressantes et d'un grand nombre de questions faciles, suffisantes pour occuper toute l'épreuve.

Pas de description pour le moment