Centrale Mathématiques 2 MP 2015Sujet, corrigé et rapport du jury

Autour des sommes d'Euler

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Difficile

Sommes d'Euler : représentation intégrale de sommes de séries, fonction bêta, fonction digamma et expression de S_r à l'aide de valeurs entières de zêta

Le problème porte sur les fonctions eulériennes gamma, bêta, digamma et zêta. La partie I établit un résultat général de permutation série-intégrale pour obtenir une expression intégrale de la somme S_r d'une série liée aux nombres harmoniques. La partie II étudie la fonction bêta et l'exprime à l'aide de la fonction gamma. La partie III étudie la fonction digamma et son développement en série entière au voisinage de 1. La partie IV combine ces résultats pour exprimer S_r en fonction d'un nombre fini de valeurs de zêta.

1Partie I : représentation intégrale de sommes de sériesÉtablissement d'un résultat de permutation série-intégrale et expression intégrale de la somme S_r liée aux nombres harmoniques.
2Partie II : la fonction bêtaÉtude de la fonction bêta et de son équation fonctionnelle, relation avec la fonction gamma.
3Partie III : la fonction digammaÉtude des variations de la fonction digamma, expression comme somme d'une série de fonctions, développement en série entière au voisinage de 1.
4Partie IV : expression de S_r à l'aide de valeurs entières de zêtaUtilisation des résultats précédents pour exprimer S_r en fonction d'un nombre fini de valeurs de la fonction zêta.

Difficile. Le rapport indique que la partie IV est beaucoup plus difficile et n'est abordée que par une minorité de candidats, et que plusieurs questions clés comme I.E ou II.C.4 à II.C.6 ne sont correctement traitées que par une minorité ou moins d'un quart des copies.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Continuité supposée à tort sur tout le segment · Intégrabilité en 0 omise pour la fonction gamma · Justifications inexistantes quand le résultat est donné

Le jury estime que le sujet porte sur le cœur du programme d'analyse de deuxième année, demande une bonne maitrise de l'intégrabilité et des théorèmes de permutation série-intégrale, et a permis un bon étalement des notes. Une grande importance est accordée à la rédaction et à la clarté des raisonnements.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Continuité supposée à tort sur tout le segmentI.D.1
De nombreux candidats pensent que la fonction que l'on intègre est continue sur le segment [0,1] quelles que soient les valeurs de p et de q.
2
Intégrabilité en 0 omise pour la fonction gammaII.A.1
Beaucoup de candidats omettent l'intégrabilité en 0 lors de la définition de la fonction gamma, alors qu'une minorité pense à tort que la limite nulle en l'infini suffit à montrer l'intégrabilité.
3
Justifications inexistantes quand le résultat est donnéI.F.1, I.F.2
Pour les questions I.F.1 et I.F.2, les justifications sont le plus souvent inexistantes alors que l'argumentation doit être d'autant plus rigoureuse que le résultat est donné dans l'énoncé.
« Rappelons que lorsque le résultat est donné, l’argumentation doit être d’autant plus rigoureuse. »
4
Discours peu structuré en guise de preuveII.C.1
Pour la question II.C.1, un discours peu structuré ne peut tenir lieu de preuve.
« un discours peu structuré ne peut tenir lieu de preuve. »
5
Preuve partielle sur la majoration par Taylor-LagrangeIII.D.2
La majoration de III.D.2, qui fait appel à l'inégalité de Taylor-Lagrange et à la majoration de la dérivée (n+1)-ième, n'est souvent prouvée que partiellement.

Ce qui a été bien réussi

Les questions I.C.1 et I.C.2 sont généralement traitées.
Les questions I.D.2, I.D.3 et I.D.4 ne posent que peu de problèmes.
Les questions II.B.2 et II.B.4 sont bien traitées.
Les questions III.A, III.B et III.C sont simples et ne demandent que du soin dans la rédaction.

Conseils du jury

Vérifier précisément les hypothèses des théorèmes avant de les appliquer.
Détailler d'autant plus les démonstrations et les calculs que le résultat final est donné dans l'énoncé.
Soigner la présentation et mettre en valeur les résultats, par exemple en les encadrant.
Ne pas se contenter d'un discours peu structuré à la place d'une preuve rigoureuse.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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Autour des sommes d'Euler

Dans tout le problème, on note pour tout entier

n ⩾ 1, H_n = \sum_(k = 1)^n 1/k = 1 + 1/2 + \dots + 1/n

.
On note

ζ

la fonction définie pour

x > 1

par

ζ(x) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(n^x)

.
Le but du problème est d'étudier des séries faisant intervenir la suite (

H_n

) et notamment d'obtenir une relation due à Euler qui exprime, pour

r

entier naturel supérieur ou égal à

2, \sum_(n = 1)^(+ \infty)(H_n)/((n + 1)^r)

à l'aide de valeurs de la fonction

ζ

en des points entiers.

I Représentation intégrale de sommes de séries

I.A -

I.A.1) Justifier que la série de terme général

a_n = 1/n - \int_(n - 1)^n(dt)/t

converge.
I.A.2) Montrer qu'il existe une constante réelle

A

telle que

H_n = _(+ \infty)lnn + A + o(1)

. En déduire que

H_n \sim lnn

.
I.

B

- Soit

r

un entier naturel.

Pour quelles valeurs de

r

, la série

\sum_(n ⩾ 1)(H_n)/((n + 1)^r)

est-elle convergente ?
Dans toute la suite on notera

S_r = \sum_(n = 1)^(+ \infty)(H_n)/((n + 1)^r)

lorsque la série converge.

I. $C$ -

I.C.1) Donner sans démonstration les développements en série entière des fonctions

t \mapsto ln(1 - t)

t \mapsto 1/(1 - t)

ainsi que leur rayon de convergence.
I.C.2) En déduire que la fonction

t \mapsto - (ln(1 - t))/(1 - t)

est développable en série entière sur

] - 1, 1[

et préciser son développement en série entière à l'aide des réels

H_n

I.D

- Pour tout couple d'entiers naturels (

p, q

) et pour tout

ε \in ]0, 1[

, on note

I_(p, q) = \int_0^1 t^p(lnt)^q dt et I_(p, q)^ε = \int_ε^1 t^p(lnt)^q dt

I.D.1) Montrer que l'intégrale

I_(p, q)

existe pour tout couple d'entiers naturels (

p, q

).
I.D.2) Montrer que,

\forallp \in ℕ, \forallq \in ℕ^*, \forallε \in ]0, 1[, I_(p, q)^ε = - q/(p + 1)I_(p, q - 1)^ε - (ε^(p + 1)(lnε)^q)/(p + 1)

.
I.D.3) En déduire que l'on a

\forallp \in ℕ, \forallq \in ℕ^*, I_(p, q) = - q/(p + 1)I_(p, q - 1)

.
I.D.4) En déduire une expression de

I_(p, q)

en fonction des entiers

p

q

.
I.

E

- Soit

r

un entier naturel non nul et

f

une fonction développable en série entière sur

] - 1, 1[

On suppose que pour tout

x

dans

] - 1, 1[, f(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n x^n

et que

\sum_(n ⩾ 0)(a_n)/((n + 1)^r)

converge absolument.
Montrer que

\int_0^1(lnt)^(r - 1)f(t)dt = (- 1)^(r - 1)(r - 1)!\sum_(n = 0)^(+ \infty)(a_n)/((n + 1)^r)

.
I.F -
I.F.1) Déduire des questions précédentes que pour tout entier

r ⩾ 2

S_r = \sum_(n = 1)^(+ \infty)(H_n)/((n + 1)^r) = ((- 1)^r)/((r - 1)!)\int_0^1(lnt)^(r - 1)(ln(1 - t))/(1 - t) dt

I.F.2) Établir que l'on a alors

S_r = ((- 1)^r)/(2(r - 2)!)\int_0^1((lnt)^(r - 2)(ln(1 - t))^2)/t dt

.
I.F.3) En déduire que

S_2 = 1/2\int_0^1((lnt)^2)/(1 - t) dt

puis trouver la valeur de

S_2

en fonction de

ζ(3)

II La fonction $β$

II.A - La fonction

Γ

II.A.1) Soit

x > 0

. Montrer que

t \mapsto t^(x - 1)e^(- t)

est intégrable sur

]0, + \infty[

Dans toute la suite, on notera

Γ

la fonction définie sur

ℝ^(+ *)parΓ(x) = \int_0^(+ \infty)t^(x - 1)e^(- t) dt

.
On admettra que

Γ

est de classe

C^\infty

sur son ensemble de définition, à valeurs strictement positives et qu'elle vérifie, pour tout réel

x > 0

, la relation

Γ(x + 1) = xΓ(x)

.
II.A.2) Soit

x

α

deux réels strictement positifs. Justifier l'existence de

\int_0^(+ \infty)t^(x - 1)e^(- αt) dt

et donner sa valeur en fonction de

Γ(x)

α^x

II.B - La fonction $β$ et son équation fonctionnelle

Pour

(x, y)

dans

(ℝ^(+ *))^2

, on définit

β(x, y) = \int_0^1 t^(x - 1)(1 - t)^(y - 1) dt

.
II.B.1) Justifier l'existence de

β(x, y)

pour

x > 0

y > 0

.
II.B.2) Montrer que pour tous réels

x > 0

y > 0, β(x, y) = β(y, x)

.
II.B.3) Soient

x > 0

y > 0

. Établir que

β(x + 1, y) = x/(x + y)β(x, y)

.
II.B.4) En déduire que pour

x > 0, y > 0, β(x + 1, y + 1) = (xy)/((x + y)(x + y + 1))β(x, y)

II.C - Relation entre la fonction $β$ et la fonction $Γ$

On veut montrer que pour

x > 0

y > 0, β(x, y) = (Γ(x)Γ(y))/(Γ(x + y))

relation qui sera notée

(R)

.
II.C.1) Expliquer pourquoi il suffit de montrer la relation (

R

) pour

x > 1

y > 1

Dans toute la suite de cette question on suppose

x > 1

y > 1

.
II.C.2) Montrer que

β(x, y) = \int_0^(+ \infty)(u^(x - 1))/((1 + u)^(x + y)) du

On pourra utiliser le changement de variable

t = u/(1 + u)

.
II.C.3) On note

F_(x, y)

la primitive sur

ℝ^+

t \mapsto e^(- t)t^(x + y - 1)

qui s'annule en 0 . Montrer que

\forallt \in ℝ^+, F_(x, y)(t) ⩽ Γ(x + y)

II.C.4) Soit

G(a) = \int_0^(+ \infty)(u^(x - 1))/((1 + u)^(x + y))F_(x, y)((1 + u)a)du

Montrer que

G

est définie et continue sur

ℝ^+

.
II.C.5) Montrer que

lim_(a \to + \infty)G(a) = Γ(x + y)β(x, y)

.
II.C.6) Montrer que

G

est de classe

C^1

sur tout segment

[c, d]

inclus dans

ℝ^(+ *)

, puis que

G

est de classe

C^1

sur

ℝ^(+ *)

.
II.C.7) Exprimer pour

a > 0, G^'(a)

en fonction de

Γ(x), e^(- a)

a^(y - 1)

II.C.8) Déduire de ce qui précède la relation

(R)

III La fonction digamma

On définit la fonction

ψ

(appelée fonction digamma) sur

ℝ^(+ *)

comme étant la dérivée de

x \mapsto ln(Γ(x))

.
Pour tout réel

x > 0, ψ(x) = (Γ^'(x))/(Γ(x))

.
III.

A

- Montrer que pour tout réel

x > 0, ψ(x + 1) - ψ(x) = 1/x

III.B - Sens de variation de $ψ$

III.B.1) À partir de la relation

(R)

, justifier que

(\partialβ)/(\partialy)

est définie sur

(ℝ^(+ *))^2

Établir que pour tous réels

x > 0

y > 0, (\partialβ)/(\partialy)(x, y) = β(x, y)(ψ(y) - ψ(x + y))

.
III.B.2) Soit

x > 0

fixé. Quel est le sens de variation sur

ℝ^(+ *)

de la fonction

y \mapsto β(x, y)

?
III.B.3) Montrer que la fonction

ψ

est croissante sur

ℝ^(+ *)

III.C - Une expression de $ψ$ comme somme d'une série de fonctions

III.C.1) Montrer que pour tout réel

x > - 1

et pour tout entier

n ⩾ 1

ψ(1 + x) - ψ(1) = ψ(n + x + 1) - ψ(n + 1) + \sum_(k = 1)^n(1/k - 1/(k + x))

III.C.2) Soit

n

un entier

⩾ 2

x

un réel

> - 1

. On pose

p = E(x) + 1

, où

E(x)

désigne la partie entière de

x

. Prouver que

0 ⩽ ψ(n + x + 1) - ψ(n) ⩽ H_(n + p) - H_(n - 1) ⩽ (p + 1)/n

III.C.3) En déduire que, pour tout réel

x > - 1

ψ(1 + x) = ψ(1) + \sum_(n = 1)^(+ \infty)(1/n - 1/(n + x))

III.D - Un développement en série entière

On note

g

la fonction définie sur

[ - 1, + \infty[

par

g(x) = \sum_(n = 2)^(+ \infty)(1/n - 1/(n + x))

III.D.1) Montrer que

g

est de classe

C^\infty

sur

[ - 1, + \infty[

Préciser notamment la valeur de

g^((k))(0)

en fonction de

ζ(k + 1)

pour tout entier

k ⩾ 1

.
III.D.2) Montrer que pour tout entier

n

et pour tout

x

dans

] - 1, 1[

|g(x) - \sum_(k = 0)^n(g^((k))(0))/(k!)x^k| ⩽ ζ(2)|x|^(n + 1)

Montrer que

g

est développable en série entière sur

] - 1, 1[

.
III.D.3) Prouver que pour tout

x

dans

] - 1, 1[

ψ(1 + x) = ψ(1) + \sum_(n = 1)^(+ \infty)(- 1)^(n + 1)ζ(n + 1)x^n

IV Une expression de $S_r$ en fonction de valeurs entières de $ζ$

Dans cette partie, on note

B

la fonction définie sur

ℝ^(+ *)

par

B(x) = (\partial^2 β)/(\partialy^2)(x, 1)

IV.A - Une relation entre $B$ et $ψ$

Justifier que

B

est définie sur

ℝ^(+ *)

.
À l'aide de la relation trouvée au III.B. 1 établir que pour tout réel

x > 0

xB(x) = (ψ(1 + x) - ψ(1))^2 + (ψ^'(1) - ψ^'(1 + x))

En déduire que

B

est

C^\infty

sur

ℝ^(+ *)

IV.B - Expression de $S_r$ à l'aide de la fonction $B$

IV.B.1) Montrer que pour tout réel

x > 0, B(x) = \int_0^1(ln(1 - t))^2 t^(x - 1) dt

.
IV.B.2) Donner sans justification une expression, à l'aide d'une intégrale, de

B^((p))(x)

, pour tout entier naturel

p

et tout réel

x > 0

.
IV.B.3) En déduire que pour tout entier

r ⩾ 2, S_r = ((- 1)^r)/(2(r - 2)!)lim_(x \to 0^+)B^((r - 2))(x)

.
IV.B.4) Retrouver alors la valeur de

S_2

déjà calculée au I.F.3.
IV.C - Soit

φ

la fonction définie

] - 1, + \infty[parφ(x) = (ψ(1 + x) - ψ(1))^2 + (ψ^'(1) - ψ^'(1 + x))

.
IV.C.1) Montrer que

φ

est

C^\infty

sur son ensemble de définition et donner pour tout entier naturel

n ⩾ 2

la valeur de

φ^((n))(0)

en fonction des dérivées successives de

ψ

au point 1 .
IV.C.2) Conclure que, pour tout entier

r ⩾ 3

2S_r = rζ(r + 1) - \sum_(k = 1)^(r - 2)ζ(k + 1)ζ(r - k)

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 Centrale MP 2015 ?

Le sujet porte sur l'intégrabilité, les théorèmes de permutation série-intégrale, la régularité des intégrales à paramètre, les séries de fonctions et les fonctions gamma, bêta, digamma et zêta.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur l'épreuve de mathématiques 2 Centrale MP 2015 ?

Le jury relève des hypothèses non vérifiées, notamment sur l'intégrabilité en 0 de la fonction gamma, des justifications inexistantes quand le résultat était donné dans l'énoncé, et des preuves insuffisamment structurées.

L'épreuve de mathématiques 2 Centrale MP 2015 est-elle difficile ?

Oui, plusieurs questions clés ne sont correctement traitées que par une minorité de candidats, et la partie IV, jugée beaucoup plus difficile, n'est abordée que par une minorité d'entre eux.

Le sujet de mathématiques 2 Centrale MP 2015 est-il sélectif ?

Le rapport indique que le sujet a permis un bon étalement des notes, avec un accent particulier mis sur la rédaction et la clarté des raisonnements.

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Ce qu'a observé le jury

Les erreurs les plus sanctionnées

Ce qui a été bien réussi

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Autour des sommes d'Euler

I Représentation intégrale de sommes de séries

I.A -

I. C -

II La fonction β

II.B - La fonction β et son équation fonctionnelle

II.C - Relation entre la fonction β et la fonction Γ

III La fonction digamma

III.B - Sens de variation de ψ

III.C - Une expression de ψ comme somme d'une série de fonctions

III.D - Un développement en série entière

IV Une expression de S_r en fonction de valeurs entières de ζ

IV.A - Une relation entre B et ψ

IV.B - Expression de S_r à l'aide de la fonction B

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 Centrale MP 2015 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur l'épreuve de mathématiques 2 Centrale MP 2015 ?

L'épreuve de mathématiques 2 Centrale MP 2015 est-elle difficile ?

Le sujet de mathématiques 2 Centrale MP 2015 est-il sélectif ?

Commentaires• Centrale Mathématiques 2 MP 2015

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I. $C$ -

II La fonction $β$

II.B - La fonction $β$ et son équation fonctionnelle

II.C - Relation entre la fonction $β$ et la fonction $Γ$

III.B - Sens de variation de $ψ$

III.C - Une expression de $ψ$ comme somme d'une série de fonctions

IV Une expression de $S_r$ en fonction de valeurs entières de $ζ$

IV.A - Une relation entre $B$ et $ψ$

IV.B - Expression de $S_r$ à l'aide de la fonction $B$