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Centrale Mathématiques 2 MP 2014Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Polynômes de Tchébychev et leurs applications
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Le problème porte sur l'étude et diverses utilisations des polynômes de Tchébychev. Il étudie successivement leur expression, leur relation de récurrence et leurs racines, le pgcd de deux d'entre eux, le théorème de Block et Thielmann sur les suites de polynômes commutant pour la composition, puis des conditions sur les puissances de matrices de GL2(Z).

  1. 1Partie I : polynômes de Tchébychev de première et seconde espècepremière annéeExpression, relation de récurrence, degré, coefficient dominant et racines des polynômes de Tchébychev.
  2. 2Partie II : pgcd de polynômes de Tchébychevpremière annéeÉtude du pgcd de deux polynômes de Tchébychev, de première ou de seconde espèce.
  3. 3Partie III : théorème de Block et Thielmannpremière annéeÉtude des suites de polynômes commutatives pour la composition, dont le degré de Pn vaut n, et démonstration que toutes les solutions s'obtiennent à partir des monômes ou des polynômes de Tchébychev par conjugaison.
  4. 4Partie IV : puissances de matrices de GL2(Z)première annéeConditions nécessaires et suffisantes pour qu'une matrice de GL2(Z) soit la puissance n-ième d'une matrice de GL2(Z).

Difficulté moyenne. Le rapport indique que le sujet a permis un bon étalement des notes et repose principalement sur le programme de première année, tout en signalant plusieurs questions délicates réservées aux meilleurs candidats.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Argument d'unicité souvent omis · Difficultés d'indexation des sommes · Condition nécessaire et suffisante confondue en partie IV
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Le problème, sur un thème classique reposant principalement sur le programme de première année, demande de la rigueur, notamment dans le typage des objets et la rédaction des nombreuses récurrences. Il a permis un bon étalement des notes, la notation ayant accordé une grande place à la qualité des raisonnements.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Argument d'unicité souvent omisI.A.3, II.A.1

    Dans les questions I.A.3 et II.A.1, un argument d'unicité était attendu (référence explicite ou fait qu'un polynôme est déterminé par sa restriction à un ensemble infini) mais a souvent été omis.

  2. 2
    Difficultés d'indexation des sommesI.A.2

    Un nombre non négligeable de candidats a des difficultés avec l'indexation des sommes, produisant des erreurs surprenantes comme poser j = 2k pour obtenir artificiellement le résultat souhaité.

  3. 3
    Condition nécessaire et suffisante confondue en partie IVIV.A

    Les correcteurs ont été surpris par la faible proportion de bonnes réponses à IV.A, les candidats confondant condition nécessaire et suffisante et pensant souvent, à tort, que le déterminant d'une matrice est égal à celui de son inverse.

  4. 4
    pgcd de polynômes de Tchébychev délicatII.B

    L'obtention du pgcd en partie II nécessitait un examen rigoureux des racines et du caractère simplement scindé des polynômes ; seuls les bons candidats sont venus à bout de cette question.

  5. 5
    Vérification incomplète de la structure de groupeIII.A.2

    Dans la question III.A.2, peu de candidats ont vérifié toutes les propriétés attendues : loi interne, neutre, inverse à gauche et à droite.

Ce qui a été bien réussi

  • Les résultats de la partie I, classiques, sont connus de nombreux candidats.
  • La question III.A.1 a été majoritairement bien traitée.
  • La question III.B.1 a été correctement abordée par une majorité de candidats.
  • Les candidats ont souvent trouvé les racines en I.A.4.

Conseils du jury

  • Faire figurer les calculs et démonstrations sur la copie : déclarer qu'un calcul évident ou une récurrence montrerait le résultat ne constitue pas une preuve.
  • Soigner la rédaction des récurrences, en particulier dès le début du problème où une récurrence soigneuse s'impose pour déterminer degré et coefficient dominant.
  • Vérifier systématiquement toutes les propriétés attendues d'une structure algébrique plutôt que de se limiter aux plus évidentes.
  • Présenter une copie lisible et soignée, le manque de soin étant systématiquement sanctionné par les correcteurs.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Mathématiques 2

Polynômes de Tchebychev et de Dickson, applications

I Définitions et propriétés usuelles

Les polynômes de Tchebychev de première espèce (T_n)_(n ∈ ℕ) sont définis par la relation
∀n ∈ ℕ, ∀θ ∈ ℝ, T_n(cosθ) = cos(nθ)
On ne demande pas de justifier l'existence et l'unicité de la famille de polynômes définie par cette relation.

I.A - Polynômes de première espèce

I.A.1) Déterminer T_0, T_1, T_2 et T_3.
I.A.2) En remarquant que pour tout réel θ, on a e^(inθ) = (e^(iθ))^n, montrer que
∀n ∈ ℕ, T_n = ∑_(0 ⩽ k ⩽ n/2)(n/(2k))(X^2 − 1)^k X^(n − 2k)
Écrire en langage Maple ou Mathematica une fonction T prenant en argument un entier naturel n et renvoyant l'expression développée du polynôme T_n.
I.A.3) Montrer que la suite (T_n)_(n ∈ ℕ) vérifie la relation de récurrence
∀n ∈ ℕ, T_(n + 2) = 2XT_(n + 1) − T_n
En déduire, pour tout entier naturel n, le degré et le coefficient dominant de T_n. Retrouver ce résultat avec l'expression de la question I.A.2.
I.A.4) Montrer que, pour tout entier naturel n, le polynôme T_n est scindé sur ℝ, à racines simples appartenant à ] − 1, 1[. Déterminer les racines de T_n.

I.B - Polynômes de deuxième espèce

On définit les polynômes (U_n)_(n ∈ ℕ) de Tchebychev de deuxième espèce par
∀n ∈ ℕ, U_n = 1/(n + 1)T_(n + 1)^′
I.B.1) Montrer que
∀n ∈ ℕ, ∀θ ∈ ℝ∖πℤ, U_n(cosθ) = (sin((n + 1)θ))/(sinθ)
I.B.2) En déduire les propriétés suivantes :
a) La suite (U_n)_(n ∈ ℕ) vérifie la même relation de récurrence (I.1) que la suite (T_n)_(n ∈ ℕ).
b) Pour tout entier naturel n, le polynôme U_n est scindé sur ℝ à racines simples appartenant à ] − 1, 1[. Déterminer les racines de U_n.

II Arithmétique des polynômes de Tchebychev

II.A - Division euclidienne

II.A.1) Montrer que
{T_m ⋅ T_n = 1/2(T_(n + m) + T_(n − m)), pour tous entiers 0 ⩽ m ⩽ n; T_m ⋅ U_(n − 1) = 1/2(U_(n + m − 1) + U_(n − m − 1)), pour tous entiers 0 ⩽ m < n
II.A.2) Pour m et n entiers naturels tels que m ⩽ n, on se propose de déterminer le quotient Q_(n, m) et le reste R_(n, m) de la division euclidienne de T_n par T_m.
a) On suppose m < n < 3m. Montrer que
Q_(n, m) = 2T_(n − m) et R_(n, m) = − T_(|n − 2m|)
b) Déterminer Q_(n, m) et R_(n, m) lorsque n est de la forme ( 2p + 1 )m avec p ∈ ℕ^∗.
c) On suppose que m > 0 et que n n'est pas le produit de m par un entier impair. Montrer qu'il existe un unique entier p ⩾ 1 tel que |n − 2pm| < m et que
Q_(n, m) = 2(T_(n − m) − T_(n − 3m) + ⋯ + (− 1)^(p − 1)T_(n − (2p − 1)m)) et R_(n, m) = (− 1)^p T_(|n − 2pm|)

II.B - Plus grand commun diviseur

Dans toute cette sous-partie II.B, on fixe deux entiers naturels m et n.
II.B.1) Soit h le pgcd dans ℕ de m + 1 et n + 1. En examinant les racines communes à U_n et U_m, montrer que U_(h − 1) est un pgcd dans ℝ[X] de U_n et U_m.
II.B.2) Soit g > 0 le pgcd de m et n. On pose m_1 = m/g et n_1 = n/g.
a) Montrer que si m_1 et n_1 sont impairs, alors T_g est un pgcd de T_n et T_m.
b) Montrer que si l'un des deux entiers m_1 ou n_1 est pair, alors T_n et T_m sont premiers entre eux.
c) Que peut-on dire des pgcd de T_n et T_m lorsque m et n sont impairs? Lorsque n et m sont deux puissances de 2 distinctes ?

III Un théorème

Dans cette partie, on munit l'ensemble ℂ[X] des polynômes complexes de la loi de composition interne associative donnée par la composition, notée o. Plus précisément, étant donné P, Q ∈ ℂ[X], si P = ∑_(k = 0)^(+ ∞)p_k X^k, la suite (p_k)_(k ∈ ℕ) étant nulle à partir d'un certain rang, on a
P ∘ Q = ∑_(k = 0)^(+ ∞)p_k Q^k
On dit que les polynômes P et Q commutent si P ∘ Q = Q ∘ P. On note C(P) l'ensemble des polynômes complexes qui commutent avec le polynôme P
C(P) = {Q ∈ ℂ[X], P ∘ Q = Q ∘ P}
On cherche dans cette partie les familles (F_n)_(n ∈ ℕ) de polynômes complexes vérifiant
∀n ∈ ℕ, degF_n = n et ∀(m, n) ∈ ℕ^2, F_n ∘ F_m = F_m ∘ F_n
Il est clair que la famille (X^n)_(n ∈ ℕ) convient.
On note G l'ensemble des polynômes complexes de degré 1 , et pour α ∈ ℂ, on pose P_α = X^2 + α.

III.A - Préliminaires

III.A.1) Montrer que la famille (T_n)_(n ∈ ℕ) vérifie la propriété (III.1). On pourra comparer T_n ∘ T_m et T_(mn).
III.A.2) Vérifier que G est un groupe pour la loi o.
L'inverse pour la loi o d'un élément U de G sera noté U^(− 1).

III.B - Commutant de X^2 et T_2

III.B.1) Soit α ∈ ℂ et soit Q un polynôme complexe non constant qui commute avec P_α. Montrer que Q est unitaire.
III.B.2) En déduire que, pour tout entier n ⩾ 1, il existe au plus un polynôme de degré n qui commute avec P_α. Déterminer C(X^2).
III.B.3) Soit P un polynôme complexe de degré 2 . Justifier l'existence et l'unicité de U ∈ G et α ∈ ℂ tels que U ∘ P ∘ U^(− 1) = P_α. Déterminer ces deux éléments lorsque P = T_2.
III.B.4) Justifier que C(T_2) = { − 1/2} ∪ {T_n, n ∈ ℕ}.

III. C -

III.C.1) Montrer que les seuls complexes α tels que C(P_α) contienne un polynôme de degré trois sont 0 et -2 .
III.C.2) En déduire le théorème de Block et Thielmann : si (F_n)_(n ∈ ℕ) vérifie (III.1), alors il existe U ∈ G tel que
∀n ∈ ℕ^∗, F_n = U^(− 1) ∘ X^n ∘ U ou ∀n ∈ ℕ^∗, F_n = U^(− 1) ∘ T_n ∘ U

IV Puissances dans GL_2(ℤ)

Dans toute cette partie, on note GL_2(ℤ) l'ensemble des éléments inversibles de l'anneau M_2(ℤ), muni de son addition et de sa multiplication usuelle.
IV.A - Justifier qu'un élément M de M_2(ℤ) appartient à GL_2(ℤ) si et seulement si |detM| = 1.
IV.B − On introduit les polynômes de Dickson de première et deuxième espèce, (D_n)_(n ∈ ℕ) et (E_n)_(n ∈ ℕ), définis sous la forme de fonctions polynomiales de deux variables par
D_0(x, a) = 2 D_1(x, a) = x E_0(x, a) = 1 E_1(x, a) = x
puis, pour tout entier n ∈ ℕ,
D_(n + 2)(x, a) = xD_(n + 1)(x, a) − aD_n(x, a) et E_(n + 2)(x, a) = xE_(n + 1)(x, a) − aE_n(x, a)
Justifier la relation suivante avec les polynômes de Tchebychev
∀(x, a) ∈ ℂ^2, D_n(2xa, a^2) = 2a^n T_n(x) et E_n(2xa, a^2) = a^n U_n(x)
ainsi que les deux relations suivantes, valables pour tout entier naturel n et tout (x, a) ∈ ℂ^∗ × ℂ
D_n(x + a/x, a) = x^n + (a^n)/(x^n) et (x − a/x)E_n(x + a/x, a) = (x^(n + 1) − (a^(n + 1))/(x^(n + 1)))
IV.C - Dans cette sous-partie, on cherche une condition nécessaire et suffisante pour qu'un élément A de GL_2(ℤ) soit une puissance n-ième dans GL_2(ℤ), c'est-à-dire pour qu'il existe une matrice B ∈ GL_2(ℤ) telle que A = B^n. Dans toute la suite, on notera
A = (a, b; c, d) τ = TrA δ = detA
IV.C.1) Soit B ∈ GL_2(ℤ). On note, dans cette question uniquement, σ = TrB et ν = detB. Montrer pour tout n ⩾ 2, l'égalité
B^n = E_(n − 1)(σ, ν) ⋅ B − νE_(n − 2)(σ, ν) ⋅ I_2
où I_2 est la matrice identité d'ordre 2.
Établir que Tr(B^n) = D_n(σ, ν).
IV.C.2) En déduire que si A est une puissance n-ième ( n ⩾ 2 ) dans GL_2(ℤ), alors il existe σ ∈ ℤ et ν ∈ { − 1, 1} tels que
i. E_(n − 1)(σ, ν) divise b, c et a − d. On justifiera brièvement que E_(n − 1)(σ, ν) est bien un entier.
ii. τ = D_n(σ, ν) et δ = ν^n.
IV.C.3) On va maintenant établir la réciproque.
Soit A un élément de GL_2(ℤ) pour lequel il existe σ ∈ ℤ et ν ∈ { − 1, 1} vérifiant les deux conditions précédentes i et ii. Pour simplifier, on note p = E_(n − 1)(σ, ν). On définit alors une matrice B = (r, s; t, u) avec
r = 1/2(σ + (a − d)/p) s = b/p t = c/p u = 1/2(σ − (a − d)/p)
a) En introduisant une racine complexe du polynôme X^2 − σX + ν et à l'aide de (IV.1), montrer que
τ^2 − 4δ = p^2(σ^2 − 4ν) puis ru − st = ν
En déduire que B appartient à GL_2(ℤ).
b) Montrer que A = B^n.
IV.C.4) Montrer que la matrice A = (7, 10; 5, 7) est un cube dans GL_2(ℤ) et déterminer une matrice B ∈ GL_2(ℤ) telle que B^3 = A.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte centrale maths 2 MP 2014 ?
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Sur quels chapitres porte centrale maths 2 MP 2014 ?

Le sujet porte sur les polynômes de Tchébychev : leurs racines et récurrences, leur pgcd, les suites de polynômes commutant pour la composition, et des applications au calcul matriciel dans GL2(Z).

Ce sujet centrale maths 2 MP 2014 relève-t-il du programme de première année ?

Oui, le rapport précise que le problème repose principalement sur le programme de première année.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur centrale maths 2 MP 2014 ?

Un argument d'unicité souvent omis, des difficultés d'indexation des sommes, et une confusion entre condition nécessaire et suffisante dans la partie sur les matrices de GL2(Z).

Ce sujet centrale maths 2 MP 2014 permet-il de bien classer les candidats ?

Le rapport indique que le sujet a permis un bon étalement des notes, la notation ayant accordé une grande place à la qualité des raisonnements.

Pas de description pour le moment