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E3A Mathématiques MP 2020Sujet, corrigé et rapport du jury

Cinq exercices indépendants

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Présentation du sujet

Difficile
Cinq exercices indépendants de mathématiques : probabilités, suites, algèbre bilinéaire et intégrales
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Le sujet est constitué de cinq exercices indépendants couvrant une bonne partie du programme des deux années de CPGE : lois géométriques et espérance en probabilités, produit infini avec la fonction ch, suites récurrentes linéaires et produit scalaire sur les polynômes, espaces euclidiens, puis suites de fonctions avec convergence dominée.

  1. 1Exercice 1Lois géométriques de deux variables aléatoires indépendantes, espérance et loi de la somme.
  2. 2Exercice 2Étude d'un produit infini faisant intervenir la fonction ch et de sa convergence.
  3. 3Exercice 3Racines d'une équation du second degré, suites récurrentes linéaires et produit scalaire sur les polynômes.
  4. 4Exercice 4Questions sur les espaces vectoriels euclidiens et un produit scalaire défini par une intégrale.
  5. 5Exercice 5Suite de fonctions et calcul d'une limite faisant intervenir un théorème de convergence.

Difficile. Le rapport relève un grand manque de rigueur dans la rédaction et note que des résultats élémentaires, comme la somme et le produit des racines d'une équation du second degré, sont méconnus de trop de candidats.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Probabilités peu abordées · Fonction ch mal connue · Somme et produit des racines méconnus
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Le jury regrette que les théorèmes classiques du programme soient souvent approximatifs ou mal compris, et que les copies soient souvent mal présentées, raturées et rédigées dans le désordre. Le sujet devait permettre aux candidats d'utiliser les résultats du cours, mais des résultats élémentaires ont été méconnus.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Probabilités peu abordées

    De nombreux candidats semblent avoir fait l'impasse sur l'exercice de probabilités, et la convergence d'une série géométrique est rarement bien justifiée.

  2. 2
    Fonction ch mal connue

    La fonction ch semble inconnue de beaucoup de candidats et sa propriété d'être supérieure à 1 est justifiée de façon souvent longue et fausse.

  3. 3
    Somme et produit des racines méconnus

    Le jury juge incompréhensible que la question de cours sur la somme et le produit des racines d'une équation du second degré soit aussi mal traitée.

  4. 4
    Produit scalaire polynomial incomplet

    Pour démontrer le caractère défini positif du produit scalaire sur les polynômes, les arguments indispensables ne sont pas tous avancés.

  5. 5
    Inversion limite-intégrale sans justification

    Peu d'étudiants pensent aux théorèmes standards du cours comme la convergence dominée et se contentent d'inverser limite et intégrale sans le justifier.

Ce qui a été bien réussi

  • L'exercice 5, curieusement, a été plutôt assez bien réussi.

Conseils du jury

  • Ne pas faire l'impasse sur les probabilités, présentes dans le programme des deux années.
  • Vérifier toutes les hypothèses d'un théorème avant de l'utiliser, notamment pour les critères de convergence.
  • Mener les calculs jusqu'à leur terme plutôt que de s'arrêter en cours de route.
  • Rédiger avec rigueur, sans se contenter d'affirmer un résultat sans démonstration complète.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

MATHÉMATIQUES

Jeudi 7 mai: 14h - 18h

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

  • Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
  • Ne pas utiliser de correcteur.
  • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites

Le sujet est composé de 5 exercices indépendants.

Exercice 1.

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans ℕ et telles que :
∀k ∈ ℕ, ℙ(X = k) = ℙ(Y = k) = pq^k
où p ∈ ]0, 1[ et q = 1 − p.
  1. Vérifier que l'on définit ainsi des lois de probabilité.
  2. Justifier que la variable aléatoire X possède une espérance et la calculer.
  3. Calculer ℙ(X = Y) et ℙ(X < Y).
  4. Déterminer la loi de la variable aléatoire S = X + Y.

Exercice 2.

Pour tout réel x et tout entier naturel n non nul, on pose : P_n(x) = ∏_(k = 1)^n ch(x/k), où ∀t ∈ ℝ, ch(t) = (e^t + e^(− t))/2.
  1. Montrer que pour tout x réel, la suite (P_n(x))_(n ∈ ℕ^∗) est croissante.
  2. Déterminer l'ensemble J des réels x pour lesquels la suite (P_n(x))_(n ∈ ℕ^∗) est convergente.
On pourra utiliser la suite (ln(P_n(x)))_(n ∈ ℕ^∗).
3. Soit x ∈ J. On note φ(x) la limite de la suite (P_n(x))_(n ∈ ℕ^∗).
3.1. Étudier la parité et la monotonie de la fonction φ sur J.
3.2. Démontrer que la fonction φ est continue sur J.
4.
4.1. Prouver que la fonction t ↦ 1/(ch(t)) est intégrable sur ℝ et calculer ∫_ℝ 1/(ch). On pourra utiliser un changement de variables.
4.2. En déduire l'intégrabilité de la fonction 1/φ.

Exercice 3.

Questions de cours

  1. On considère le trinôme du second degré à coefficients complexes aX^2 + bX + c dont on note s_1 et s_2 les racines.
    Donner sans démonstration les expressions de σ_1 = s_1 + s_2 et de σ_2 = s_1 s_2 à l'aide des coefficients a, b et c.
  2. Soient a et b deux réels et (u_n)_(n ∈ ℕ) une suite réelle définie par u_0 ∈ ℝ, u_1 ∈ ℝ et la relation de récurrence :
∀n ∈ ℕ, u_(n + 2) = au_(n + 1) + bu_n
On note r_1 et r_2 les racines dans ℂ de l'équation caractéristique associée à cette suite.
Soit n ∈ ℕ. Exprimer u_n en fonction de r_1, r_2 et n.
On sera amené à distinguer trois cas et il n'est pas demandé d'exprimer les constantes qui apparaissent en fonction de u_0 et de u_1.
On note 𝒞 l'ensemble des suites réelles x = (x_n)_(n ∈ ℤ) indexées par ℤ telles que les sous-suites (x_n)_(n ∈ ℕ) et (x_(− n))_(n ∈ ℕ) convergent.
On admettra que l'ensemble E des suites réelles indexées par ℤ est un ℝ-espace vectoriel.
L'endomorphisme identité de l'espace E sera noté id _E.
On définit les applications S et T de 𝒞 dans E par:
∀x ∈ 𝒞, S(x) = z, avec ∀n ∈ ℤ, z_n = x_(− n)
et
∀x ∈ 𝒞, T(x) = y, avec ∀n ∈ ℤ, y_n = x_(n − 1) + x_(n + 1)
  1. Donner un exemple de suite non constante, élément de 𝒞.
  2. Montrer que 𝒞 est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel E.
  3. Prouver que si une suite x est dans 𝒞, elle est bornée.
  4. Montrer que T est un endomorphisme de 𝒞. On admettra qu'il en est de même pour S.
  5. Soient F = {x ∈ 𝒞, ∀n ∈ ℤ, x_n = x_(− n)} et G = {x ∈ 𝒞, ∀n ∈ ℤ, x_n = − x_(− n)}. Montrer que F et G sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de 𝒞.
  6. Étude de l'endomorphisme S Prouver que S est une symétrie de 𝒞 dont on précisera les éléments caractéristiques.
  7. Étude de l'endomorphisme T
On rappelle qu'une suite x est dans 𝒞 lorsque les deux sous-suites (x_n)_(n ∈ ℕ) et (x_(− n))_(n ∈ ℕ) sont convergentes.
7.1. Soit λ un réel. Montrer que si λ ∉ { − 2, 2}, Ker(T − λid_𝒞) = {0_𝒞} où 0_𝒞 désigne le vecteur nul de 𝒞.
On pourra utiliser les questions de cours.
7.2. L'endomorphisme T est-il injectif?
7.3. Déterminer Ker(T − 2id_𝒞) et Ker(T + 2id_𝒞).
7.4. Déterminer alors l'ensemble de toutes les valeurs propres de l'endomorphisme T.
8. On munit 𝒞 de la norme infinie : si x ∈ 𝒞, ‖x‖_∞ = Sup_(n ∈ ℤ)|x_n|.
Soit N l'application qui à tout élément x de 𝒞, associe N(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)(|x_n| + |x_(− n)|)/(2^n).
8.1. Vérifier que pour tout x de 𝒞, N(x) existe.
8.2. Démontrer que l'on définit ainsi une norme sur l'espace 𝒞.
8.3. Montrer que S est une isométrie de l'espace vectoriel normé ( 𝒞, N ). Est-elle continue?
8.4. Prouver que dans cet espace normé, les sous-espaces vectoriels F et G sont des fermés.
8.5. Les deux normes ‖‖_∞ et N sont-elles équivalentes?

Exercice 4.

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 , on note E = ℝ_n[X] et on pose, pour tout couple (P, Q) ∈ E^2,
< P, Q>=∫_0^1 P(t)Q(t)dt
  1. Démontrer que l'on définit ainsi sur E un produit scalaire.
Dans la suite de cet exercice, E est l'espace euclidien ℝ_n[X] muni de ce produit scalaire.
2. Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension p. Donner sans démonstration la dimension de F^⊥.
3. On prend dans cette question n = 2.
Déterminer une base du sous-espace (ℝ_1[X])^⊥.
4. On revient au cas général : n ⩾ 2 et soit L ∈ (ℝ_(n − 1)[X])^⊥ non nul.
4.1. Déterminer le degré de L.
4.2. On pose, lorsque cela est possible, pour x réel : φ(x) = ∫_0^1 L(t)t^x dt.
4.2.1. Montrer que φ est une fonction rationnelle.
4.2.2. Déterminer les zéros et les pôles de φ. Donner pour chacun son ordre de multiplicité. On pourra examiner les degrés du dénominateur et du numérateur de la fonction rationnelle φ.
4.2.3. En déduire une expression de φ, à une constante multiplicative près, faisant apparaître le numérateur et le dénominateur sous forme factorisée.
4.3. En utilisant une décomposition en éléments simples de la fonction rationnelle φ, donner une base de (ℝ_(n − 1)[X])^⊥.

Exercice 5.

Soit (w_n)_(n ∈ ℕ^∗) une suite réelle convergente de limite ℓ.
Pour tout n ∈ ℕ^∗, on définit sur [0, 1] la fonction en escalier f_n par:
∀k ∈ [ [1, n] ], ∀t ∈ [(k − 1)/n, k/n], f_n(t) = w_k et f_n(1) = w_n.
  1. Déterminer ∫_0^1 f_n(t)dt.
  2. Prouver que l'on a pour tout t ∈ [0, 1[, f_n(t) = w_(⌊nt⌋ + 1) où ⌊x⌋ désigne la partie entière du réel x.
  3. En déduire pour tout t ∈ [0, 1], la valeur de lim_(n → + ∞)f_n(t).
  4. Prouver alors que l'on a : lim_(n → + ∞)1/n∑_(k = 1)^n w_k = ℓ.

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques E3A MP 2020 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques E3A MP 2020 ?

Les cinq exercices couvrent les probabilités discrètes, les séries et la fonction ch, les suites récurrentes linéaires, les espaces euclidiens et la convergence dominée.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet E3A maths MP 2020 ?

Le jury relève une méconnaissance de résultats élémentaires comme la somme et le produit des racines d'une équation du second degré, ainsi qu'un manque de rigueur dans la justification des théorèmes de convergence utilisés.

Ce sujet E3A maths MP est-il composé de plusieurs exercices indépendants ?

Oui, il est constitué de cinq exercices indépendants portant sur des parties variées du programme des deux années de CPGE.

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