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Réacteur à plasma : physique du plasma et asservissement de l'adaptation d'impédance
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Le problème étudie les réacteurs à plasma utilisés en microélectronique. Il commence par l'interaction entre champs électromagnétiques et gaz ionisé, puis les mécanismes d'émission ionique dans la gaine, avant de modéliser électriquement un réacteur capacitif. Les deux dernières parties portent sur l'automatique : l'optimisation du transfert de puissance par adaptation d'impédance asservie en phase, puis l'asservissement du système électromécanique qui déplace la capacité variable.

  1. 1Partie I : interaction champs-gaz ioniséÉtude de la pénétration d'un champ électromagnétique dans un plasma, sans collision puis avec collisions, et de la longueur caractéristique associée.
  2. 2Partie II : émission ioniqueÉtude du mouvement des ions dans la gaine séparant les électrodes, établissement de la relation courant-tension sans collision puis avec collisions.
  3. 3Partie III : modélisation d'un réacteurConstruction d'un circuit électrique équivalent (résistance, inductance, capacité) du réacteur capacitif à partir du mouvement des électrons dans le plasma.
  4. 4Partie IV : optimisation du transfert de puissanceÉtude de l'adaptation d'impédance du réacteur par une capacité variable, puis synthèse d'un correcteur proportionnel puis proportionnel-intégral pour asservir la phase.
  5. 5Partie V : asservissement du système électromécaniqueModélisation cinématique de la chaîne de motorisation (vis, bielle-manivelle) déplaçant la capacité variable, puis synthèse de correcteurs pour l'asservissement de position.

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COMPOSITION DE PHYSIQUE ET SCIENCES DE L'INGÉNIEUR

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

Réacteur à plasma

Plus de la moitié des opérations de fabrication des composants micro-électroniques, tels que les mémoires et les microprocesseurs, sont effectuées dans des « réacteurs plasmas ». L'objectif de ce problème est l'étude et l'analyse des propriétés physiques et des méthodes de contrôle des deux principaux types de « réacteurs plasmas » : les « réacteurs capacitifs » et les « réacteurs inductifs ≫. Dans ces deux types de réacteurs :
(i) des champs électromagnétiques alternatifs transfèrent de la puissance à un gaz ionisé et génèrent ainsi des ions et des électrons;
(ii) des champs électriques statiques extraient ces ions du gaz ionisé.
Les ions ainsi générés et extraits sont utilisés dans les procédés de dépôt et de gravure qui constituent les différentes étapes de fabrication des composants micro-électroniques.
La photographie ci-dessous (figure 1) présente un réacteur capacitif. La chambre cylindrique principale C , au centre de la photographie, est une enceinte à gaz ionisé. On peut distinguer deux bandes lumineuses claires, derrière le hublot, c'est le gaz ionisé ou plasma, P. Des mécanismes d'interaction champs-particules dans ce gaz ionisé sont étudiés dans les premières parties de cette composition. Au-dessus de cette chambre C, on distingue un boîtier vertical B, « la boîte d'accord ≫, qui est un système électromécanique asservi du transfert de puissance dans le gaz ionisé. Les dernières parties de cette épreuve sont consacrées à l'étude de ce système qui joue un rôle essentiel dans la qualité des dépôts obtenus ou des gravures effectuées.
À gauche de ce boîtier B, le cylindre vertical A est une jauge permettant de piloter l'alimentation en gaz. À l'arrière, on aperçoit ce système d'alimentation en gaz D et D^′; enfin, le système de pompage est raccordé à la chambre principale C par les canalisations S .
Fig. 1 : Réacteur à plasma de type capacitif.
L'amélioration constante des performances de ces réacteurs conditionne la croissance et la productivité des industries micro-électroniques et plus généralement de tout le secteur des nanotechnologies. En effet, la vitesse des procédés est proportionnelle à l'intensité du flux ionique extrait du gaz ionisé; les différents paramètres physiques et techniques conditionnant cette intensité doivent donc être identifiés et les conditions d'optimisation du flux ionique clairement formulées.
La mise au point de ce type d'appareil est donc extrêmement complexe et les problèmes qui doivent être résolus sont de nature scientifique et technique. Dans la première partie de ce problème nous étudierons l'interaction champs-gaz ionisé dans le cas d'un réacteur inductif. Dans la deuxième partie nous étudierons les mécanismes d'émission ionique d'un gaz ionisé. Dans la troisième partie nous construirons une modélisation électrique d'un réacteur capacitif. La quatrième partie est consacrée à l'analyse de l'optimisation du transfert de puissance entre un générateur et un réacteur capacitif. Enfin, la cinquième partie est centrée sur l'étude du système électromécanique asservi.
La dynamique des champs sera traitée dans le cadre de l'approximation quasi-stationnaire et l'on se placera dans le cadre de la mécanique newtonienne pour l'étude de la dynamique des électrons et des ions.
La charge des ions considérés sera prise égale à la charge élémentaire e, celle des électrons étant − e. Les masses des électrons et des ions seront notées respectivement m et M.
On utilise une base orthonormée directe ( e⃗_x, e⃗_y, e⃗_z ), un point étant repéré par ses coordonnées cartésiennes (x, y, z).
Équations de Maxwell :
divE⃗ = ρ/(ε_0), divB⃗ = 0; rotE⃗ = − (∂B⃗)/(∂t), rotB⃗ = μ_0 j⃗ + ε_0 μ_0(∂E⃗)/(∂t)
Données numériques :
permittivité du vide, ε_0 = 8, 85 × 10^(− 12) F.m^(− 1); perméabilité du vide, μ_0 = 4π × 10^(− 7)H.m^(− 1); masse de l'électron, m = 9, 1 × 10^(− 31) kg; unité de masse atomique, u = 1, 66 × 10^(− 27) kg; charge élémentaire, e = 1, 6 × 10^(− 19)C.

Partie I

Interaction champs - gaz ionisé

1.1 Une plaque métallique conductrice de grandes dimensions, parallèle à yOz, est parcourue par un courant surfacique de densité donnée par J⃗_S = J_0(t)e⃗_y.
1 - Montrer, par des considérations de symétrie correctement explicitées, que ce courant engendre en tout point un champ magnétique aligné selon e⃗_z.
2 - Montrer de plus qu'il est uniforme, à des distances faibles devant les dimensions de la plaque.
1.2 Un gaz ionisé occupe le demi-espace x ⩾ 0 (figure 2 ). Les effets de bords le long des directions y et z seront négligés. Ce gaz ionisé, composé d'ions et d'électrons, est globalement neutre. La densité électronique n est uniforme. Les ions, compte tenu de leur inertie, restent immobiles.
Fig. 2
Dans le demi-espace vide x ⩽ 0, entre plaque et plasma, on suppose le champ magnétique uniforme, de la forme :
B⃗(t) = B_0(t)e⃗_z si x ⩽ 0
Dans le demi-espace occupé par le plasma ( x ⩾ 0 ) règne un champ :
B⃗(x, t) = B(x, t)e⃗_z si x ⩾ 0.
Ce champ magnétique variable engendre un champ électrique que l'on supposera dirigé le long de Oy : E⃗(x, t) = E(x, t)e⃗_y et qui accélère les électrons, dont on désigne par v⃗(x, t) la vitesse.
3 - Écrire les trois équations reliant dans le plasma B(x, t), E(x, t) et v⃗(x, t).
4 - Écrire les conditions aux limites vérifiées par le champ électromagnétique à l'interface plasmavide.
5 - La force d'origine magnétique sur les électrons est négligée. Éliminer alors B(x, t), et v⃗(x, t) des trois équations établies à la question 3 et montrer que E(x, t) est solution de :
(∂^2 E(x, t))/(∂x^2) = 1/(λ^2)E(x, t)
où λ est une longueur que l'on exprimera en fonction de c et de la fréquence de plasma ω_p :
ω_p = √((ne^2)/(mε_0))
6 - Exprimer E(x, t), B(x, t), v⃗(x, t) en tout point du demi-espace x ⩾ 0 à chaque instant t, en fonction de B_0(t).
7 - Application numérique : Évaluer la longueur caractéristique des variations spatiales des champs dans le demi-espace x ⩾ 0 dans le cas d'un réacteur inductif où la densité électronique est de 10^(17) m^(− 3).
1.3 À plus haute pression, les collisions modifient la réponse électronique. La « relation constitutive du milieu ≫ devient alors la loi d'Ohm : j⃗ = σE⃗, où σ est la conductivité du gaz ionisé. Comme précédemment, on suppose pour x ⩽ 0, entre plaque et plasma, le champ magnétique uniforme donné par : B⃗(t) = B_0(t)e⃗_z.
8 - Établir dans ce régime collisionnel le système de trois équations régissant les dépendances spatio-temporelles des champs et du courant dans le demi-espace x ⩾ 0.
9 - En déduire l'équation aux dérivées partielles vérifiée par B(x, t). Comment appelle-t-on ce type d'équation? Quelle est la dimension du coefficient 1/μ_0 σ ?
10 - On suppose B_0(t) sinusoïdal, soit B_0(t) = B_0 exp(jωt) en notation complexe. On recherche une solution de l'équation établie à la question 9 sous la forme B(x, t) = B(x)exp(jωt). Établir l'équation différentielle vérifiée par B(x).
11 - Résoudre cette équation et exprimer B(x, t) à chaque instant et en tout point du demiespace x ⩾ 0.
12 - Quelle est la longueur caractéristique des variations spatiales des champs dans ce régime collisionnel?
13 - La conductivité σ est reliée au temps moyen entre collisions τ par σ = ne^2 τ/m. Exprimer le rapport entre les deux longueurs caractéristiques des questions 5 et 12 en fonction (1/τω)^(1/2). Établir un critère permettant de décider de la pertinence du modèle sans collision ou du modèle collisionnel en fonction de la fréquence du champ et des caractéristiques du gaz ionisé.
14 - Application numérique : τ est de l'ordre de 10^(− 7) s dans les réacteurs industriels haute pression. La densité n est de l'ordre de n = 10^(17) m^(− 3). La pulsation des champs est notée ω, avec ω/2π = 13, 5MHz. Quelle est la valeur de la longueur de pénétration collisionnelle des champs?

Partie II

Émission ionique

2.1 Dans cette seconde partie, les champs électriques sont statiques. On considère un gaz ionisé, globalement neutre, constitué d'ions et d'électrons en nombres égaux. Pour les réacteurs utilisés dans les industries de microélectronique, le processus d'émission ionique entretenu est dominant. Dans ces réacteurs, les électrodes sont polarisées de manière à extraire un flux d'ions du gaz ionisé qui est ensuite accéléré dans une zone appelée gaine. La physique de cette zone est extrêmement complexe. Nous admettrons que la gaine ne contient que des ions qui s'écoulent entre une anode plane infinie située en x = 0, et une cathode plane infinie située en x = D (figure 3).
Fig. 3
Cet écoulement ionique est uni-dimensionnel et stationnaire le long de x. Les ions sont décrits par leur densité n(x) et leur vitesse v(x)e⃗_x. Soit φ(x) le potentiel électrostatique au point x. Les conditions aux limites de ce problème uni-dimensionnel sont, avec U positif :
φ(0) = 0 φ(D) = − U < 0, v(0) = 0, E(0) = 0
où E est le champ électrique.
Le courant ionique J = Je⃗_x, avec J = en(x)v(x), est constant et considéré comme une donnée du problème. Le but de l'étude est d'établir la caractéristique courant-tension U(J, D) en fonction de l'épaisseur de la gaine D.
15 - Exprimer la vitesse d'un ion v(x) en fonction du potentiel électrostatique φ(x). En déduire la relation entre n(x) et φ(x).
16 - Établir l'équation différentielle du deuxième ordre vérifiée par φ(x).
17 - En déduire la relation entre φ^′ = dφ/dx et φ. On prendra en compte les conditions aux limites et le fait que le potentiel est négatif et fonction décroissante de x.
18 - Montrer que le potentiel φ(x) est donné par φ(x) = βx^(4/3) où β est un coefficient que l'on exprimera en fonction de J, e, M et ε_0.
19 - En déduire la relation courant-tension dans la gaine en exprimant la différence de potentiel U en fonction du courant ionique J et des paramètres du problème.
20 - Application numérique : Une valeur typique de la densité de flux de particules est J/e ≃ 10^(18) m^(− 2) s^(− 1) pour U = 50 V. Quelle est la valeur de D, l'épaisseur typique de ces gaines ioniques dans le cas d'ions ^(12)C^+?
2.2 Le modèle précédent de gaine ionique est pertinent dans les réacteurs dits basse pression. Mais, pour les procédés de dépôts, il est nécessaire de travailler à plus haute pression et les collisions ioniques deviennent un phénomène dominant. La relation entre la vitesse des ions et le potentiel électrostatique, établie à la question 15, doit être remplacée par :
v(x) = (eτ)/ME_x = − (eτ)/M(dφ)/(dx)
où τ est le temps moyen entre collisions des ions. On considère donc le modèle précédent de gaine ainsi que des conditions aux limites semblables; seule la relation entre vitesse et potentiel électrostatique est modifiée dans ce régime haute pression.
21 - Établir l'équation différentielle vérifiée par φ(x).
22 - Exprimer φ(x) en fonction de x.
23 - En déduire la nouvelle caractéristique courant-tension dans la gaine.
24 - Application numérique : Pour une densité de flux de 10^(18) m^(− 2) s^(− 1), sachant que τ = 10^(− 10) s et U = 50 V, quelle est la valeur typique de D dans le cas d'ions ^(12)C^+?
25 - Établir un critère permettant de décider de la pertinence du modèle sans collision ou du modèle collisionnel selon les caractéristiques du flux ionique.

Partie III

Modélisation d'un réacteur

Afin de réaliser des réacteurs capacitifs fiables, il est nécessaire d'optimiser le transfert de puissance du générateur radiofréquence ( 13, 5MHz ) qui permet de polariser les électrodes, vers le réacteur composé de ces deux électrodes planes situées de part et d'autre de la tranche de gaz ionisé (figure 4). Il est donc utile de modéliser le réacteur électriquement et de calculer son impédance équivalente.
Fig. 4
26 - On considère un système de deux électrodes planes parallèles de longueur a de largeur b séparées par une distance d. L'espace inter-électrodes est vide. Si l'on néglige les effets de bord, quelle est la capacité C_p de ce système?
On considère un milieu conducteur constitué d'un gaz ionisé présentant la géométrie d'un parallélépipède rectangle de hauteur p, de longueur a et de largeur b. Une tension V(t) est appliquée entre les faces haute et basse, créant un champ électrique uniforme E⃗ = E(t)e⃗_y.
27 - On considère un électron soumis à ce champ. Les collisions introduisent pour sa vitesse v un amortissement de constante de temps τ, se traduisant dans l'expression de l'équation de son mouvement par une force moyenne − mv/τ. Écrire cette équation.
28 - Soit n la densité électronique supposée uniforme. Exprimer la densité de courant J(t)e⃗_y associée au mouvement électronique à l'aide de n et v.
29 - Soit I_p(t) le courant électronique total s'écoulant selon Oy. Obtenir la relation entre I_p(t), dI_p/dt et V(t).
30 - En déduire que la tranche de gaz ionisé est caractérisée par une résistance électrique R_p et une inductance L_p en série, que l'on exprimera en fonction de n, e, m, τ et des données géométriques de la tranche.
La résistance et l'inductance qui viennent d'être calculées permettent de construire un circuit série équivalent du réacteur capacitif (figure 4). En revanche, la capacité calculée précédemment doit être modifiée car les champs sont essentiellement concentrés à l'extérieur de la tranche de gaz ionisé. Dans la suite, on utilisera la valeur d − p au lieu de d dans la formule (question 26) donnant C_p.
31 - Pour une pulsation ω, quelle est l'impédance complexe Z du circuit équivalent représenté sur la figure 4 ?
32 - Dans la suite du problème, on considère le régime de fonctionnement haute pression du réacteur tel que ω≪1/τ. Est-il alors justifié de négliger l'impédance inductive du réacteur devant son impédance résistive? Pourquoi?
33 - Application numérique : a = 0, 3 m, b = 0, 2 m, d = 0, 04 m, p = 0, 038 m, n = 10^(16) m^(− 3) et τ = 10^(− 10) s. Évaluer C_p et R_p.

Partie IV

Optimisation du transfert de puissance

4.1 Adaptation

Un dipôle électrocinétique linéaire passif est, en régime sinusoïdal permanent, caractérisé par son impédance complexe Z = R + jX.
34 - À quels aspects énergétiques, transfert et/ou stockage, correspondent respectivement R et X lorsque ce dipôle est alimenté par un générateur de tension sinusoïdale.
Le réacteur à plasma est modélisé par un circuit série R_p − C_p. D'une part pour des raisons de rendement énergétique, mais surtout pour une stabilisation du régime de fonctionnement du réacteur à plasma, il est très important que la partie réactive de l'impédance « vue » par le générateur qui alimente le système soit la plus faible possible.
La capacité C_p du réacteur dépend de ses conditions de fonctionnement et est susceptible de varier au cours du processus. On procède à sa «compensation » en deux étapes. On ajoute une inductance L en série, pour s'assurer que cette branche du circuit soit inductive à la fréquence de travail ( 13, 5MHz ) et pour toute la plage de variation de C_p; puis on « accorde » l'ensemble avec une capacité réglable C en parallèle (figure 5 ). Soit Z = R + jX l'impédance de l'ensemble.
Fig. 5
35 - Exprimer Z^(− 1) en fonction de L, C_p, R_p, C et ω; déterminer la valeur C_(ad) de C qui annule la partie réactive X de l'impédance Z.
Cette condition étant réalisée, donner l'expression de Z, notée alors R_0.
36 - Application numérique. On donne ν = ω/2π = 13, 5 × 10^6 Hz, C_p = 300pF, R_p = 30Ω, L = 1μH. Calculer C_(ad) et R_0.
Au cours du temps, R_p et C_p varient en raison des dérives thermiques et de la modification de l'épaisseur des gaines ioniques. À cela s'ajoutent des fluctuations plus rapides dues à des instabilités du plasma. Un fonctionnement satisfaisant du réacteur nécessite donc un dispositif assurant que la condition C = C_(ad) demeure vérifiée pendant toute la durée du processus de dépôt ou de gravure.
37 - On note δC = C − C_(ad) l'écart de la capacité C à la valeur d'adaptation. Exprimer Z^(− 1) en fonction de R_0, δC et ω. Quelle est la contrainte sur |δC| pour que la partie réactive X de l'impédance Z reste inférieure à 1% de sa partie résistive R_0 ?
Le dispositif à capacité variable est obtenu en considérant la translation d'une plaque isolante S en PCV d'épaisseur égale à la distance inter-armatures d'un condensateur plan. Les armatures de ce condensateur restent fixes et parallèles à la plaque S (Figure 6). La plaque S glisse sans frottement dans l'espace inter-armatures. On obtient ainsi une capacité variable qui peut être ajustée à la valeur C_(ad) par translation de S. Un condensateur plan, dont on néglige les effets de bord, a pour capacité C_0 lorsque l'espace inter-armatures est vide, et pour capacité C_ε lorsque l'espace inter-armatures est rempli d'un diélectrique, ces deux valeurs étant reliées par C_ε = ε_r C_0, où ε_r est la constante diélectrique (permittivité relative).
Si un condensateur est partiellement rempli avec un diélectrique, sa capacité peut être considérée comme la somme d'une capacité à vide, pour la partie vide, et d'une capacité en présence d'un diélectrique, pour la partie pleine de diélectrique.
Fig. 6 : Contrôle de l'adaptation.
Un modèle fonctionnel de l'asservissement de la capacité qui assure l'adaptation de l'impédance est donné par le schéma de la figure 7
Fig. 7 : Schéma fonctionnel du système d'adaptation de l'impédance.
Fig. 8 : Dispositif de variation de la capacité C.

4.2 Modélisation

Nomenclature

Notation Désignation
x_c consigne de position de l'extrémité de la plaque
L_c longueur de l'armature
x_e abscisse de l'extrémité de la plaque à l'équilibre
l_c largeur des armatures
x_r abscisse réelle de l'extrémité de la plaque
δ distance entre les armatures du condensateur
C_r valeur de la variation réelle de la capacité
C_c consigne de variation de la capacité
φ déphasage réel
φ_c consigne du déphasage, φ_c = 0
V_φ tension en sortie du capteur de phase
V_(φc) tension de consigne
ε_φ erreur : V_(φc) − V_φ

Modèles retenus

Dans cette partie, on modélise les différents composants du système qui permettent de réaliser l'adaptation de l'impédance.
38 - Établir la relation donnant la capacité C en fonction de x, longueur de l'armature sans plaque diélectrique, de l_c, L_c, δ, ε_0 et ε_r constante diélectrique de la plaque; l'air étant assimilé au vide (figure 8).
39 - Application numérique : ε_r = 5, δ = 1 mm, l_c = 6 cm, L_c = 12 cm. Calculer la distance x = x_e qui assure la valeur d'adaptation C = C_(ad) = 200pF.
On s'intéresse maintenant aux petites variations autour de ce point d'équilibre et on pose :
C = C_(ad) + C~, x = x_e + x~, etc.
On note les transformées de Laplace : C_r(p) = L[C~], X_r(p) = L[x~_r], X_c(p) = L[x~_c], C_c = L[C~_c] etc.
On souhaite déterminer les fonctions de transfert de chacun des composants du système, linéarisé autour du point d'équilibre. Les fluctuations de la résistance du réacteur y sont modélisées par un déphasage perturbateur.
Fig. 9 : Modélisation linéarisée du système d'adaptation de l'impédance.
40 - Exprimer la relation entre les variations C~ et x~. En déduire la fonction de transfert G_1(p) = (X_c(p))/(C_c(p)) et la fonction de transfert G_2(p) = (C_r(p))/(X_r(p)). Préciser l'influence de ces deux fonctions de transfert sur la stabilité et les performances du système.
La fonction de transfert H(p) = (X_r(p))/(X_c(p)) qui modélise l'asservissement de la position de la plaque sera étudiée dans la partie V. Elle peut être assimilée à une fonction de transfert du second ordre avec les caractéristiques suivantes : gain statique unitaire, dépassement de 25% et temps de montée de 20 ms .
41 - Pour un système du second ordre (ω_0^2)/(p^2 + 2ξω_0 p + ω_0^2), la relation entre le premier dépassement D et le coefficient d'amortissement ξ est :
D = e^((− πξ)/(√(1 − ξ^2)))
Le temps de montée est défini en fonction de la pulsation propre ω_0 et de ξ par :
t_m = π/(ω_0√(1 − ξ^2))
Exprimer la fonction de transfert H(p) en explicitant les valeurs numériques des coefficients.
On se propose maintenant de déterminer la fonction de transfert reliant la phase de l'impédance Z à la valeur de C~.
42 - Exprimer la variation φ~ de la phase en fonction de R_0, C~ et ω. Comparer cette expression au résultat donné par le graphe de la figure 10. Déduire de ce graphe la valeur numérique de H_c(p).
Fig. 10 : Variation de la phase pour une variation de capacité.
La phase peut être mesurée par un «comparateur de phase », qui mesure le déphasage entre le courant I et la tension U. Le conditionneur délivre une tension de 10 V pour une phase de πrad.
43 - En déduire la valeur numérique du gain de ce capteur.

4.3 Asservissement de la phase

4.3.1 Spécifications

On souhaite asservir la phase à 0 rad et donc la tension V_φ à 0 V avec les caractéristiques précisées dans le tableau suivant.
Critères Niveaux
Stabilité
Marge de gain M_G = 8 dB;
Marge de phase M_φ = 25^∘
Précision Erreur sur le déphasage inférieure à 0, 03rad
Régulation Insensibilité en régime permanent aux perturbations
Rapidité Bande passante à 0 dB de 250rad/s

4.3.2 Correction avec un correcteur proportionnel

Le correcteur est choisi de la forme :
C_1(p) = K_(Corr)
44 - Exprimer la fonction de transfert en boucle ouverte G_(BO)(p) = (V_φ(p))/(ε_φ(p)) avec C_1(p) = 1.
45 - Tracer les graphes asymptotiques de Bode pour la fonction de transfert G_(BO)(p).
46 - Déterminer la valeur du gain K_(Corr) = K_0 qui permet de respecter les marges de stabilité du cahier des charges.
47 - Exprimer l'erreur en régime permanent de la sortie à une perturbation en échelon unitaire φ_b(t) = Γ(t), où Γ(t) est l'échelon d'Heaviside. Quelle est la valeur maximale de l'amplitude de la perturbation que peut tolérer le système asservi, conformément au cahier des charges? Conclure quant à la pertinence d'une correction proportionnelle.

4.3.3 Correction avec un correcteur Proportionnel-Intégral

On considère que le correcteur est de la forme :
C_2(p) = K_1(1 + T_1 p)/(T_1 p)
48 - Justifier le choix de ce type de correcteur par rapport à un correcteur de type proportionnel.
49 - Déterminer la valeur de T_1 pour imposer une marge de phase minimale de 25^∘ à la pulsation ω_c = 250rad/s. Choisir judicieusement le gain du correcteur.
50 - Pour cette valeur de T_1, calculer la valeur à conférer au gain K_1 pour imposer une pulsation de coupure de ω_c = 250rad/s.
51 - Pour ces réglages du correcteur, donner les tracés asymptotiques de Bode du système corrigé en boucle ouverte. Le cahier des charges est-il respecté? Conclure.

Partie V

Asservissement du système électromécanique

Dans cette partie, on se propose d'analyser le système qui réalise le déplacement de la plaque isolante, modélisé par la fonction de transfert H(p) (figure 9).

5.1 Description du système asservissant la position de la plaque

Le déplacement de la plaque isolante est assuré par un système asservi dont un modèle de la chaîne de motorisation est donné par la figure 11 : une vis sans fin est solidaire de l'arbre d'un moteur électrique. Cette vis transmet le mouvement à une roue qui est associée à un système « bielle-manivelle », lequel permet de transformer le mouvement de rotation en un mouvement de translation.
Fig. 11 : Schéma cinématique de la chaîne de motorisation.
Au bâti (0) est associé le repère R(O_0, x⃗, y⃗, z⃗).
La liaison entre ( 0 ) et la vis ( 1 ) est modélisée par une liaison pivot d'axe ( 0_0, x⃗ ). On associe à (1) un repère R_1(O_1, x⃗, y_1^(→−), z_1^(→−)) et on pose θ = (y⃗, y_1^(→−)).
On note I le point de contact entre la vis sans fin (1) et la roue.
La liaison entre ( 0 ) et la manivelle ( 2 ) est modélisée par un pivot d'axe ( A, z⃗ ). On associe à (2) un repère R_2(A, x_2^(→−), y_2^(→−), z^′→) et on pose α = (x⃗, x_2^(→−)).
La liaison entre (2) et la bielle (3) est modélisée par un pivot d'axe ( B, z⃗ ). On associe à (3) un repère R_3(A, x_3^(→−), y_3^(→−), z^′→) et on pose β = (x⃗, x_3^(→−)).
La liaison entre (3) et (4) est modélisée par un pivot d'axe ( C, z⃗ ), tel que le point C se déplace dans la direction x⃗.
On donne :
O_1 I = r, AI = R, AB = a, BC = b, O_0 A^(→−) = x_A x⃗ + y_A y⃗ et O_0 C^(→−) = cx⃗ + (y_A − h)y⃗.
Le pas de la vis sans fin (1) est noté p_v.
Fig. 12 : Schéma fonctionnel du système asservi assurant le déplacement de la plaque.
On se propose d'analyser le fonctionnement de la chaîne de motorisation adoptée, ainsi que la loi de commande utilisée.
Le réglage initial de la position de la plaque est effectué en imposant une valeur de h. Les petites variations de la plaque autour de ce point d'équilibre sont réalisées à l'aide du système bielle/manivelle décrit ci-dessus. Dans ce qui suit, on suppose que la distance h est constante ( h˙ = 0 ) et on se limite à l'étude des petites variations autour d'un point d'équilibre de position x_e.

5.2 Modèles retenus

5.2.1 Nomenclature

Notation Désignation Valeur numérique
x_c consigne de position de la plaque isolante
x_e position d'équilibre de la plaque isolante
x~_r déplacement réel de la plaque (par rapport à x_e )
x~_c consigne de déplacement de la plaque isolante
u_m tension mesurée
u_c tension de consigne
u_M tension de commande du moteur
ω_1 = θ˙ vitesse de rotation de l'arbre moteur
v vitesse de translation de la plaque
K_L Gain du capteur de position 0, 3 V/mm
p_v pas de la vis
avec ces notations : x_c = x_e + x~_c.
Le comportement du système étudié peut être linéarisé autour d'un point de fonctionnement et son schéma fonctionnel se met sous la forme illustrée par la figure 13.
Fig. 13 : Modélisation linéarisée de l'asservissement de déplacement.

5.2.2 Spécifications

L'asservissement de la position de la plaque doit respecter les caractéristiques décrites dans le tableau ci-dessous.
Critères Niveaux
Stabilité
Marge de gain M_G = 12 dB
Marge de phase M_φ = 45^∘
Précision Erreur statique inférieure à 1% pour une entrée en échelon
Rapidité
Pulsation de coupure à 0 dB de 160rad/s
Premier dépassement inférieur à 25%
On se propose de modéliser les différents composants du système d'asservissement de la position de la plaque isolante.

5.2.3 Modélisation du Moteur

Fig. 14 : Réponse indicielle du moteur électrique.
L'entraînement est assuré par un moteur à courant continu commandé en tension. Le relevé de la réponse indicielle du moteur pour un échelon en tension d'amplitude de 10 V est donné par la figure 14.
52 - À partir de cette réponse indicielle, proposer un modèle analytique pour la fonction de transfert H_M(p) = (Ω_1(p))/(U_M(p)). Identifier les paramètres de ce modèle.

5.2.4 Modélisation de la chaîne de transmission mécanique

53 - L'orientation du filet de la vis est telle qu'un sens positif de θ correspond à un sens négatif de α. Exprimer l'amplitude de rotation de la roue (2) pour une rotation d'un tour de la vis (1). En déduire la relation entre la vitesse de rotation θ de la vis et celle α˙ de la roue.
54 - Exprimer les vitesses V⃗(B, 2/R_0) et V⃗(C, 4/R_0) en fonction de a, b, α˙ et β˙.
55 - Donner la relation géométrique entre les angles α et β en fonction de a, b et h.
56 - En utilisant cette relation, exprimer c˙ en fonction de α˙, α, β et a.
On suppose que la vis (1) tourne d'un petit angle δθ autour d'un point d'équilibre défini par l'angle θ_e. On note α_e et β_e les valeurs à l'équilibre de α et β dans ce cas.
57 - En déduire δc, le petit déplacement du point C suivant l'axe x⃗ en fonction de R, p_v, a, b, α_e, h et δθ.
58 - Pour optimiser le gain mécanique, on choisit comme point d'équilibre la situation α_e = 90^∘.
Calculer le pas de la vis qui permet d'obtenir (δc)/(δθ) = N_r = 0, 35 mm/rad pour une valeur de a = R/2.

5.2.5 Modélisation du capteur de position

Le capteur de position est un capteur LVDT (Linear Variable Differential Transformer), modélisé par un gain : (U_m(p))/(X_r(p)) = K_L.

5.3 Synthèse de la correction

On donne N_r = 0, 35 mm/rad.

5.3.1 Correction avec un correcteur proportionnel C(p) = K_p

59 - Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte H_(BO)(p) = (U_m(p))/(ε(p)).
60 - Donner les tracés asymptotiques de Bode du module et de la phase de H_(BO)(p).
61 - Déterminer la valeur à conférer au gain K_p = K_2 du correcteur pour imposer une pulsation de coupure à 0 dB de 160rad/s.
62 - Montrer que la fonction de transfert en boucle fermée H_(BF)(p) = (X_r(p))/(X_c(p)) est une fonction du second ordre.
63 - Calculer le coefficient d'amortissement de H_(BF)(p) et en déduire la valeur du premier dépassement (on pourra utiliser les relations données à la question 41). Conclure.

5.3.2 Correction avec un correcteur par avance de phase

La figure 15 donne les tracés asymptotiques et réels de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte H_(BO)(p) avec un correcteur C_(AP)(p).
Fig. 15 : Tracés fréquentiels du module et de la phase : réel (en pointillé) et asymptotique (en trait continu).
64 - Préciser l'intérêt de ce type de correcteur par rapport à un correcteur de type proportionnel.
65 - À partir des tracés asymptotiques, proposer un modèle pour la fonction de transfert de C_(AP)(p) et en identifier les paramètres.
66 - Proposer une modification du modèle du correcteur qui annule l'effet de perturbations éventuelles.

5.4 Amélioration des performances du système à deux boucles d'asservissement

Le système d'asservissement de position étudié ci-dessus est intégré au système global réalisant l'adaptation de l'impédance (figure 7).
Ainsi, le système complet est constitué de deux boucles d'asservissement imbriquées :
  • Une boucle externe étudiée dans la quatrième partie, dont le correcteur est synthétisé à la section 4.3
  • Une boucle interne étudiée dans la cinquième partie, dont le correcteur est analysé à la section 5.3.
67 - Comparer les temps de réponse des deux boucles d'asservissement. Quelle est la conséquence de cette hiérarchie des temps de réponse sur les marges de stabilité de la boucle externe?
On souhaite garantir une marge de phase de 45^∘ sur la boucle externe.
Pour ce faire, on peut modifier le correcteur de la boucle externe, C_(corr)(p), et/ou le correcteur de la boucle interne, C(p).
68 - Proposer, sans entreprendre de calcul, les modifications à apporter au correcteur de la boucle interne pour garantir cette nouvelle valeur de la marge de phase de la boucle externe.
69 - Proposer, sans entreprendre de calcul, les modifications à apporter au correcteur de la boucle externe pour garantir cette nouvelle valeur de sa marge de phase, sans modifier la boucle interne.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de physique et sciences de l'ingénieur MP de la banque X-ENS 2004 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de physique et sciences de l'ingénieur MP de la banque X-ENS 2004 ?

Il porte sur l'électromagnétisme dans les plasmas et la dynamique des charges, la modélisation électrique de systèmes physiques, et l'automatique : fonctions de transfert, diagrammes de Bode et synthèse de correcteurs pour des asservissements de phase et de position.

Les parties du sujet sont-elles indépendantes ?

Les parties s'enchaînent : les parties I et II étudient la physique du plasma, la partie III en tire un modèle électrique du réacteur, réutilisé dans les parties IV et V consacrées à l'automatique de l'adaptation d'impédance et de son asservissement mécanique.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour traiter ce sujet ?

Les équations de Maxwell et la dynamique des particules chargées, les circuits électriques en régime sinusoïdal, la notion de fonction de transfert, les diagrammes de Bode, les correcteurs proportionnel et proportionnel-intégral, ainsi que la cinématique des mécanismes.

Ce sujet combine-t-il vraiment physique et sciences de l'ingénieur ?

Oui, les deux premières parties relèvent de la physique des plasmas tandis que les trois dernières parties relèvent des sciences de l'ingénieur, avec la modélisation de systèmes asservis en cascade.

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